（基础数学专业论文）单位圆外的特殊单叶函数.pdf

中文摘要 y6 5 7 4 6 7 中文摘要 定义在单位圆外的解析函数，以无穷远点为一级极点，留数为1 的 单叶函数全体形成一族，记为中的函数，( z ) 关于。具有l a u r e n t 展开式 zj l 本文正是针对族上的一致凸及一致星函数进行论证，利用展开式 中系数来判断函数是否属于一致凸或一致星函数单位圆内用系数来判 断的这类问题已有研究，我现在来做单位圆外的这一问题，目前还没有 人研究 关键词：单叶解析一致凸函数一致星函数 k 万 d + + g = z ， 外文摘要 a b s t r a c t w es h a l lb ec o n c e r n e dw i t ht h ec l a s s o ft h ef u n c t i o n s 他) = z + 6 。+ 笺， n = 1 a n a l y t i ca n du n i v a l e n ti nt h ed o m a i na = z ：h 1 ) ) e x c e p tf o ra s i m p l ep o l ea ti n f i n i t yw i t hr e s i d u e1 i nw h a tf o l l o w s ，w es h a l li n v e s t i g a t et h eu n i f o r m l yc o v e xa n du n i f o r m l ys t a r l i k ef u n c t i o n sw h i c hi ne b yu s i n gt h ec o e f f i c i e n t so faf u n c t i o n ，w eg e tw e t h e rt h ef u n c t i o ni s i nt h e u n i f o r m l yc o v e xo ri nt h e u n i f o r m l ys t a r l i k ef u n c t i o n s t h eq u e s t i o ni ss t i l la no p e np r o b l e m k e y w o r d s ：u n i v a l e n t a n a l y t i c u n i f o r m l yc o n v e x u n i f o r m l ys t a r e k e i i 第1 章绪论 第1 章绪论 复变函数的研究始于十八世纪前半叶 e u l e r 研究了复变量的三 角函数及其反函数，对数函数及指数函数到了十九世纪，m e i e r s t r a s s ， c a u c h y 和r i e m a n n 等人奠定了坚实的基础使之逐渐发展成数学分析 中重大且重要的分支，成果十分丰富虽然已有二百多年的研究历史， 至今仍有生命力在近代的研究中论文最多的两大分支是几何函数论和 亚纯函数论， 几何函数论的研究始于r i e m a n n ，而这一分支中的主要研究对象是 单叶函数，即自变量与因变量成一一对应的函数本篇文章正是针对单 叶函数进行论证目前研究结果和所发表的文章多集中于定义在单位圆 盘内s 族中的特殊函数，而对于定义在单位圆外族的研究比较少， 本文正是从这方面入手 1 1 单叶函数的两大类，函数族s 和e 由于任何边界多于一点的单连通区域都可以共形映照于单位圆域 矿= z c ： 1 ) ，c 为复平面不妨只研究定义在u 上和u 外的两类 单叶函数 定义在单位圆上的单叶且解析的函数，( 名) ，满足标准化条件f ( o ) = 0 ，7 ( 0 ) = 1 的话，这种函数的全体形成一函数族，记为s 当，s 时，( 2 ) 具有幂级数展开式 ，( z ) = z + e o 。扩 ( 1 1 ) n = 2 定义在单位圆外的解析函数，以无穷远点为一级极点，留数为1 的 单叶函数全体形成一族，记为中的函数f ( z ) 关于。具有l a u r e n t 黑龙江大学硕士学位论文 展开式 o。l 北) = z h - b o - f 豢 ( 1 2 ) n = l 。 当9 ( ( ) 时，命z = ，则，( z ) = 9 ( ) 化为单位圆域h 1 上的以 2 = 0 为一级极点的亚纯单叶函数 所以族的函数也称单位圆内的亚纯单叶函数 1 2 单叶函数的系数 对于任一自然数n ，a 。和b 。的模必有一个上界，超过这个界，( 1 1 ) 和( 12 ) 中的( z ) 就不是单叶的了估计单叶函数系数的界是单叶函数 论中最主要的问题围绕这个问题，文献非常多特别集中在b i e b e r b a c h 【1 】于1 9 1 6 年提出的猜测：若( z ) s 则1 a 。i 礼，礼= 2 ，3 ，直到 1 9 8 3 年为止，只解决n = 2 ，3 ，4 ，5 ，6 五个系数次年初，d e b r a n g e s 2 1 解决了这个问题，得到肯定的答案，论文只有十多页，比g a r a b e d i a n 和 s c h i f f e r 【3 j 首次证明的j a 4j 4 的还短l w e i n s t e i n 4 给出j a 。j 曼n 的另一证明，只有短短的四页当然函数族s 中尚有别的系数问题有待 解决，例如s 中的奇函数的系数问题是困难的 函数族的系数估值问题比函数族s 中的系数问题更加困难，连 猜想都没有1 9 1 4 年g r o n w a l lf 5 】得到称为面积原理的不等式 等号成立当且仅当g 中的函数g ，其值域为二维勒贝格测度为 零的补集，这种函数的全体形成一族，记为7 从这里推知油“1 n z n 6 m + + 1 一z | ( z ， 一 n 6n 。瞄 第1 章绪论 年s c h i f f e r 【6 1 证明了i b 2 ls ；到目前最进步的结果是g u r a b e d i a n 和 s c h i f f e r 3 的不等式1 6 3 l ；+ e ，刘礼泉 7 】曾得到准确的估计式 i b l b 2 p ，p = 0 3 1 1 ，是方程5 x 3 2 7 x 2 2 7 = 0 的正根的一个五次 式，还得到 11 忙5 + 6 i 6 3 + b ；+ ；0 3 i ； 估计式是准确的这是g l u n i e 8 的结论 1 3 单叶函数的积分平均值 当0 p + ，0 r 1 时，求积分平均值 蛐= 去门m 胪d 0 的最大值问题是单叶函数论中重要课题之一先是l i t t l e w o o df 9 证得 蛆( r ，f ) 曼r ( 1 一r 2 ) 前苏联有些数学家费了很大力气改进了这个估 计，但仍然是不准确的其中最好的结果是属于b a g i l e v i c h 1 0 他证明 1 ( r ，) si ( i r ) + 1 5 1 人们早就预料到m ；( r ，) 会被k o e b e 函数 ( 。) = 。( 1 一z ) 2 达到最大值直到1 9 7 3 年才被a b a e r s t e i n 1 1 所解 决他用的方法是新奇的，他用对称化思想引进了一种亚调和函数，被 人们称为b a e r s t e i n 星函数，技巧是实变函数方面的他的定理如下 设垂( z ) 在一o 。 z + 。o 上是单调不减的凸函数，即圣( ；( z + ) ) j 圣( z ) + 西( ) 那么对于任意函数，es “2 ” ，2 丌 j o 西( 1 。出( j ) d 口z 圣( 1 。g l k ( r e 9 ) 1 ) d o ，o r 1 其中( 。) 是k o e b e 函数如果垂是严格单调增加的，那么对于一些r 不等式变成等式的充要条件是，( z ) = # - i ( 肛z ) ，= 1 3 黑龙江大学硕士学位论文 作为推论，命西( z ) = e ，就看到当，s 时 屿( r ，) 屿( n 女) ，0 r 1 达到等号的函数限于k o e b e 函数，至多相差一个旋转 关于f s 的导函数的积分平均值，尚没有精确的估计有例子表 明，当p ；时，不等式屿( r j ，) 磊( r ，七7 ) 是不成立的当p ； 时，f e n g 和m a c g r e g o r 1 2 证明 鸠( r ，) = 0 ( ( 1 一r ) 1 加q ) ，r 一1 1 4 单叶函数的偏差性质 对于函数族s 中的函数，( z ) ，成立着下列精确的估计式 揣鲥揣， 揣蝴圳揣， 而1 - - z i j 搿i l ， 则有 i掣l揖万121z 2 1 一 i p 。 取到等号的函数限于 ，( z ) 辛g + 竺+ c 。n 时，a ：a r 9 2 1 + a r g 砘 1 5 某些特殊函数族 设门是一个单连通区域，点z o 力如果自z o 射出的半直线与门 的交集是一整个的直线段或半直线，就称卵关于点z o 是垦形区域记 d = ( 。： 1 ) 设函数，s ，如果值域f ( d ) 关于原点f ( o ) = 0 是星形区域，就说 ，是星象函数这种函数的全体形成一族记为s + 这种函数的解析特征 是 & 搿) 水- 黑龙江大学硕士学位论文 若，s 适合条件 r e + 搿) 川水- 就称- 厂为凸象函数所有这种函数形成一族，记为c ，c 的几何特 征是像域f ( d ) 是一个凸区域，即，( d ) 与一直线的交集是一根直线段 或是一根半射线，也可以是一根直线 设，s 若存在妒( z ) g ，使 舶 粥) 川i 就称，是近于凸函数，其总体形成一族，记为k 中函数的几何特征 是f ( v ) 的余集是由互不相交的射线组成的 上述三族函数有包含关系s k p3 a ， 导函数的积分平均值的估计，在函数族k 中已得到解决事实上， l e u n g 1 7 证明，若，k ，对于0 p o 。， ( r ，) 茎 矗( r ，气0 1 时，有精确估计式 剐l ( p + 1 筹- 2 p z ) , e - 。+ t a n 1 嘉高 3 其中2 1 2 = z ( p ) 是微分方程 一dx万x(pj+1硒-2p。)dy ，z ( 。) = ；， 一而= 顼两。l 叫一互 的解， 互1 。 互1 + 去 1 1 9 9 1 年，g o o d m a n 2 0 第一次引进了单位圆蠡内的一致星和一致 凸函数 任给一点( d ，以( 为中心且落在d 内的圆弧记为如果象弧 _ 厂( 仉) 是关于，( ) 的星形曲线，就称，( z ) 为一致星函数，这种函数的解 析特征是对于任意的z ，e d ， r e 等篇独 如果象弧，) 是关于，( ( ) 的凸曲线，就称，( z ) 为一致凸函数， 记这类函数全体为u c v 它的解析特征是对于任意的z ，( d ， r e 1 + ( 州，锱卜 g o o d m a n 在文献 2 2 】中引入了i n 数类品来建立起一致凸函数与 一致星函数之间的关系 品是这样定义的，昂：= f s ：f ( z ) = z ，( z ) ，u c v 这样就有9 i a c v 当且仅当z 9 7z ) s p g o o d m a n 在文献【2 2 】中将一致凸函数的研究转化为对昂类的研究，得到系数问 题增长问题相应的结论 设，( z ) ，且令a 。= m a x 岛i 血。j ， 则 a 2 = 兰( 0 , 8 1 ) ， 黑龙江大学硕士学位论文 i 化) 冰x p ( 善 都有 r e t + 搿) l 搿| 眯越 证明令f c 1 ，则( 1 ) 式等价于 r e t + 粥卜错( a xa ， 由于上式中z ，( 的任意性，我们选取e = 8 i a z ，血是实数，使其满足 r e ( ”( 。) f 7z ) = l 巧”( z ) f ( z ) ，于是( 3 ) 式化为 趾 1 + 搿) l 搿i 4 因此必要性成立反之，若对任意的 都有 r e ( - + 搿) 搿j l 错卜搿， 黑龙江大学硕士学位论文 删 r 。l + ( z - e ，铬卜 因此f c v ，证毕 定义2 若函数f 将内的每一个圆弧7 ，其中心( c ( 蚓) ， 映成一凸弧，( 7 ) ，则称f 为k 一致凸函数，这种函数全体记为k - c v 它的解析描述仍为 嘉( 咄 知膨卜瓜，) ) ) 独 即 r e ，心叫铬) o ( z ea ) 定理2 设函数f ，0 都有 r e - + 搿) 叫搿l 昨 定义3 若f 满足 趾( 搿) el 搿一- l ( z ea ， 则称f 为定义在中的七一致星函数，这种函数的全体记为k - s t 从以上的定义可以看出这两类函数之间存在着这样的关系： f k - c p 当且仅当z ，7z ) k - s t 令q ( z ) = l + 等筹( 或9 ( z ) = 玎) ，( 珐对于，一8 r ) ，则( 4 ) 和 ( 5 ) 式可以写成 r e 口( 。) j g ( 。) 一1 z ) ( 6 ) 上式说明q ( z ) 完全落在由二次曲线所围成的区域亿内1 仇 1 0 第2 章单位圆外的特殊单叶函数 在文献 2 1 中，作者应用r u s c h e w e y h 导数引入了类“厄( a ，k ) 和 “7 4 ( a ，k ) ，定义了广义凸性那么对于单位圆外的情形我们也给出相应 的定义，首先记 州：坐等型n o ) ， d o ，( z ) = ，( z ) ，d 1 ，( z ) = z ，心) ，d 2 f ( z ) = z f z ) + ( i 2 ) z 2 ，“( z ) 函数族中b o 项为0 的函数全体形成一族，记为o 若对于f o ， 则d ”f ( z ) 可展开为 d ”f ( z 1 z 十耋i 飞：赫。z n ( z ) 若m 为分数，不妨设m = 一1 ，则d 1 ，( 。) 可展开为 砂他h + 薹揣址_ n ( 刑) - ( 7 ) 定义4 设，e o ， 0 ，。) 且a 一1 ，我们定义函数类冗( a ，女) 是指满足以下条件的函数的全体 ( z ) ( 8 ) 定义5 设，e o ，k 0 、) 且a 一1 ，我们定义函数类凸厄( a ，) 是指满足以下条件的函数的全体 ( 谢) 叫鬻一f 甜 注：当a = 1 时，( 8 ) 式变为( 4 ) 式，且若同时k = 1 ，( 8 ) 式又转 化为( 2 ) 式；当a = 0 时，定义4 和5 即为k - s t 的定义，这说明对于 c v t 一c v 及k s t 的研究将转化为对佗( a ，) 及4 咒( a ，) 的研究 定理3 设，( z ) = z + k z 一”e o ，若系数6 n 满足 锵掣 黑龙江大学硕士学位论文 弘圳c 叫揣m i ， ml 三群一- 1 一r e ( 三群一) 拈叫制斗r e ( 制一- ) ， s c m + ，i 三；多；笔舅羔一，l 邓圳i 一一i 卜墨耥吣1l 邓圳ii。-nt a ) b a i， z + 。= 1 l l nj l l i 十 jz 一”l 、塞c 时) j 揣 踞 “麓藤鬻黼 l 一l 斋上熹 n = l1 1 一t j i1 1 十 j l ”嘻州) | 嵩揣一喜f 焉揣m 第2 章单位圆外的特殊单叶函数 且1 塾m 圳刈i 耥h i 此时s 1 ，从而，凸冗( a ，) 推论3 1 设，( z ) = 。+ 6 n 。“o ，若系数b 。对某个( 七 0 ，o o ) ) 满足 6 n i 0 ( z ) ，由定理4 知f 冗( a ， ) 必要性的证明：由已知fe 冗( a ，) ，则由定理4 知g ( 2 ) 。0 假设l 吼i 1 ，由于g ( z ) z = 1 + 鲂z “，则必存在一点( ea ，使得 g ( z ) z = 0 ，这是矛盾的，故l 吼i 1 推论6 1 设f ( z ) = z + c z 一“，若 i c ls 赤i 鬻i ( k e o 】毗ah ) ， 则f a t 已( a ， ) 第2 章单位圆外的特殊单叶函数 证明由( 1 2 ) 式，及定理6 可以推得上述结论 推论62 设f ( z ) = 。+ c z ， ( a ) 若系数c 满足 1 i c i 丽矗哥砑。 0 , o o ) 则，一c p ( b ) 若系数g 满足 e is 而 o ，o 。) o o 定理7 设，( 。) = 。+ 6 。“o ，若系数b 。满足 n = 1 喜| 错忙州n 圳川驯叫z 删 锵一z 卜( 锵一) ， 则由定义4 知，只要s i ，就属于m c ( a ，) 吲) j 帮一f 吲，一 黑龙江大学硕士学位论文 群l + a 1 ji 蚓一耋 鬻卜 薹l 等卜州l 叫 脚删 此时s 1 ，从而fea ，c ( a ，) 推论7 设，( z ) = z + ek 。“e o 若系数b 。对某个k ( 0 ，o 。) ) 满足 ( + 1 ) ( 扎+ 1 ) + 1 l b 。i 1 时， 1 ( k + 1 ) t 1 ( k 一1 ) u ( t ) 的驻点为t o = ( 2 + 1 一n ) k ( 1 + ) 、) ，若t o 1 ( 1 + ) ，则 ，无论在上述哪个定义域范围内口( ) 都是减函数，所以u ( t ) 的最大值取 在左端点1 ( k + 1 ) 处若t o 1 ( i + 后) ，则在区间 i ( k + 1 ) ，t o ) 上， ，为减函数，在区间( t o ，o o ) ，为增函数，此时t o 为最小值点所以由 此分析口( ) 的最大值点为左右端点之一 v ( i ( 1 + ) ) 芝+ 1 ) 2 + 2 七( 七+ 1 ) ( 挖+ 1 ) + 1 ) + ( 七+ 1 ) 2 ( n + 1 ) ( n 一1 2 a ) 1 2 ( a + 1 ) 2 + ( + 1 ) ( n + 1 ) 2 k ( 1 + a ) + ( 七+ 1 ) ( n 一1 2 a ) 1 = ( a + 1 ) 2 + ( 七十1 ) ( n + 1 ) 2 七( 1 + a ) ( 七+ 1 ) ( 1 + a ) + ) ( 七+ 1 ) ( n a ) = ( a + 1 ) 2 + ( 惫+ 1 ) ( 礼+ 1 ) 【( 七+ 1 ) ( 1 + a ) 一2 ( 1 + a ) + ) ( 七+ 1 ) ( 凡+ 1 ) 一( 七+ 1 ) ( 1 + a ) 】 = ( a + 1 ) 2 + ( 七+ 1 ) ( n + 1 ) - 2 ( 1 + a ) + ( 七+ 1 ) ( n + 1 ) 1 = ( a + 1 ) 一( + 1 ) ( n + 1 ) 2 z 陋( n + 1 ) + n 一) j 2 ， 所以l h n 陋m + 1 ) + n - a j kj j 瓦端( 心= l ，2 ，3 ，) 推论9 设，( z ) 2 。+ n 妻6 n z 一“。，若，则k 满足不等= l k - s t n f 陋( n 十1 ) + 叫| k f ( n = l ，2 ，3 ，) 第2 章单位圆外的特殊单叶函数 定理1 0 设，( 。) 一。+ 反? “，则，厄( a ，) 的充分必要条件 是1 。【曼1 证明方法同定理6 ， 推论1 0 设，( z ) = z + c z 一，若系数c 满足 i c l 而而挺 0 。) ， 则f k s t 2 1 黑龙江大学硕士学位论文 致谢 三年的时光飞逝而过，学位论文也得以付梓在即将结束这段珍贵 的学习生涯之际，我心中充满感激和留恋之情 在论文的写作过程中，刘礼泉教授给予我具体的指导和悉心的帮助 刘老师严谨的科研作风，深厚的科研功底和忘我的工作态度对我是永远 的鞭策，对此，我向他表示衷心的感谢! 此外，还要感谢李春明老师对 我论文的悉心指导，他们给予了我知识，教会了我做人的道理 在此，我谨向所有给予我关怀和帮助的老师、同学和朋友致以诚挚 的谢意祝大家事业有成! 学习进步! 参考文献 参考文献 1 l b i e b e r b a c h u b e rd i ek o e f f i z i e nd e r j e n i g e np o t e n z r e i h e n ，w e i c h e e i n es c h l i c h t ea b b i l d u n gd e se i n h e i t s k r e i s e sv e r m i t t e i n ，s i t z u n g s b e r p r e u s s a k a d w i s s ( 1 9 1 6 ) ，9 4 0 9 5 5 2 l d eb r a n g ，ap r o o f o ft h eb i e b e r b a c hc o n j e c t u r e ，a c t am a t h 1 5 4 ( 1 9 8 5 ) ，1 3 7 1 5 2 3 p r c a r a b e d i a na n dm s c h i f f e r j e c t u r ef o rt h ef o u r t hc o e f f i c i e n t ，j 4 2 74 6 5 a p r o o f o ft h eb i e b e r b a c hc o n r a t i o n a lm a t h a n a l 4 ( 1 9 5 5 ) 【4 l w e i n s t e i n ，t h eb i e b e r b a e hc o n j e c t u r e ，i n t e r n m a t h r e s w e i n s t e i n ，n o 5 ，( 1 9 9 1 ) ，6 1 6 4 5 t h g r o n w a l l is o m er e m a r k so nc o n f o r m a lr e p r e s e n t a t i o n a n n o fm a t h ，1 6 ( 1 9 1 4 1 9 1 5 ) ，7 2 7 6 6 i k i s c h i f f e r ，s u r u np r o b l e me x t r e m u md el ar e p r e s e n t a t i o nc o n f o r m e ， b u l l s o c m a a t h f r a n c e 6 6 ( 1 9 3 8 ) ，4 8 5 5 ：7 刘礼泉，关于单叶函数系数之一基本引理及其应用 8 】jc l u n i e ，o nm e r o m o e p h i es c h l i c h tf u n c t i o n s ，j l o n d o nm a t h s o c ，3 4 ( 1 9 5 9 ) ，2 1 5 2 1 6 9 】j e l i t t l e w o o d ，o ni n e g u a l i t i e si nt h et h e o r yo ff u n c t i o n s p r o c l o n d o n m a t h s o c ，2 3 ( 1 9 2 5 ) ，4 8 1 5 1 9 ， 1 0 i e b a g i l e v i c h ，o nd i s t o r t i o nt h e o r e m sa n dc o e 伍c i e n t so fu n i v a l e n t f u n c t i o n s ，m a t s b ，2 8 ( 1 9 5 1 ) ，2 8 3 2 9 2 黑龙江大学硕士学位论文 l 1 a b a e r s t e i n ，i n t e g r a lm e a n s ，u n i v a l e n tf u n c t i o n sa n gc i r c u l a rs y m m e t r i g a t i o n a c t am a t h ，1 3 3 ( 1 9 7 4 ) 1 3 9 1 6 9 1 2 j f e n ga n dt h m a c g r e g o r ，e s t i m a t e so ni n t e g r a lm e a n so ft h e d e r i v a t i v e so fu n i v a l e n tf u n c t i o n s j a n a l ) s em a t h 2 9 ( 1 9 7 6 ) 2 0 3 2 3 1 1 3 】g m g o l u s i n ，o nd i s t o r t i o nt h e o r e m si nt h et h e o r yo fu n i v a i e n t f u n c t i o n s ，m a t s b 1 8 ( 6 0 ) ( 1 9 4 6 ) ，8 7 9 8 9 0 ， 1 4 k l o e w n e r ，u n t e r s u c h u n g e nf i b e rs c h l i c h t ek o n f o r m e a b b l i d i n gd e s e i n h e i t s k r e i s e s ，m a t h a n n ，8 9 ( 1 9 2 3 ) ，1 0 3 1 2 1 1 5 g ，m g o l u s i n ，o nd i s t o r t i o nt h e o r e m si nt h et h e o r yo fc o n f o r m a l m a p p i n g ，m a t s b 1 ( 4 3 ) ( 1 9 3 6 ) ，1 2 7 - 1 3 5 1 6 1g m g o l u s i n ，am e t h o do fv a r i a t i o ni nc o n f o r m a ln l a p p i n g i i m a t s b2 1 ( 6 3 ) ( 1 9 4 7 ) ，8 3 1 1 7 1 7 】a w g o o d m a n ， t i o n s ，p r o c a m e t t h ev a t a t i o nt h e o r e m sf o ru n i v a l e n ts t a r l i k ef l i n c m a t h s o c ，4 ( 1 9 5 3 ) ，2 7 8 2 8 6 1 8 】刘礼泉，亚纯星象函数的回转定理，黑龙江大学自然科学学报，第 一期，( 1 9 7 9 ) ，1 - 2 2 1 9 刘礼泉，半亚纯星象函数的回转定理，科学通报，第一期，2 4 卷 1 6 期，( 1 9 7 9 ) ，1 - 2 2 2 0 a w g o o d m a n ，o nu n i f o r r e l ys t a r l i k ef u n c t i o n s ，j m a t h a n a l a p p l 1 5 5 ( 1 9 9 1 ) ，3 6 4 3 7 0 2 4 参考文献 2 1 s t a n i s l a w ak a n a sa n dt e r u oy a g u c h i ) s u b c l a s s e so fk - u n i f o r m l y c o n v e xa n ds t a r l i k ef u n c t i o n sd e f i n e db yg e n e r a l i z e dd e r i v a t i v e ：i i ， n o u v e l l es 6 r i e ，t o m e6 9 ( 8 3 ) ( 2 0 0 i ) ，9 1 一i 0 0 2 2 f r o d er g n n i n g ，u n i f o r m l yc o n v e xf l m c t i o n sa n dac o r r e s p o n d i n g c l a s so fs t a r l i k ef u n c t i o n s ，a m e r m a c h s o c ，1 1 8 ( 1 ) ( 1 9 9 3 ) 2 3 f r o d er o n n i n g ，s t e p h a nr u s c h e w e y ha n gn i k o l a ss a m a r i s ，s h a r p s t a r l i k e n e s sc o n d i t i o nf o ra n a l y t i cf r i c t i o n sw i t hb o u n d e d d e r i v a t i v e ， a u s t r a l m a t h s o c ( s e r i e sa ) 6 9 ( 2 0 0 0 ) ，3 0 3 3 1 5 2 4 】a w g o o d m a n ，o nu n i f o r m l yc o v e xf u n c t i o n s ，p r e p r i n t 2 5 aw g o o d m a n ，o nu n i f o r m l yc o v e xf u n c t i o n s ，a a a n n p o l o n m a t h 5 6 ( 1 9 9 1 ) ，8 7 9 2 ( 2 6 】p l d u r e n ，u n i v a l e n tf u n c t i o n s ( s p r i n g e r v e r l a r ，1 9 8 3 ) 2 7 】o p a h u j a ，o n t h er a d i u sp r o b l e mo fc e r t a i nu n i v a l e n tf u n c t i o n s i n t e r j m a t h 8 ( 4 ) ( 1 9 8 5 ) ，6 5 3 6 6 2 2 8 n i k o l ax h n e s k i ，o nt h eq u o t i e n to ft h er e p r e s e n t a t i o no fc o n v e x i t v a n d s t a r l i k e n e s s ，m a t h n a c h r ( 2 0