浙江省温州市平阳县鳌江镇第三中学九年级数学上册 3.2 圆的轴对称性教案（2） 浙教版.doc

3.2圆的轴对称性（2）教学目标 1.使学生掌握垂径定理及其推论，并会用垂径定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题； 2.使学生了解垂径定理及其推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力和计算能力，结合应用问题向学生进行爱国主义教育.教学重点和难点垂径定理的两个推论是重点；由定理推出推论1是难点.教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.(由学生叙述) 2.结合图形7-35，教师引导学生写出垂径定理的下述形式：题设 结论 线cd平分弦ab 指出：垂径定理是由两个条件推出三个结论，即由推出.提问：如果把题设和结论中的5条适当互换，情况又会怎样呢?引出垂径定理推论的课题 二、运用逆向思维方法探讨垂径定理的推论 1.引导学生观察图形，选为题设，可得： 由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设能够推出上面的结论，还必须加上“弦ab不是直径”这一条件. 这个命题是否为真命题，需要证明，结合图形请同学叙述已知、求证，教师在黑板上写出. 已知：如图7-36，在o中，直径cd与弦ab(不是直径)相交于e，且e是ab的中点. 求证：cdab，. 分析：要证明cdab，即证oeab，而e是ab的中点，即证oe为ab的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.利用垂径定理可知acbc，adbd. 证明：连结oa，ob，则oaob，aob为等腰三角形. 因为e是ab中点，所以oeab，即cdab， 又因为cd是直径，所以 2.若选为题设，可得： 以上命题用投影打出，引导学生自己证出 3.根据上面具体的分析，在感性认识的基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的二个命题，教师板书出垂径定理的推论1. 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2) 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧. 三、应用举例，变式练习 例1 平分已知. 引导学生画图，写已知、求作. 已知： (图7-38)，求作：的中点. 分析：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.因此，连结ab，作弦ab的垂直平分线，它一定平分. 作法：(由学生口述，教师板书，师生共同作图) 练习1 四等分已知. 引导学生在平分的基础上，进一步平分am和bm，即可四等分ab. 作图后，提问：四等分弦ab是否可四等分，为什么?如图7-39所示.在学生回答的基础上，强调：这种作法是错误的，虽然在等分时作法是对的，但是在等分和时是错误的，因为at，bt不是和所对的弦.因此at，bt的垂直平分线不能平分和，请同学们务必注意. 练习2 按图7-40，填空：在o中此练习的目的是为了帮助学生掌握垂径定理及推论1的条件和结论.例2 1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥(图7-41)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧的中点到弧的距离，也叫弓形高)为7.2米，求桥拱的半径.(精确到0.1米) 首先可借此题向学生介绍“赵州桥”，对学生进行爱国主义教育，同时也可激发学生学习数学的兴趣. 关于赵州桥的说明： 赵州桥又名“安济桥”，位于河北省赵县城南交河上，是我国现存的著名古代大石拱桥、隋开皇大业年间(590608)由李春创建.桥单孔，全长50.82米，桥面宽约10米，跨径约为37米，弧形平缓，拱圈为28条并列的石条组成，上设四个小拱，既减轻重量，节省材料，又便于排洪，且增美观在世界桥梁史上，其设计与工艺之新为石拱桥的卓越典范，跨度之大在当时亦属首创，反映了我国古代劳动人民的智慧与才能. 分析：(1)首先说明跨度、拱高等概念，然后引导学生设法把实际问题转化为数学问题，并画出几何图形(图7-42)，且一边画图一边解释：桥拱是圆弧形，以o为圆心，r为半径画出一段圆弧表示桥拱，弦ab表示桥的跨度，即ab37.4米，的中点c到线段ab的距离为.2米.这样我们就可以根据实际问题，参照上图写出数学问题的已知和求解. (2)实际问题已转化为数学问题，下面讨论如何解决这个问题. 启发学生观察图形、发现：对于，如果经过圆心o作弦ab的垂线od，d为垂足，并延长交于点c，那么根据垂径定理可知，od平分弦，oc平分弧，即c点为ab的中点，cd就是拱高，这样做出的图形符合题意. 根据勾股定理，在rtaod中就可求出半径r. 解题过程，参考课本. 对于此题，学生往往是过的中点c先作出弓形高cd，即过c作cdab，垂足为d，如果是这样的话，可引导学生根据垂径定理，首先证明直线cd经过圆心o，仍然可利用勾股定理，求出半径r. 说明：此题的解题思路是，经过圆心作弦的垂线，说明它平分弦且平分弦所对的弧也可以经过弧的中点作弦的垂线，说明它平分弦且经过圆心.解决这类问题时，只要抓住弦长、弦心距、弓形高及半径之间的关系，已知其中的两个量，可以求出其它两个未知量，这种思考方法今后要经常用到. 例3 已知；如图7-43，o半径为6厘米，弦ab与半径oa的夹角为30. 求：弦ab的长. 分析：已知圆的半径和半径与弦的夹角.要求弦长，只要利用圆的半径、弦长、圆心到弦的距离之间的关系即可.过圆心o作ab的垂线段od，解rtaod，求出ad即可求得ab. 解：作odab于d，则addb， 在rtaod中，因为dao30 练习3 如图7-44(厘米) 在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽ab600毫米，求油的最大深度. 通过此练习题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.再一次明确弦长a、弦心距d、半径r及弓形高h之间的关系.(图7-45) 四、师生共同小结 问：这节课我们学习了