（应用数学专业论文）卖空条件下资产组合选择模型最优解的一些讨论.pdf

摘要 摘要 本文对m a r k o w i t z 的资产组合选择模型在卖空条件下的最优解进行了一些讨 论。除了传统的l a g r a n g e 乘子法之外，还利用矩阵工具，将一般均值一方差组合 选择问题转化为对一个线性方程组求解最小范数解的问题，利用m o o r e p e n r o s e 逆方法很容易的就得到与l a g r a n g e 乘子法相同的结论；同时对最优解解的结构进 行了分析。另外还介绍了包含无风险资产的情形以及考虑交易费用的情形，以及 通过引入风险厌恶因子来同时考虑期望与方差的风险厌恶均值一方差模型。协方 差矩阵奇异也是一个很重要的问题，存在一种资产的收益率可以用某些其它资产 的收益率或是超额收益率来线性表示的情况；又利用分块矩阵的知识，将原问题 转化为一个无约束的非线性规划问题，方便了求解。 关键n - 资产组合，l a g r a n g e 乘子，m o o r e - p e n r o s e 逆，奇异矩阵 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sa r t i c l eh a ss o m ed i s c u s s i o n so nt h eo p t i m a ls d u t i o no f p o r t f o l i os e l e c t i o nm o d e l u n d e rs h o r ts e l l i n g w en o to n l yg i v eat r a d i d o n a ll a g r a n g em l l l f i p f i e rm e t h o d ，b u ti l s e m a t r i xi n s t r u m e n tt ot r a n s f o r mam e a n - v a r i a n c ep o r t f o l i os e l e c t i o np r o b l e mt oaq u e s t i o n o f s o l v i n g m i n i m u m n o n t ls o l u t i o na b o u t as y s t e m o f l i n e a r e q u a t i o n w e c a n g e t t h es a m e a n s w c ia sl a g r a n g em u l t i p l i e rm e t h o db ym o o r e - p e n r o s ei n v e r s em e t h o d a tt h es a l n e t i m ew ea n a l y z et h ec o m p o s i t i o no f o p t i m a ls o l u t i o n i na d d i t i o n ，t h em o d e lo f c o n t a i n i n g r i s k fa s s e ta n dm o d e lo fc o n s i d e r i n gt r a n s a c t i o nc o s ta l ea l s oi n t r o d u c o d a n o t h e r , w e t a l ka b o u tar i s ka v e r s i o nm e a n - v a r i a n c em o d e lb yi n t r o d u c t i o nar i s ka v e r s i o nf a c t o ro f t h ei n v e s t o r i ti sai m p o r t a n tc a s et h a tt h ec o v a r i a n c em a l r i xo ft h el l ：t l l r nv e c t o ro fr i s k y a s s e t si ss i n g u l a rm a t r i x u n d e rt h i sc o n d i t i o n , t h e r ei sr e t u r no no n er i s 姆a s s e tt h a th a sa l i n e a re x p r e s s i o nb yr e t u r no no t h e r r i s k ya s s e t so f r e l c l l mo f e x c e s ss u r p l u s w h e nc o v a r i = a l i c em a t r i xi ss i n g u l a rm a u s x ，w et r a n s f o r mam e a n v a r i a n c ep o r t f o l i os e l e c t i o np r o b l e m t oan o - c o n s t r a i n tc o n d i t i o n n o n l i n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e mb yu s i n gb l o c km a t r i x i ti s e a s yt os o l v e k e yw o r d s ：p o r t f o f i o ，l a g r a n g em u l t i p l i e r , m o o r e p e n r o s ei n v e r s e ，s i n g u l a rm a t r i x 主要符号对照表 a 7 a ” a + z d i a g ( a l ，a 2 ，a 。) r r “ r m o ” r ，。” c c “ c m 。“ c j 。“ r a n k ( a ) d e t a a 0 a o 恻l z 主要符号对照表 矩阵a 的转置 矩阵a 的共轭转置 矩阵a 的m o o r e - p e n r o s e 逆 ( 1 ，1 ，1 ) 。 以a l ，a z ，为对角元素的n 阶对角矩阵 实数域 n 维实向量空间 实m 1 7 , 矩阵集合 秩为r 的实m n 矩阵集合 复数域 n 维复向量空间 复mxn 矩阵集合 秩为r 的复m 矩阵集合 矩阵a 的秩 方阵a 的行列式 指矩阵a 为半正定阵 指矩阵a 为正定阵 向量的2 范数 第一章现代资产组合理论 第一章现代资产组合理论 现代资产组合理论研究的是有关多种资产进行选择和组合的问题。它的起 点，被大家公认为是1 9 5 2 年h m m a r k o w i t z 在j o u r n a lo ff i n a n c e 发表的p o r t f o l i o s e l e c t i o n 【2 l 一文。m a r k o w i t z 采用风险资产的期望收益率和用方差代表的风险来研 究资产的选择和组合问题。所谓资产组合，是指投资者把投资资金分配绘若干种 资产，对各类资产的投资数额占投资者投资总额的某一个比例，目的是使投资者 持有的资产的总体收益尽可能地高，同时使风险尽可能地低。现代资产组合理论 有时也被称为现代证券组合理论，这主要是因为： 1 证券是各种风险资产的最典型的代表； 2 由于公开交易的证券( 特别是普通股票) 的收益和风险数据最容易获得，因 此现代资产组合理论最主要的应用之一就是证券( 股票) 投资； 3 在英文中，p o r t f o l i o 一词既是指证券，也是指资产组合。 现代资产组合理论的含义有狭义和广义之分。【l 8 l 狭义的现代资产组合理论是指m a r k o w i t z 提出的资产组合理论，它研究的是 投资者应该从若干种可供选择的资产中选择哪些资产作为投资对象，以及对各种 资产的投资数量应该占投资总额多大的比重。狭义的现代资产组合理论总是在解 决这样的闯题：在一定的风险水平下，投资者可以实现的最高收益是多少? 或者 在一定的收益水平下，投资者可以承担的最低风险水平是多少? m a r k o w i t z 理论 的基本思想在于把资产投资的收益率看成是一个随机变量，该收益率的期望值就 是该资产的期望收益，其标准差或者方差就可以被看作是对资产投资风险的一种 度量。 广义的现代资产组合理论，是在狭义的现代资产组合理论的基础上，再包括 一些与狭义的资产组合理论密切相关的理论。其中，既包括m a r k o w i t z 提出的有 效组合决定模型的各种替代理论，也包括资本市场理论。资本市场理、呛包括证券 等资本资产的价格理论和关于证券市场的效率理论。资本资产的价格理论主要包 第一章现代资产组合理论 括资本资产定价模型( c a p m ) 和套利定价理论( a p t ) ；证券市场的效率理 论主要是指效率市场假说。 现代资产组合理论是现代投资理论的一个重要组成部分。传统的投资理论强 调的是投资项目的期望收益与投资成本的比较。如果期望收益大于成本就接受这 j 一项目；如果期望收益小于成本就拒绝该项目。但是这种传统的投资理论无法用 来指导证券等风险资产的投资决策。这与证券投资收益的特点有关系。证券投资 收益首要的特点就是不确定性，不确定性的存在就导致风险的存在，所以要求我 们必须同时考虑预期收益和这一收益的风险水平来研究证券等风险资产的投资决 策理论。证券投资收益的第二个特征是各种证券收益之间的相关关系。一个好的 资产组合绝不仅仅是一系列优秀股票和债券的罗列，而是一个能够在各种可能的 情况下为投资者提供保护和机遇的平衡的整体。根据证券投资收益的两个突出特 征，我们有必要深入研究现代资产组合理论。 2 第二章资产组合选择的均值一方差模型 第二章资产组合选择的均值一方差模型 m a r k o w i t z 的资产组合选择理论是现代金融经济学的起点。最重要的点是 他把资产收益率的方差或标准差作为资产收益风险的度量。他提出了“均值一方 差”准则，即投资者在选择资产组合的时候，并非只考虑期望收益率尽可能大， 同时还考虑收益率方差尽可能小。我们模型的建立也遵循这一原则。 2 1 只包含风险资产的情形 金融市场上有n 种风险资产( 将来要实现的收益具有不确定性的资 产) ，第i 种风险资产的收益率为随机交量r l ，i = 1 ，2 ，n ，其期望为 胁， = 1 ，2 ，n ，定义向量r = ( r l ，r 2 ，r n ) 7 ，p = ( p 1 ，比，) 7 。我 们用 = 1 ，她，) 7 表示一个投资组合，其中砒是组合中对第i 种风险资 产的投资占整个组合投资的比例，显然l r t | ，= 1 。q 为向量r 的协方差矩阵， q = ( c o y h ，q 1 ) j ：1 知。那么整个资产组合的收益为 7 z ，组合的方差( 风 险) 为 7 n 。我们考虑投资组合的均值一方差准则：如何确定资产组合，使资 产组合在收益率一定的条件下，风险( 收益率的方差) 最小。投资组合的选择问 题，我们就可以写为： i m i n 吒= 7 q t l ， 8 t 矿p = r ( 2 1 ) 【 t p - l ：1 其中r 为事先给定的风险资产组合的预期收益率的目标值。 我们还需要做一些假定： 】，0 i 可以为负，即允许卖空； 2 他，t = 1 ，2 ，n 不全相等，并且“具有有限方差； 3 假定q 为正定矩阵，即对任意t l ，0 ，满足 7 q 0 ，也即不存在某些 资产的组合等同于一无风险资产，或是某一风险资产的收益率可以由其它某 些风险资产线性表示。 一3 一 第二章资产组合选择的均值一方差模型 由于q 正定，所以目标函数2 = 7 q 是凸函数，而约束条件 t t ，it l ，1 t = 蜀t ，7 z = 1 确定了一个凸集，因此这是一个凸规划问题，因此任一局部最优解都 是它的整体最优解。 2 1 1 l a g r a p g e 乘子法 对于带线性等式约束的二次凸规划问题，其l a g r a n g e 乘子总是存在，可以用 l a g r a n g c 乘子法来求解。l a g r a n g e 函数为 c ( t l ，a ，5 ) = t 正，t q t i ，+ a ( t l ，t t r ) + j ( t ，t l 1 ) 其解t l ，= 嘶满足的充要条件为： a c ( t ，a ，6 ) o c ( w p ，a ，j ) 孤 a c ( 1 ，a ，6 ) 8 6 = 2 f z w p + 扯+ 雠= 0 = p r = 0 = 醇z l = 0 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 因为n 正定，所以q 可逆且q 1 正定，故由2 3 式，我们有： 嘶= 妒c “，( ：) 把2 _ 4 ，2 5 式写为矩阵形式： 将2 6 代入2 7 式得到： ( 簪) 嘶= ( r ) ( 学) 知叫茹= ( 0 d 一 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 第二章资产组合选择的均值一方差模型 = ( 矿驴( 篇篇) 因为p 每一个元素不全相等，因此矩阵( p ，z ) 列满秩，又由条件n 一1 正定，那可 以得出正定。所以 将2 9 式代入2 6 式，得到： ( ；) 一。1 ( 0 ( 2 9 ) w p = q - 1 ( 则) - 1 ( 0 ( 2 1 0 ) 州篓篡黔鼢必。1 ( o 。， 邛1 1 ) 一( 习 u 1 u ( 1 ) a x a = a ； ( 3 ) ( a x ) “= a x 一5 一 ( 2 ) x a x = x ； ( 4 ) ( x a ) “一x a ， 第二章资产组合选择的均值一方差模型 的某几个或者全部，则称x 为a 的广义逆矩阵，满足全部四个方程的广义逆矩 阵x 称为a 的m o o r e p c n r o s c 逆，记为a + ，也称之为a 的加号逆。 引理2 2 ：设a c 7 。”( r 0 ) ，a 的满秩分解总是存在的。即存在f c ，” 和g c ，“4 满足a = f g 。 证明：若矩阵a 列满秩，那么令f = a ，g = 厶，其中k 为n 阶单位矩阵，同 样有a = f g ；若矩阵a 行满秩，那么令f = k tg = a ，我们有a = f g ； 当r 0 ) 且a 的满秩分解为a = f g ，其中f c r ， g c ，一，则a + 存在且唯一，a + = g “( g g “) 一1 ( f “f ) 一1 f “。 证明：因为r a n k ( g g “) = r a a k ( g ) = r ，r a n k ( f “f ) = r a n k ( f ) = r ，所以g g “ 和f h f 都是r 阶可逆矩阵。令x = g “( g g “) 一1 ( f “f ) - 1 f “，将其代入a + 定 义中的四个式子，全部满足。因此a + = x 。 另外，若x ，y 同时满足a + 定义中的四个式子 所以 x = x a x = x a y a x = ( x a ) “( y a ) “x = ( y a x a ) h x = y a x x = y a y a x = y ( a y ) “( a x ) “ = y ( a x a y ) “= y ( a y ) “ = y 6 第二章资产组合选择的均值一方差模型 故可得出结论，a + 存在且唯一，a + = g “( g g “) _ 1 ( f ”f ) 一1 f ”。 口 推论2 ，3 ：设a c ”“，若r a n k ( a ) = m ，则a + = a ”( a a s ) 一1 ；若r a n k ( a ) = n ，贝a + = ( a “a ) 一1 a “。 定理2 2 ：设a c ”“，b c ”，则线性方程组a z = b 有解的充分必要条件为 且通解为 a a + 6 = 6 ( 2 1 2 ) z = a + b + ( i a + a ) u( 暑，c “)( 2 1 3 ) 证明! 充分性：若2 1 2 式成立，则a + b 为a x = b 的解。 必要性：若a x = b 有解，则 b = a = a a + a z = a a + b 将2 1 3 式带入线性方程组a x = b 的左边，并利用2 1 2 式以及m o o r e p e n r o s e 逆 的定义我们可推出 a a + b + a ( j a + a ) u = b + ( a i a a + a ) u = b 这说明2 1 3 式是线性方程组a z = b 的解。反之，设。o 是a x = b 的任一解，则 有 z o = 茁o + a + b a + b = a + b + 茁。一a + a x o 它相当于在2 1 3 式中取可一茁o ，故2 1 3 式给出了a z = b 的通解。 口 由2 1 2 和2 1 3 式可以看出，a x = b 的遁解由两部分构成，其中a + b 是a x = b 的一个特解，而口一a + a ) y 为a x = 0 的通解。 第二章资产组合选择的均值一方差模型 定义2 4 ：称o 为线性方程组a z = b 的极小范数解， l | 2 2 置鱼。 定理2 3 ：设a c “，b c ”且a x = b 有解，则它的唯一极小范数解为 o o = a + b 。 证明：对于定理2 2 中给出的a x = b 的通解z 有 因为 同理 所以 i i = l h 2 = x h x = 【a + b + 口一a + a ) 鲥”【a + b + ( i a + a ) 叫 = f i a + b t l 2 2 + 1 1 ( i a + a ) y i l 2 2 + b h ( a + ) ”( j a + a ) 掣 + 掣h ( j a + a ) h a + b b n ( a + ) “( j a + a ) y = b ”( ( j a + a ) a + 】“y = 0 “( j a + a ) ”a + b = 0 霉1 1 2 2 = l i a + bj 1 2 2 + l i ( i a + a ) y i l 2 2 i i a + b l l 2 2 即a + b 是极小范数解。 唯一性：假设存在蛎c “使缛茁；= a + b + ( ，一a _ 。a ) 粥，满足o 且 l i z 圳z = i t a + 酬2 。根据上边的证明我们知道 训。2 = l i a + b l l 2 2 + i i ( i a + a ) 砺瞄 又因为i i z 训：= i i a + b l l 2 ，所以i i ( x a + a ) 蛎1 1 2 2 = 0 。即( j a + a ) 砺= o ，也 就有。；= a + b = 。o 与原假设矛盾。所以极小范数解唯一。 口 8 第二章资产组合选择的均值一方差模型 我们来看如何应用a + 逆来解决均值方差组合选择问题。最优化i 司题2 1 的目标函数为正定二次型，正定二次型有着很好的性质。因为q 正定，所阻 n = f a f 7 ，其中a = d i a g ( a 1 ，a 2 ，a 。) ，a 1 a 2 a 。 0 为n 的n 个 特征根r 为n 个特征根对应的标准正交特征向量所形成的矩阵，r 为正交阵。 n = f a f 7 = r d i a g ( 瓜，瓜，瓜) d i a g ( 瓜，瓜，瓜) f 1 、7 ( 2 1 4 ) = r d i a g ( 佤，佤，佤) r t r d i a g ( 佤，瓜，瓜) r t 定义n 1 2 = i d i a g ( 、石，4 x i , ，、焉) r t ，那么 我们将约束条件变形 t l ，7 q = t ，q 1 2 n 1 2 t l ，= i i n l 2 1 1 2 2 ( 2 1 5 ) ( 等) ”= ( 0 寺( 等) q - 1 肛n v 2 ”( 0 ( 2 1 6 ) 令 a = ( 管) 一，z 删。= ( 0 亿忉 那么原问题变为求方程组a x = 6 的解，使其满足m i n l l x h 2 2 ，亦即求极小范数 解。我们恰好可以利用广义逆在求解线性方程组极小范数解方面的应用来解决最 优化问题2 1 。 根据2 1 52 1 62 1 7 式，原最优化问题变为： ，n l i n 2 2 1 s a z 一6 9 一 ( 2 1 8 ) 第二章资产组合选择的均值一方差模型 其中 a = ( 等) 一，茁纠胆” 显然，a 行满秩，r m k ( a ) = 2 ，故 a + = a ”( a a “) 一1 = 0 - 1 2 ，z ) = n _ 1 2 ( “1 ) 我们沿用先前的记号= 饼) n 1 ，m 那么 a + = n 一1 2 ( p ，i ) 一1 因此我们有 6 = ( 0 a a + b = z h 、n l 2 n l 胆( p ，z ) b = - - 1 6 = 6 ( 2 1 9 ) 根据定理2 22 3 ，得知方程i x = 6 有解，且存在唯一的极小范数解。极小范数 解为 一虻扣( 川) 1 ( r ) 又因为z = n 1 2 w ，所以 t l _ = n 一1 2 2 0 = q 一1 ( ，l ，t ) a 与l a g r a n g e 乘子法得到的结论一致。 一1 0 1 ( 0 d “， 叫、u n “ 胆 “ q c = 、饼饼 第二章资产组合选择的均值一方差模型 2 2 最优解的分析 其中 我们来看一下n 事具体的形式 我们令 嘶一1c 胪1 ( ：) = ( 妒驴( 篇篇) 口= ，n - 1 p ，b = 1 7 0 _ 1 l ，c = 矿n _ 1 l 根据矩阵求逆公式可知 = 1 ：了 a d c 将其代入2 2 0 ，并将其化简可得 6 冗一c 嘶2 而 f ，b c 、 i c。 我们先引入以下的知识： 引理2 5 ( c a u c h y - - s c h w a r z 不等式) ：设b ，d r ? ，则有： ( b t d ) 2 ( b t b ) ( d t d ) 等号成立当且仅当b = s d ( s 为常数) 。 引理2 6 ：设b r p x p ，b 0 ，则 ( 6 7 d ) 2 ( b t b b ) ( d t b 一1 d ) ，b ，d p 等号成立当且仅当b = s b 。d ( s 为常数) 。 f 2 2 0 ) 第二章资产组合选择的均值一方差模型 证明：因为b 0 ，所以存在正交阵r 满足b = f a r l ，其中a ； d i a g a 1 ，a 2 ，) ，h i a 2 0 为n 的p 个特征根，r = ( e l ，e 2 ，e p ) ，e l ，e 2 ，e p 为特征根a 1 ，a 。，b 对应的标准正交特征向量。 定义b 1 2 ；f a l 2 r t ：壹1 7 2 e e - ，所以b 1 2 b 1 2 ：b ，又定义丑一1 2 会 = l ( b - 。) 。1 ( b t d ) 2 = ( b t b l 2 b 一1 胆d ) 2 = ( b 1 2 b ) ( b 一1 ，2 d ) 】2 【( b 1 7 2 砷1 ( b 1 2 b ) ( b _ 1 ，2 回7 ( b 一班d ) = ( b v b b ) ( d t b _ 1 d ) 等号成立当且仅当b 1 2 b = s b 一d ，即b = s b 一1 d ( s 为常数) 。 口 由引理2 6 我们可以直接得到下边的结论。 定理2 4 ：设b 0 ，b 碾甲。p ，d r p “，则 笔墨p：dtmfidc、， d 2 o 。日z = 廿1 d 且当z = s b _ 1 d 时达到最大值。 有了上面的准备，我们来看最小方差组合 t o p 嘶= 筹- n - l p + 而a - - c r n 。1 z ( 2 2 j ) 1 2 一 t i ee ，m | |b 一兰三兰塞主望鱼垄墨塑望堕= 查茎垡型 投资组合的单位风险收益为( w t n l u , ) i 2 ，我们考虑单位风险收益最大化的问题 ( 为了处理上的方便，考虑平方后的最大化问题) ： ( t i ，7 p ) 2 。“蒜 由定理2 4 知，当t l ，= s q 一1 p 时达到最大值1 1 7 n 一1 p 。又因为, w t i ：1 ，所 以32 南2 i 即 2i q - 1 p 是使投资组合的单位风险收益达到最 大的组合，对应的方差为虽，收益为；。我们将r = ；代入2 2 1 式，求得 “，p = 三n - 1 p ，说明使投资组合的单位风险收益达到最大的组合n 一1 p 恰好是 r = = 时的最小方差组合。 n oc c 最小方差组合2 d p 对应的方差为= ( r ，i ) a - 1 ( ：l ，考虑求最小方差组台 中，方差最小的投资组合( 全局最小方差组合) ， 工 等价于 喈= 嘎n ( 即) _ 1 ( 习 m a x r 由定勤4 知，当( 0 一( 0 ) 时， ；，r = ；。将r = ；代入娜中，。得t 唧 组合，对应的方差为i 1 。 达到最大( o ，1 ) ( ：) 。我们得到s = = 石1 q 一1 z 。组合i 1 q 一1 f 是全局最小方差 仔细观察t 的原始形式2 2 1 式，将其变形得 ( b r c ) c n 一1 p 。( q c r ) b q - 1 z 坼。青产+ t 矿于丁 1 3 第二章资产组合选择的均值一方差模型 令= 警棚么 嘶学+ ( 1 盟b 任何一个最小方差组合都司以由两个特殊得最小方差组合加权平均得到，其中一 个是单位风险收益最大的组合业，另外一个是全局最小方差组合! 挲。 考虑单位风险收益最大的投资组合业；j 篓曼，设q 的特征根 o i t 。3 为a l 沁a 。 0 ，对应的标准正交特征向量为e 1 ，e 2 ，e 。 其中e t 是n 维空间中从原点指向单位球面上的一个向量，代表佗维空间中 的- - 4 2 i 向。考虑在e i - y 向上的投资组合节e i ，期望收益为! 娑，方差为 1、 e l q 瓦每o e 。南。q 4 的特征根为坷1 ，矗1 ，k 1 ，对应的标准正交特征 向量仍为e 1 ，e 2 ，! ，。风险收益最大的投资组合可以写为： 唑：! 垒：! ：丝：至兰：竺竺兰f 至竺t 旦1 。 。 。午丽k 8 - 单位风险收益最大的投资组合是这样构成的：在。的标准正交特征向量岛方向 上的投资组合晏，他的期望除以方差( e i 方向上的单位风险收益) 作为权重， 求和，体现了市场条件中收益和方差在决定投资组合时的作用。除以c 是为了满 足t l ，1 l = 1 的条件。 除了全局最小方差资产组合 i t 。p 之外，任意一个最小方差投资组合“，p 都 存在唯一个最小方差投资组合t t ，。满足c 枷h ，q l = 0 ，我们称“k 是关于哗的 零印投资组合。f l 】 因为郇， 。均是最小方差投资组合，所以 c o v r ，川= ( 蹦) _ 1 ( ) = 。 一1 4 第二章资产组合选择的均值一方差模型 我们便可得出 r = 一 为该零印资产组合w q 的期望收益率。 c r p o 6 凰一c 定理2 5 ：对于任意一个投资组合或者是某一个风险资产t l 。，我们有如下结论( 咒= e ( r d ) ，r 为t l ，。的期望收益) ： 吃；瓮产砩+ 甓产r 岛是任何最小方差组台( 全局最小方差组合除外) 1 咋的期望收益，塌是关于 t ，的零印投资组合w q 的期望收益。 证明 又因为 c d v 勺) = n 嘶= ”二q 旷1 ( 川) 1 ( 用2 2 2 减去2 2 3 得 同理可得 地一( ) 铆( 讪) - ( 蹦弦1 ( ) = 。 劬咖( 见吨。) - 1 0 ) ( 2 2 4 ) c a v ( h ，) = ( r 。一b ，。) 1 ( 拿) = t ，t ，。( ) = c 岛一r ，。，。( ) 1 5 佗2 5 ) ( 2 2 6 ) 第二章资产组台选择的均值一方差模型 嵋砒 1 ) - 1 ( ) = ( 喝o ) - 1 ( r 口) ( 2 2 7 ) 用2 2 4 除以2 2 6 得， 同理用2 2 5 除以2 2 7 得， ：鱼二鱼 马一r 口 鱼竺虹堂：墨堡 嵋r b 令卢= 张p k - r q ，那么1 一卢= 糟并且有 卢吗+ ( 1 一f 1 ) 蜀= 忍 定理得证。 2 3 包含无风险资产的情形 口 假设：市场包含一种无风险资产( 未来收益是确定的资产) ，收益率为r s ， 因为无风险，所以 田= 0 ，c o v r x = 0 为任意风险资产的收益率。 那么在包含无风险资产的情形下，均值方差准则的投资组合选择问题将变为 毫“伽 ( 2 3 0 ) t t ，7 p + ( 1 一w 7 z ) r s = ： 第二章资产组合选择的均值一方差模型 其中t l ，= ( w l ，毗，) 7 为n 种风险资产构成的组合，整个投资组合的方差仍 是矿( 2 w 。 如同不包含无风险资产的情形，我们运用l a g r a n g e 乘子法。首先将约束条件 变形为( 【1 1 _ r i l l ) t t ，= r r i c ( t 正，a ) = t t ，t n t i ，+ a ( p t r s l t ) t 工，一( r r i ) 】 丝：2 q + a ( p 一 ：ocow r s t ) 一一 筹= ( ，一吩1 1 一一r s ) = o 通过2 _ 3 l ，2 3 2 我们可以得到 对应的方差为 畔= 石( r j - 骊r i ) 币n - 可i ( 1 4 而- r 1 1 ) = 嵋n 嘶= 万j 丽( r 而- 河r s 万) 2j 两 如果我们用m o o r e - p e n r o s e 逆呢? 令 a = ( p 7 一毋1 7 ) q 一1 2 ，z = q 1 2 ， b = r r s 因为r a n k ( a ) = 1 ，所以 而 如a 1 ( a a t 广= # 焉龋 脯b = ( t t - - r y l t 胪2 岳焉踹曲卸 一1 7 ( 2 3z ) f 2 3 2 ) f 2 3 3 ) 第二章资产组合选择的均值一方差模型 所以方程a = b 有解。其最小范数解为 对应的 勘= a + 6 = 万( r - 面r 丽i ) n 甭- 2 丽( u j - r 丽s t )t p j t ，l j 30 一l _ i l f o l j 嘶一l 2 = 告筹揣 与l a g r a n g e 方法结论一致。 令 白=r-r!，wo=a-1(prs(u-rfl)t12-1(u-r11) z )白2 p 一” 那么t = 撕，。0 依赖给定的期望收益率r ，而 w 0 只与市场有关，与给定的 期望收益率r 无关。 t = q 一1 ( p r f l ) = 订1 岛e j ( p 一毋z ) ：5 - ! 皇蔓! 坐二堡垒 一k 其中e t e ，对称幂等，是一维空间) 上的投影阵，( e e 7 ) 似一辟1 ) 表示超额收 益率向量p r f l 在( e t ) 上的投影。 t 0 0 即表示风险资产的超额收益分别在( q ) 上的投影，每一个投影以为权数，最后求和而得。札是风险资产组合，相应 ： 的无风险资产的投资比例为1 一f 7 t 咋e 我们还可以将t 改写为如下形式： 嘶= 百( r t = - 巧r f l 矿) t 两f l - 可1 。( 再p - - 可r f l f ) ，i 亍i i = j 南 部7 时而翻 其中风险资产组合f 西袅詈l _ 面可表示把所有的资金全部投资到了风险资产上 边。于是，在有无风险资产的前提下，所有最小方差组合就是权重与 。成比例 的给定风险资产组合f 西了禺与无风险资产的组合a 1 8 第二章资产组合选择的均值一方差模型 2 4 考虑交易费用的投资组合选择问题 在投资者考虑投资组合的选择的时候，交易费用是一个重要的因素。在一个 投资组合选择模型中，忽略交易费用有可能导致一个无效的投资组台。引入交易 费用后风险资产的收益率发生改变，不同于在无交易费用情况下的收益率。我们 考虑当买入或是卖出第 种风险资产，要支付交易额q ( 0 e l 1 ) 倍的交易费 用。设s 孙是第i 种风险资产在0 时刻的价格，& ，是第t 种风险资产在i 时刻的 价格。假设在0 时刻买入一单位第1 种风险资产，其需要资金为s 南+ q s ：在1 时刻卖出这一单位风险资产，可获得资金1 一q & l ，则在时刻0 到l 这段时间 内，考虑交易费用的第i 种风险资产的实际收益率无为： 磊= 坠罐糍警型 1 一q & l 一最o 2 c 1 + q最o1 + c i 1 一q2 q 2 t 五n 一可i 其中n 是第i 种风险资产在无交易费用情况下的收益率。考虑交易费用的第i 种 风险资产的期望收益率为： 一 1 一q2 q 地2 再i + 地一再百 这里要求q 0 。类似最优化问题2 1 ，我们可以建立考虑交易费用情形下 的均值一方差组合选择问题： 其中口= ( 面，豇2 ，厮) 7 。和最优化问题2 1 相比，考虑交易费用的情形只是在 收益率与收益率向量的协方差矩阵形式上有差异，而求解过程完全一样，可以用 l a g r a n g e 乘子法，同样可以使用m o o r e p e n r o s e 逆方法。我们得到最优解为： 其中 w p = 皿- 1 ( 训归1 ( 0 厶= 嘶，驴( 篙抛i t 雪- 1 1 1 1 如果考虑包含无风险资产的情形。假定无风险资产交易时不产生交易费用，处理 方法和上边类似，模型变为： 2 0 7 1 ) r z = r r i 耋肛k t t t 硼 - 星 n ，-i_-，1i【 山 + 皿 p t t 埘 咖 叭 ，、l 第二章资产组合选择的均值一方差模型 最优解为： 娜= 罢群端 在实际的市场当中，遇到更多的情况是矗= c ，i = 1 ，2 ，n 。这个时候，模 型可以更进一步简化。n 种风险资产收益率的协方差矩阵为( r 1 - 忑c ) q ，整个组 合的期望收益率为t 1 i me t t ，1 p i 瓮。那么考虑交易费用的投资组合的最优化模 ：雾要 宣垒而1 - fc 【, h 一十r 2 十c c ) = ”t p ：蚤1 = 1 郇一1 ( 刈胪1 ( = ( 舞) 2c 肌炉1 ( 0 2 l 一 存在无风险资产的模型如下： ，仁茎譬蒙w 其中盂= r + r 2 忑c ，豇= r 1 - 忑c 肛。相应的组合方差为： 露= ( 2 f 茄 2 5 风险厌恶均值一方差模型 f 三兰。 s ， 第二章资产组合选择的均值一方差模型 q ( 0 o l 0 时，由v f ( ”q ) = 0 ，我们有埘毛= 一h h ，同时我们 还可以得到 ；= p _ 。b p _ 1 q 古。那么最优化问题3 1 的最优解为 矿= ( 芝) 。 2 当d e t 日= 0 时，根据定理2 2 ，当日日+ h = h 时，我们有通解 白= 一h + h + 口一h + 日) 可，y p 。我们取其中一特解 岛= 一日+ h ，然 后再求得t l ，；，这样就得到最优化问题3 1 的最优解；若h h + h h ，那 么v ( ”q ) = 0 无解，即无约束非线性规划问题3 3 无最优解，那么原最优 化问题3 1 无最优解。 2 8 第四章结束语 第四章结束语 m a r k o w i t z 资产组合选择理论在今天作为现代金融经济学的起点，已经变为 经典理论。我国的现代资产组合理论研究是从1 9 9 0 年m a r k o w i t z 等人获得诺贝尔 经济学奖开始的，不少关于资产组合理论的著作和文章也先后发表。 本文主要采用了矩阵表达方式来描述m a r k o w i t z 理论，形式比较简洁，引入 矩阵工具，利用m o o r e - p e n r o s e 逆方法，求解均值一一方差模型，并对解的结构 进行了矩阵分析，对可能出现的奇异协方差矩阵也作了讨论。文中主要考虑的是 允许卖空的条件，在允许卖空的情形下，可以利用线形方程组求解来展开理论， 问题比较简单，能够得到解析解的形式。对风险的度量方法，本文用的是收益率 的方差。当然除了方差之外，也存在多种风险衡量方法的替代，诸如半方差方法 等。在模型的建立上，本文建立的是单期的模型，而多期模型包括连续时间模型 都是值得进一步研究的。 参考文献 参考文献 1 】j o h nyc a m p b e l l ，a n d r e ww l o ，a c r a i gm a c k i n l a y t h ee c o n o m e t r i c s o f f i n a n c i a lm a r k e t s