高等数学竞赛辅导基础练习1-极限与连续解答.doc

高等数学竞赛辅导基础练习一 极限与连续一、填空1. 设则 解：(本题为简单极限计算), 结果依次为 3, 1/7, 3, 1/7, 不存在.2. 设 在 x = 0 处连续, 则 a = _ .解: (本题考查函数连续的定义, 罗比达法则、等价无穷小及积分上限函数求导) 3. 要使函数 在区间 (-, +) 上连续, 则 a = _ .解: (本题考查函数连续的定义, 罗比达法则、等价无穷小) (对 cosx 的处理方式还可以采用其他形式: 或直接用对数恒等式处理.)4. 设函数 在 x = 1 处连续, 则 a = _, b = _ .解: (本题考查函数连续的定义, 找出 a, b 满足的条件)由题意得 a = 2 再由 得 b = -3.5. 已知则= _ .解: 本题考查常见等价无穷小的使用与连续的定义, 因此6. 若 x 0 时, x - sinx cos x cos2x 与 cxk 是等价无穷小, 则 c = _ .解: 本题考查等价无穷小的定义与常见等价无穷小. 由于是 k = 3, c = 8/3. (还可以用泰勒公式处理)7. 解: 本题考查00形式的未定式的计算. 8. 解: 本题考查利用定积分定义求极限.原式=9. 设 有无穷间断点 x = e, 可去间断点 x = 1, 则 a = _, b = _ .解: 本题考查函数间断点的定义. 由题意, 分别就 a = 1, b = e 或 a = e, b = 1 讨论.若 a = 1, b = e 则由验证成功; 若 a = e, b = 1, 则 此时 x = e, x = 1 都是无穷间断点.10. 若则常数 c = _ .解: 本题考查重要极限的逆应用.由得 c = -ln2.11. 解: 本题考查等价无穷小的应用, 在0/0型未定式极限中, 先考虑使用等价无穷小.12. 设, 则当 a = _, b = _时, = f (1), = f (-1).解: 本题考查数列极限与函数的连续性. 先确定 f (x) 的表达式.得 于是 a = 0, b = 1.13. 解: 本题考查重要极限与无穷大的比较.原式 = 14. 解: 本题考查重要极限的使用. 原式=15. 解: 本题考查重要极限. 二、计算1. 求解: 本题若使用罗比达法则, 则需要利用函数极限与数列极限的关系. 或利用重要极限处理.2. 求解: 本题考查含有幂指函数的极限, 是一类容易出错的题目.原式 = 3. 求解: 本题考查含有幂指函数的极限. 注意利用等价无穷小.原式=4. 求解: 本题考查罗比达法则与等价无穷小的使用.原式= 0还可以用泰勒公式处理.5. 计算解: 本题考查定积分的定义原式= (定积分的几何意义).6. 求解: 本题考查利用定积分定义求极限.原式=7. 设求解: 对于连续乘积的形式, 往往取对数转换为连续相加.因此 于是 .8. 设函数 f (x) 在 x0 附近有连续导数, an、 bn 为趋于零的正数数列, 求极限解: 本题不可使用导数定义, 用 (拉格朗日中值定理).9. 求解: 本题极限中出现了指数函数 ex, 此类题目往往需要讨论左右极限. 也可以用倒代换 ( u = 1/t) 讨论趋于无穷时的极限.10. 求.解: 本题特别要注意分母的形式设 a = 1994, 则 原式 =三、解答与证明1. 设函数 f (x) 在 (0, +) 上连续, 对任意正数 x 有 f (x2) = f (x), 且 f (3) = 5, 求 f (x).解: 此题关键在于处理两个已知条件的关系.而 x 0 时, , 因此 f (x) f (1) = 1. 2. 设 x1 = 1, (1) 判断数列 xn 是否有极限? (2) 若有极限, 求解: 此类题设的问题, 一般采用单调有界定理进行处理.首先 说明 xn 有界, 上式说明 xn+1- xn 与 xn - xn-1 同号, 根据 x1 与 x2 的关系, 可以得到 xn 单调增加, 因此 xn 的极限存在, 设则得解得3. 设 x0 0, (1) 判断数列 xn 是否有极限? (2) 若有极限, 求解: 因此xn有界.又, , 因此 xn+1 - xn 与 x1 - x0 同号, 故当 x1 x0 时, xn 单调递增; 当 x1 0).得 a = 1, 于是6. 设 求解: 本题对三角函数的要求较高, 利用三角函数的关系寻求 Sn 的递推公式.利用利用数学归纳法得因此7. 设函数 f (x) 在点 x = 0 的某邻域内具有二阶导数, 且 求 f (0), f (0), f (0) 及解: 本题综合了重要极限、导数定义与罗比达法则的使用.由得于是这样得 f (0) = 0, f (0) = 0.根据重要极限因此又, 因此 f (0) = 4.所以另外: 题目还可以用泰勒公式处理.8. 设函数 f (x) 有二阶连续导数, 且求解: 做法与上题类似.9. 设函数 f (x) 满足 f (1) = 1, 且当 x 1 时, 有证明存在且解: 此题证明中用到了函数的单调有界定理与反常积分的敛散性.由得 f (x) 在 1, +) 上单调增加.根据牛顿-莱布尼兹公式于是 , 因此 f (x) 有界.所以存在. 且 10. 证明方程 4x3 + 3x2 - 6x + 1 = 0 在 (0, 1) 内至少有一个实根.解: 此类题目注意零点定理与极值的结合.令 f (x) = 4x3 + 3x2 - 6x + 1, 则 f (0) = 1, f (1) = 2, f (x) = 12x2 + 6x - 6 = 6(2x - 1)(x + 1), 得 x = 1/2 为驻点, 因此 f (x) = 0 在(1, 1/2) 与 (1/2, 1) 之间必有实根.11. 证明: xn + xn-1 + + x = 1(n 1) 在 (0, 1) 内有唯一实根, 并求解: 设 fn(x) = xn + xn-1 + + x - 1, 则 fn(0) = -1, fn(1) = n - 10, 因此根据零点定理, fn(x) 在 (0, 1) 内有实根, 又 fn(x) = nxn-1 + (n - 1)xn-2