数学分析 §5.1导数的概念.doc

第五章 导数与微分 1 导数的概念 数学分析电子教案第五章 导数与微分1 导数的概念【教学目的】深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。【教学重点】导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。【教学难点】导数的概念。一、导数的定义1引入（背景）导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。问题1直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为，若为某一确定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。 取临近于时刻的某一时刻，则质点在或时间段的平均速度为：， 当越接近于，平均速度就越接近于时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：。问题2 曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为，求此曲线在点处的切线。 在曲线上取临近于点的某点，则割线的斜率为：， 当越接近于，割线斜率就越接近于曲线在点处的斜率，于是曲线在点处的斜率： . 2导数的定义 以上两个问题的实际意义虽然不同，但从数学角度来看，都是特殊形式的函数的极限。 定义1 设函数在的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点 处可导，并称该极限为在点处的导数，记作或 定义1 令，则上述定义又可表示为： 即函数在一点处函数值的改变量与自变量的改变量之比当自变量改变量趋于零时的极限。 例1 已知函数，求 解 ； 或。 例2 已知函数，求 解 例3 已知函数，求 解 ，不存在故函数在点处不可导。 例4 已知函数，求 解 ，故函数在点处不可导。二、导数的几何意义 通过对引例2我们已经看到，已知曲线方程，若在点可导，那么曲线在点存在切线，并且切线斜率为。 注：若曲线在点存在切线，那么在点可导吗？（不一定，如在点）。 y=f(x) 切线方程（点斜式）：； 法线方程（点斜式）：。例5 求曲线在点处切线与法线方程。解 ，切线方程：，即：；法线方程：，即：三、可导与连续的关系1定理5.1 若函数在点可导，则在点连续。 证明 函数在点可导，由导数定义知， 所以在点连续（P69最下式）。2若函数在点连续，则在不一定可导。 如例3中，函数在点连续，但是不可导。 例6 证明函数仅在点处可导。 其中为狄利克雷函数：。 证明 当时，由归结原则可得函数在点不连续，所以由定理5.1便知它在处不可导；当时，说明它在处可导；综上便知函数仅在点处可导。四、单则导数若只研究函数在某一点右邻域（左邻域）上的变化率，只需讨论导数定义中极限的右极限（左极限），于是我们引入单则导数的概念。1定义 定义2 若函数在有定义，定义右导数为： ； 若函数在有定义，定义左导数为： 右导数和左导数统称为单则导数。2由左、右极限与极限之间的关系容易得到左、右导数与导数之间有如下关系： 定理5.2 函数在点可导，且函数在点即左可导又右可导，且 例7 设函数，讨论函数在点处的左、右导数与导数。 解 由于，所以， .由定理5.2可知函数在点处不可导。五、导函数1可导函数若函数在区间上每一点都可导（对区间端点，仅考虑单侧导数），则称为上的可导函数。 2导函数 区间上的可导函数，对每一，都有一个导数（或单则导数）与之对应，这样定义了一个在 上的函数，称之为函数在区间上的导函数，简称为导数，记作即：（求解时只需将看作固定常量即可）。 例8求以下函数的导数（以下结果需熟记）：（1）常函数，（其中为常数）；（2）三角函数；（3）对数函数.解 （1），即：； （2） ，即：；类似可求出：.（3） ， 即：六、函数极值 1极值定义 定义3 若函数在点的某邻域内对一切有（），则称函数在点取得极大（小）值，称点为极大（小）值点，称为极大（小）值，极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值。 说明：极值为局部概念，极值与极值点均可以有多个；最值为整体概念，若存在则必唯一； 极值不可能在一区间端点取得，只能在区间内部取得；最值无此限制； 若在点取得最值，当为区间端点时，则此最值不是极值，但当为区间内部的点时，则此最值一定是极值。 2费马（Fermat）定理从图象上可以看到，若点为函数的极值点，且点处曲线的切线存在（在点可导），那么此切线应平行于轴（）。从而有：定理5.3 (费马定理) 若点为函数的极值点，且在点可导，则必有.证明 这里以极大值的情形给予证明，对极小值情形类似可证之。 设为函数的极大值点，则对一切都有，于是， 当时：；当时： 由函数极限的保不等式性有： 且， 又知存在，故由定理5.2便知。 说明：稳定点：称满足的点为函数的稳定点（求法：解方程）；稳定点不一定是极值点（如函数，点为稳定点但不是极值点）；极值点不一定是稳定点，只有加上可导条件极值点才是稳定点（如函数，点为极值点但不是稳定点）。 3达布（Darboux）定理 定理5.4 (达布定理，导函数的介值定理) 若函数在上可导，且，为介于与之间的任一实数，则至少存在一点，使得 证明 不妨设，则（此处介于指不等式严格成立）引入函数在上可导，由定理5.1知在上连续，在上连续，由闭区间上连续函数的最值定理则：存在一点，使得为在上的最大值，欲利用费马定理来证，需证以下两个方面：（）为在上的极大值，只需证且；（）在