高中数学 同步测控课时训练19 新人教A版选修21.doc

课时训练19空间向量与空间角1.直线l1,l2的方向向量分别是v1,v2,若v1与v2所成的角为,直线l1,l2所成的角为,则().a.=b.=-c.cos =|cos |d.cos =|cos |答案:d2.已知a,p,平面的一个法向量n=,则直线pa与平面所成的角为().a.30b.45c.60d.150答案:c解析:设直线pa与平面所成的角为,则sin =|cos|=.=60.3.如图,在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中,m,n分别为a1b1和bb1的中点,那么直线am与cn所成角的余弦值为().a.b.c.d.答案:d解析:如图,建立坐标系,则a(1,0,0),m,c(0,1,0),n,.cos=.4.如图,在正三棱柱abc-a1b1c1中,若ab=bb1,则ab1与c1b所成的角的大小为().a.60b.90c.105d.75答案:b解析:取ac的中点d,建立如图坐标系,设ab=a,则b,c1,a,b1.cos=0.ab1与c1b所成的角为90.5.如图,过边长为1的正方形abcd的顶点a作线段ea平面ac,若ea=1,则平面ade与平面bce所成的二面角的大小是().a.120b.45c.135d.60答案:b解析:以a为原点,分别以ab,ad,ae所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则e(0,0,1),b(1,0,0),c(1,1,0),=(1,0,-1),=(1,1,-1).设平面bce的法向量为n=(x,y,z),则有可取n=(1,0,1),又平面ead的法向量为=(1,0,0),所以cosn,=,故平面ade与平面bce所成的二面角为45.6.已知在长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=bc=1,aa1=2,e是侧棱bb1的中点,则直线ae与平面a1ed1所成角的大小为().a.60b.90c.45d.以上都不对答案:b解析:以点d为原点,分别以da,dc,dd1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图.由题意知,a1(1,0,2),e(1,1,1),d1(0,0,2),a(1,0,0),所以=(0,1,-1),=(1,1,-1),=(0,-1,-1).设平面a1ed1的一个法向量为n=(x,y,z),则令z=1,得y=1,x=0,所以n=(0,1,1),cos=-1.所以=180.所以直线ae与平面a1ed1所成的角为90.7.在四棱锥p-abcd中,pa底面abcd,底面abcd为边长是1的正方形,pa=2,则ab与pc的夹角的余弦值为.答案:解析:由于()=1cos 45=1,又|=1,|=,cos,=.8.在正四棱锥s-abcd中,o为顶点在底面上的射影,p为侧棱sd的中点,且so=od,则直线bc与平面pac所成的角为.答案:30解析:以o为原点建立空间直角坐标系oxyz,设od=so=oa=ob=oc=a,则a(a,0,0),b(0,a,0),c(-a,0,0),p,从而=(2a,0,0),=(a,a,0).设平面pac的一个法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos=.所以=60.所以直线bc与平面pac所成的角为90-60=30.9.在底面为平行四边形的四棱锥p-abcd中,abac,pa平面abcd,且pa=ab,e是pd的中点,求平面eac与平面abcd所成角的正弦值.解:如图所示,以a为原点,分别以ac,ab,ap所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设pa=ab=a,ac=b.连接bd,与ac交于点o,取ad的中点f,连接of,oe,ef,ae,则a(0,0,0),c(b,0,0),b(0,a,0),所以d(b,-a,0),p(0,0,a),所以e,o,=(b,0,0).因为=0,所以.因为,所以=0,所以.因此eof为平面eac与平面abcd所成的角.因为cos=,所以平面eac与平面abcd所成角的正弦值为.10.在长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=5,ad=8,aa1=4,m为b1c1上一点且b1m=2,点n在线段a1d上,a1dan.(1)求cos;(2)求直线ad与平面anm所成角的大小;(3)求平面anm与平面abcd所成角的大小.解:(1)建立空间直角坐标系,如图.=(5,2,4),=(0,8,-4),=0+16-16=0,.cos=0.(2)a1dam,a1dan,a1d平面anm,=(0,8,-4)是平面anm的一个法向量.又=(0,8,0),|=4,|=8,=64,cos=.直线ad与平