概率论习题1.1-1.4详解.pdf

概率论 第三版 习题解答概率论 第三版 习题解答 习题习题 1 1 解答解答 1 上抛两枚硬币 看朝上的面 上抛的两枚硬币如果不分甲与乙 则样本空间 解解 用 H 表示 正面朝上 用 T 表示 反面朝上 因不需区分甲 乙硬币 故 TTTHHH 2 上抛两粒六面骰子 看朝上的点数 丢掷的两粒骰子如果不分 某一粒 与 另一粒 只观 察朝上的点数 则样本空间 解解 用ji 分别表示两骰子朝上的点数 因不区分两粒骰子 故 5 3 4 3 3 3 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 6 6 6 5 5 5 6 4 5 4 4 4 6 3 即 6 5 4 3 2 1 jijiji或 三粒同一批号的水稻种子做发芽试验 观察发芽种子的粒数 观察种子甲 乙 丙 发芽或不发芽 发芽记作F 不发芽记作F 试写出随机试验 与 的样本空间 解解 3 2 1 0 FFF FFF FFF FFF FFF FFF FFF FFF 其中 F表示发芽 F表示不发芽 注 区分甲 乙 丙 4 袋中装有三粒弹子 一红一绿一白 从中任取一粒放在桌上 再任取一粒 从中任 取一粒 看过顏色后 将它放回袋中 再任取一粒 试根据取出的两粒弹子的颜色 不考 虑先后 写出随机试验 与 的样本空间 解解 Q不考虑先后且取后不放回 1 红 1 绿 1 红 1 白 1 绿 1 白 Q不考虑先后且取后放回 2 红 2 绿 2 白 1 红 1 绿 1 红 1 白 1 绿 1 白 5 某棉麦连作地区 因受气候条件影响 棉花 小麦都可能减产 如果记A 棉花减产 小麦减产 试用表示事件 棉花 小麦都减产 棉花减产 小麦不减产 棉 花 小麦至少有一样减产 棉花 小麦至少有一样不减产 BBA 解解 AB BA BA UBAU 6 调查甲 乙 丙收看某电视剧的情况 如果记A 甲收看 B 乙收看 C 丙收看 试用表示事件 甲收看 乙收看 病未收看 甲 乙 丙之中有一人收看 CBA 甲 乙 丙之中有两人未收看 甲 乙 丙至少有一人未收看 解解 CAB BCA CBA CAB CBA CBA CBA CBAUU 7 试说明下列事件两两之间是否有包含 相容 不相容或对立关系 CBAUUABCCBA ABC 解解 表示至少有一个发生 CBAUUCBA 表示三个都发生 ABCCBA CBA表示三个都不发生 CBA ABC表示三个不都发生 CBA 所以 与 对立 与 相容 与 不相容 与 对立 8 在电炉上安装了四个温控器 所显示的温度误差是随机的 在使用的过程中 只要有两 个温控器显示的温度不低于临界温度 电炉就要断电 若事件 0 tE 电炉断电 而 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值 则事件 1234 TTTT E与等价 C A 01 tT B 02 tT C 03 tT D 04 tT 解解 E 两个温控显示温度不低于临界温度 当时 故 0 t 03 tT 034 tTT E 03 tT 9 在某系的学生中任选一人 设A 他是男学生 他是一年级学生 他是田径运动 员 试说明 事件 BC CAB的意义 事件ABC的意义 事件CBA的意义 事件 的意义 CABC 解解 CAB 他是男生 他是一年级学生 但不是田径运动员 ABC 他至少具备 不是男生 不是一年级学生 不是田径运动员三条件之一 CBA 他不是男生 不是一年级学生 不是田径运动员 若 即 他是田径运动员 他是一年级男生 CABCABC C 即田径运动员都是一年级的男生 方法 可画韦氏图或可用运算性质 10 已知事件A与 试用较为简单的方式表示下列事件 B BAAB BA BABA BABA BABA 解解 BBAABAAB BA BABA BBABA BA A ABA ABABAA BABA BBBAA BABABABABA BAABA Q 习题 1 2 解答 习题 1 2 解答 1 上抛一枚硬币来决定乒乓球比赛的先发球权 方法是选手分别猜 正面朝上 或 反面朝 上 根据上抛硬币的结果猜中的选手先发球 试说明此方法的公平性 解解 P 正面朝上 P 反面朝上 0 5 此方法公平 2 2 上抛两枚硬币若A 有两枚正面朝上 B 有一枚正面朝上 C 至少有一枚正面朝 上 则 AP BP CP 解解 区分两硬币 422 nTTHTTHHH 而 1 Ar2 Br 3 Cr n Ar AP 0 25 n B r B P 0 5 n Cr CP 0 75 3 3 丢掷两粒骰子 若A 朝上的点数之和是 6 B 朝上的点数之和是 6 并且有一粒的点 数超过 3 已知朝上的点数之和是 6 在此条件下有一粒点数超过 3 试求 C AP BP与 注意 求 与时 基本事件的总数应该有所不同 CP AP BP CP 解解 区分两粒骰子 66 n A 1 5 5 1 2 4 4 2 3 3 5 Ar 365 AP B 1 5 5 1 2 4 4 2 4 Brr BP4 36 5 nA C 1 5 5 1 2 4 4 2 4 ACr 4 5 CP 4 4 袋中装有 4 个红球 3 个白球 从中任取一球 计算取得红球的概率 从中任取两球 计算取得两个红球的概率 解解 P 从中任取一球 取得红球 7 4 1 7 1 4 CC P 从中任取两球 取得两红球 7 2 2 7 2 4 CC 5 5 袋中装有 4 个红球 3 个白球 如果用取后放回的方法 每次取一个球 共取两次 试计 算 第二次取出红球的概率 两次都取出红球的概率 解解 取后放回 基本事件个数 77 n P 第二次取得红球 7 4 77 47 P 两次都取得红球 49 16 77 44 6 从 52 张扑克牌中任取 4 张 试计算 4 张中有 1 张A的概率 4 张中有 2 张A的概 率 4 张中有 3 张A的概率 4 张都是 4 张A的概率 解 解 基本空间 从 52 张扑克牌中任取 4 张的所有取法 nC 4 52 P 4 张中有 1 张A 4 52 C 3 48 C 1 4 C P 4 张中有 2 张A 4 52 C 2 48 C 2 4 C P 4 张中有 3 张A 4 52 C 1 48 C 3 4 C P 4 张都是 4 张A 4 52 0 48 4 4 CCC 4 52 C1 7 7 设为任意一实数 若 kyx A kxx kyyB 试比较与的大小 kyyB AP BP 解解 yx 由 即kxky kyyB 出现导致A kxx 出现 BA BP AP yx ky A 出现导致kxx kyyB 出现 BA AP BP 8 8 若正方形由x轴 轴 直线和y1 x1 y所围成正方形内部的点坐标为且 yx 2 1 2 xyByxA 试求与 AP BP 解解 G 2 1 10 10 用M表示测度 1 1 2 1 正方形 SGM AM A S 8 1 2 1 2 1 2 1 1 BM 1 1 阴 S 1 0 2dx x 1 0 3 3 1 x 3 2 或 1 2 1 1 0 1 2 x dydxBM 1 0 2 1 dxxdxx 1 0 2 3 2 0 8 1 GMAMAP 3 2 GMBMBP 9 9 有一个均匀的陀螺 它的半个圆周上均匀的刻有区间 上的各个数字标记 另半个 圆周上均匀地刻有区间 1 3 上的各个数字标记 如果让它旋转并在他停下来时观察 到圆周上接触桌面处的数字标记在区间 上 那么此事件的概率等于 解解 设A 接触桌面处的数字标记在区间 上 B 接触桌面处的数字标记在区间 1 3 上 接触桌面处的数字标记在区间 5 5 上 则 C CP ACP BCP BCPBPACPAP 2 1 2 1 2 1 4 1 0 375 注 基本事件不是等可能的发生 10 10 甲乙两艘轮船分别驶向某一个码头停泊 甲轮船停泊两小时 乙轮船停泊一小时 他们在 一昼夜内到达码头的时刻是等可能的 如果这个码头不能同时停泊两艘轮船 并且先到 达的轮船不需要等候 试计算这两艘轮船都不需要等候的概率 y y x x y y x x 1 2 2解解 用yx 分别表示甲乙到达码头的时刻 则 G 24 0 yxyx A 12 yxxyyx或 所以 M G M A A P 2424 2222 2 1 2323 2 1 1152 1013 习题习题 1 3 解答解答 1 设 5 0 4 0 3 0 BAPBPAP试计算下列事件发生的概率 BAU BA BAU BA BABU 解解 2 05 07 0 BAPAPABP 8 02 01 1 ABPABPBAPU 2 02 04 0 ABPBPBAP 8 05 06 07 0 BAPBPAPBAPU 1 BAPBAPBAPUU 1 02 04 07 01 1 ABPBPAP 2 0 ABPBBABPBABPUU 2 当时称 BPABP A不利于 当B APBAP 时称不利于BA 试证明 若 A不利于 则不利于BBA 证明证明 若A不利于 即B BPABP 而 BAPBPABPABPAP 所以 即不利于 APBAP 则 44 4 33 4 222 4444 1 1 4 3 2 PCPPCPPCPPPAP 022 2 1 222 1 1 2 1 PPCPPCPPBP 代入 1 解不等式得 3 2 P 10 某种子公司通过多次试验得知 某批西瓜种籽的发芽率为 95 出售时将 10 粒装成一 包 并保证至少有 9 粒能够发芽 否则退赔 试计算出售的任意一包需要退赔的概率 解 解 0 086 5 95 C 5 95 C 1 10 P 9 P 1P 01010 10 99 101010 11 如果因接受输血而发生不良反应的概率是 0 001 试计算 2000 人接受输血后 有 2 人 发生不良反应的概率 至少有 2 人发生不良反应的概率 解 解 2001 02000 np 2 2 2 2000 eP 22 22 e 2 2 e 01 1 0 1 0 20002000 ePP 22 21 1 eee 12 某保险公司预计 每一年因某种事故而死亡的客户占总数的 0 005 试计算一年内 10000 个客户至少有四户以上需要理赔的概率 解 解 5 010000 005 0 p 2 P 1 P 0 P1 100010001000 3 P1000 01 0 e 1 e 2e 2 3e 2 0 0018 13 对某敌舰相互独立的炮击两次 每次发射一发炮弹 命中率分别是 0 6 和 0 7 敌舰中一 弹与中两弹而被击沉的概率分别是 0 6 和 0 8 求炮击两次后敌舰被击沉的概率 解解 设表示第i次命中 表示击沉 因为相互独立 已知 i AB i A6 0 1 AP 0 7 P A2 AAP B 21 21A ABP 0 6 21A ABP 0 8 则BAAP 21 BAA 21 BAA 21 21 BAAP 21 BAAP 21 BAAP 212121212121 AABPAAPAABPAAPAABPAAP 212121212121 AABPAPAPAABPAPAPAABPAPAP 0 6 0 3 0 6 0 6 0 7 0 8 0 4 0 7 0 6 0 612 14 电话分机网络有用户 6 家 每小时每户平均用电话 6 分钟 各户用电话相互独立 求 每小时恰好有 2 户用电话的概率 每小时至少有 2 户用电话的概率 每小时至多有 2 户用电话的概率 解解 10 160 6 p 098 09 01 0 1 2 422 6 422 66 CppCP P 至少有 2 户用电话 114 09 01 09 01 01 1 0 1 511 6 600 666 CCPP P 至多有 2 户用电话 2 1 0 666 PPP 984 0 1 1 1 422 6 511 6 600 6 PPCPPCPPC 15 每一门高射炮发射一发炮弹击中敌机的概率为 0 6 如果 k 门高射炮同时各发射一发炮 弹 试计算数值 k 确保击中某架来犯敌机的概率为 0 99 解解 依题意有 99 0 3 2 1 kPPPP kkkk L 即 99 0 0 1 k P所以 即 01 04 06 0 00 k k C6 k 16 甲 乙