（应用数学专业论文）脉冲微分方程与差分方程边值问题.pdf

摘要 本文主要研究一阶脉冲常微分方程周期边值问题 一阶脉冲泛函微分方 程周期速值阀题 四阶差分方程边值同题 随机脉冲微分方程 第一章与第二章利用上下解方法并结合单调迭代技术分别研究了一阶脉 冲常微分方程周期边值问题与一阶脉冲泛函微分方程周期边值问题的解的存 在性 第三章利用锥上的不动点定理 讨论了四阶差分方程边值问题的正解的 存在性第四章建立了几类随机脉冲微分方程的参数变易公式 关键词二泛函微分方程 随机微分方程 边值问题 上下解 单调迭代技术 正解 锥 参数变易公式 脉冲 a b s t r a c t t h er e s e a r c hr e p o r ts t u d i e sp e r i o d i c b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o rf i r s to r d e ri m p u l s i v eo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s p e r i o d i cb o t m d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rf i r s to r d e ri m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rf o u r t h o r d e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n s s t o c h a s t i ci m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c h a p t e r ia n dc h a p t e ri id e a lw i t ht h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n so f p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rf i r s to r d e ri m p u l s i v eo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d i m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb ym e a t u so fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sc o u p l e d w i t ht h em o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e c h a p t e ri i ip r e s e n t st h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v e s o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rf o u r t h o r d e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t hh e l p o ff i x e dp o i n tt h e o r e mo nc o n e s c h a p t e ri ve s t a b i l i s h e sf o r m u l a eo fv a r i a t i o no f p a r a m e t e r so f s e v e r a lc l a s s e so fs t o c h a s t i ci m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s k e y w o r d s f u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o s m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e p o s i t i v e s o l u t i o n c o n e f i x e dp o i n t f o r m u l ao fv a r i a t i o no fp a r a m e t e r i m p u l s e i i 第一章 阶脉冲常微分方程周期边值问题 摘要本章通过建立一阶非线性脉冲常微分方程周期边值问题新的比较定理 并利用单调迭 代法与上下解方法给出了其最大解与最小解的存在性 关键词脉冲常微分方程 周期边值问题 单调迭代法 上下解 l 1 引言 考虑一阶脉冲常微分方程周期边值问题 p b v p iz 7 t f t t t t k t z a x t k 矗 z l 2 p 1 1 1 x 0 z t 其中 c j x r r j o 司 厶 c r r a x t k z t 孝 一z t k 1 2 p 0 t 亡2 一 t k t 口 0 r 和即的定义为 f f 上盟竺盟l 一 如果 o t i口 7 i i 1 三 1 e 埘 一e 埘 l0 如果 o a t f 丁 坐 旦型盟 一 如果删 0 a 2 函数i k c r r 满足 z 一矗 l k x y 其中卢 g z a t k k l 2 p l o 和动的定义为 f 丁 且坠堂业竺一 如果 o t 1 l 口 一 v 一 一 吒 乏二i i 1 一三m e m 1 一e i 孑 如 1如果 s t f 丁 丝坠型监竺一 如果f i 0 0 b 2 函数厶 c n l r l 满足 一厶 y 一l k x 一 其中o ysz 卢 七 1 2 p l k l 七 l 2 p 引理1 1 1 1 1 假设 岛 序列 满足0 t o t l t 2 t k 0 l k 一l l 2 p 1 1 1 一1 e 一胛 1 且 k l f p 噬坠型虬一 如果i o t l 7 4 r 1 l k 1 e 州 一e 州 l 仁0 o t l 1 0 如果m o m t 狐0f n t 0 t l 证明考虑不等式 1 2 1 由引理1 1 1 对t 有 r e t 2m t 1 工 e m t 叫 a 彳r m 1 工 e m r 一5 d s 1 2 2 r s t k t 由 1 2 2 有 m m 口 理t 1 l e m t t 一 m r 常1 i 高矿l k e d s 1 船 mf 1 呱r 1 札 t上上 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扣坷 儿1 s t k t f s h r e t 则 0 此时 有 m 仃 m o m 0 从而也推出m o 0 证毕 仃一f e m t 1 一工 e 4 n 1 一e 彳 i oh t k 0 l k 1 k 1 2 p 且 p i i 1 1 e 胛 1 七 1 则p b v p 1 3 1 有唯一解 绯问 0 骁 1地 em o 骁 1地 em t s ffo tk s t t 幽 t t 1 句 e m 一 f 乓 口 如 一l q o t k k 岛 t 7 1 3 3 咖 二 一一 乱蹦直 其中 u o u t 1 一i i 1 l k e m t r t i 上 器t 1 l k e 婶1 b 如 1 删 1 岛 e m t 一 乓 q 一三 q o t t k t j 0 五k 1 1 2 p 且 则p b v p 1 3 2 有唯一解 u 0 骁 1 e mr 1 o 歇 1 e m t s o o tk s d s t 5 c 其中 i i 1 一l j e m 一缸 c 叩 l 口 o t k t t j t 1 3 5 u o u 1 一i i 1 一l k e m t z 2s t k t 1 一工e e m t 一5 一 s d s 1 3 6 1 一l i e m 丁 厶 q 厶聊 1 4 主要结果 定理1 4 1 假设条件 a o 一 a 2 成立 且 p 1 工七 一1 e 一吖t 1 1 8 0 证明设归 叫 如 n 口 t z t q t e 以 对任意 归 n 考虑 p b v p 1 3 1 其中 口 t t 目 t 一m q 由引理1 3 1 p b v p 1 3 1 有唯一解u q 定义算子a 为u 4 仉则算子a 具有下 列性质 i p s a 卢 a q so i i a 是够 n 中的单调算子 即 对任意q l 町2 旧 o q l 曼啦有a q l 茎a 啦 我们只考虑情形 o d t 和z 0 p t 先证 i 令m 岛一卢l 其中风 a z o 由条件 a o 和 1 3 1 有 m 瞄 t 一卢i t 2 删 m 丁 j 幽l 鲤 l 1 工 一1 e m 一e m i 0t o t k t l 一 m 卢1 t t 凤 一m z o t m m t m 挚幽l 继盟地盟盟 1 k 1 e 州 一e m t i 1 i 0t o c t m m t m r m 如 t z a m t 女 岛 一 风 屁 卢o 如 一 l k 卢1 矗 岛 札 一三t 风 二 m 靠 k 1 2 p m 0 0 口 风 n n 1 2 满足 lo t 一m a t 口 一l t t t z a 亡七 二女a 厶 o n 一1 一三女 一l k 1 2 p i 以0 一m 风 t d h l t t t 正 风 饥风 厶 风 一五k 风一l k l 2 a 芦n o 一风 t 1 0 其中 a n l t f t q n 一1 t 一 f a 一l t 而一1 t f t 艮一1 t 一m 风一1 t 于是 存在p r 使得t i 骢 t p 舰风 t r t 在j 上一致成立 显然p r 满足p b v p 1 1 1 为证p r 是p b v p 1 1 1 的极解 设z t 是p b v p 1 1 1 的 任意解且 旧 a 1 假设存在一个正整数n 使得卢n t t sa t v t l 令 m 风 i z 则有 m 讹 熙 1 t 一一 t m 艮 1 砷 f t 艮 t 一m 风 t 一f t z t m m t t t k t 正 a m t i a 风 t t k 一a x t k 陋 风 l 厶 风 一l k 岛 一矗渖 l k m t k k l 2 p m o r e t 由引理1 2 1 m t 0 v t t 即风 l t z t v t t 类似地可证 t 茎o t n l t v t l 因为z o t sz t 咖 v t j 由归纳法 对任意n 岛 t z t sn t v tej 因此 令n 0 0 则有p t z t sr t v t 证毕 类似地可以证明 定理1 4 2 假设条件 风 一 b 2 成立 且 p i i 1 一三k e m t 0 1 5 参考文献 1 v l a k s h m i k a n t h a m d d b a l n o v a n dp s s i m e o n o v t h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s i n g a p o r e w o r l ds c i e n t i f i c 1 9 8 9 2 d d b a i n o va n dp s s i m e o n o v i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s p e r i o d i cs o l u t i o n sa n da p p l i c a t i o n s l o n g m a n h a r l o w 1 9 9 3 f 3 1g s l a d d e v l a k s h m i k a n t h a m a n da s v a t s a l a m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e s f o rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s l o n d o n p i t m a n 1 9 8 5 4 1v l a k s h m i k a n t h a ma n ds l e e l a r e m a r k so i lf i r s ta n ds e c o n d0 1 d e rp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s n o n n e a ra n a l 8 1 9 8 4 2 8 1 2 8 7 5 x z l i u m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n a b a n a c hs p a c e m a t h p s c i 2 4 1 9 9 0 1 8 3 1 9 1 6 a s v a t s a l a a n dy o n gs u n p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a p p l a n a l 4 4 1 9 9 2 1 4 5 1 5 8 7 g r s h e n d g e m o n o t o n em e t h o df o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sd e s c r i b i n gp e r i o d i c t r a n s p o r tp r o c e s s e s m a t h a n a l a p p l 1 0 6 1 9 8 5 2 8 6 2 9 2 8 j j n i e t oa n dn a l v a r e z n o r i e g a p e r i o d i cb o u n d a r yp r o b l e m sf o rn o n l i n e a rf i r s t o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a c t a m a t h h u n g a r 7 1 1 9 9 6 4 9 5 8 9 j j n i e t o b a s i ct h e o r yf o rn o a r e s o n a n c ei m p u l s i v ep e r i o d i cp r o b l e m so ff i r s to r d e r e q u a t i o n s j m a t h a n a l a p p l 2 0 5 1 9 9 7 4 2 3 4 3 3 1 2 第二章一阶脉冲泛函微分方程周期边值问题 摘要本章通过建立一阶非线性脉冲泛函微分方程周期边值问题新的比较定理 并利用单调 迭代法与上下解方法给出了其最大解与最小解的存在性 关键词脉冲泛函微分方程 周期边值问题 单调迭代法 上下解 2 1 引言 脉冲微分方程理论是微分方程理论中的一个十分重要的新的分支吣 4 5 7 1 1 考 虑一阶脉冲泛函微分方程周期边值问题 p b v p i t l t z 0 x t t t k t 0 t 1 女 21 2 p 2 1 1 lz t o t 一t o l iz o t 其中 g o t r d r d r 0 r 币除有限个 外处处连续 币 i 一 和妒 存在且妒 i 一 妒 厶 c r r a z t k t 古 一z k 1 2 p 0 o l t 2 知 0 对任意t 0 t i 轨 d 定义为 如 z 0 s s 一r 0 1 设jcr 为一区间 定义p g 正r 扛 j 叶r t 在t t k 时连续 z 坛 和z 砖 存在且z 坛 p c i j r z p c j r t 在t t k 时连续可 微 z 协i 和z 心 4 存在 设q p g 一r 卅 r n p c i o 硼 r 称函数z n 为 p b v p 2 1 1 的一个解 如果z 满足 2 1 1 定义2 1 1 称函数o q 为p b v p 2 1 1 的一个下解 如果 d t y t o 口 t 如 t o 卸 掣赫砸 l薯1 2 t 0 p 僻地 a t d o t a 0 o t 1 3 定义2 1 2 称函数卢 n 为p b v p 2 1 1 的一个上解 如果 卢 t f t 卢 t 卢t 卢 k 厶 t k 卢 t 卢 0 p 0 卢 t t 圮t o 司 1 m p 1 阻3 1 t 一lo 7 引理2 1 1 1 假设 岛 序列m 满足o s t t l t 2 如 且 1 i r a o o t k 0 0 c 1 m p c i r r 在t k 处是左连续的 k 1 2 岛 对任意 1 2 t t o m t p t 7 挖 t g 站 t 拓 2 1 4 m t d d k m t k b k 2 1 5 其中p q c n r 巩 0 且k 是实常数 则 邮 m t o r i d k 唧 盼5 0 t k 0 n 0 0 l k 0 且 n e m r t 击 护 1 e m t 4 1 s蚪 f t 1 i z 训出 s t k 0 且u t 0 v t o 卅 b 存在t i 呓 0 司使得t 贯 0 u 呓 0 2 2 5 且 u o u t u o e m r 0 2 2 6 从而导致矛盾 情况 b 设t 赫 一a 则a 0 且对某一个i 存在如 t 6 t i 1 使得 u t 6 一a 或u t a 假设u t a 一a 当u t 一a 时 其证明类似 1 5 口口罘t r 20 j j u 相 u 他 一 u e 州h 曲d s s 仁 e 州h 础d s 等 e 脚一1 t 垴t 哪2 百r 1 垴o h 玎 如果t 一7 0 则有 t 一 u 8 e m t s d s 一 u s e 吖 t s d s钍 t 一 u 8 e 埘 卜5 d s 一 u s e 吖 卜5 d s j t r j 0 s 一 l ou o e m s e m t s d s a n 厂e m 一s d 5s 一 5 e 朋 一5 d s e 一5 d 5 j t r i o a e l f r 一 面a n i c m t 一1 a n e m r t 击 e 价 1 t 地 t o r 所以 对t t k t 0 t u 岖m 等 抄 1 me m r r 击 e 脚 1 p 7 r 矛ie m r 1 其中 n e u r r 击 e 腑 1 考虑不等式 j 心 a t t k t t 1 u t 古 1 一l k u t k k i l i 2 p u su t 1 一l k f 1 一l 女 a m o d s u t s 一 1 一l k j 1 一k d s 1 t o l t k 音竺生 爿业生一 j 县r 1 洲5f 州1 心i 1 训出 1 6 2 2 7 2 2 8 2 2 9 从而与 2 2 2 式矛盾 因此u t 0 由 2 2 3 有u o s t e m ts0 于是有 0 苟 z 设对某一j 有 t i l 我们百先假设t 5 于是i j 在 2 2 7 中令t 堪则 o u 一a i i 1 一l k f 1 i i 1 一l k a m o d s 坛 口s 如 由 2 2 1 0 有 i i 1 一上k 1 一l k 舢 q tk q 筘 从而与 2 2 2 式矛盾 接下来我们假设 蛄 于是j i 考虑不等式 iu t a m o t 如 t o t t 古 1 一l k u t k 1 2 p 由引理2 1 1 有 如 照 i l k 上 歇 i l k 猢 d s o s f 在 2 2 1 1 式中令t t i 则有 吣训蜢琏q m 0 i 矧 i l k a m o f 骥 t 7 1 k d s 0 o ii 划 0s t t t 卜以 d s 亡 由 2 2 3 得 一心f o h i l k d 5 e m t h 删 1 一以 1 7 2 2 i 0 2 2 1 1 22 1 2 2 2 1 3 由 2 2 8 和 2 2 l3 得 上1 县 n 气曲如 e m r i i 1 一g k 一a 1 一 女 o 札 t lt t k t m t hr 1 l k d s j 或 所以 i i 1 一工 i i 1 一l k o t t p t m o 1 1 1 一l k f i i 1 一l k d s o t k q 0 a k 1 m o e 胛 1 i i 1 一l k d s s t k 1 1 1 一l k 1 一l k i i 1 一l k 1 一l k l k tj 一 眯二 b t m o 1 一l k 1 一工k f 1 一l d s 0 t k o t k 1 o s t t o m o e 胛 1 一n k 1 1 一l k d s 0 t k r t t 5 t t 0 n 0 0sl k 0 若 y e m tq 耐1c m t 一 e m t q i d 曼 则m t s0 t 一r 卅 p 也 2i 娶 1 曲j 2 2 1 4 k l 协 脚 l 证明假设不等式 2 2 1 4 成立 则 z r 县t c 也汹2 后 县t 1 l k d s 后 县t c 也油 f 1 一l k d s c i i 1 一训出 e i i 1 一l k d s p p 3 女 0 n 0 l j 0 后 1 2 p 7 0 且 1 e m r e m t q 1 则m t 0 t 0 t 1 9 2 2 1 7 证明令 t m t e 一 n t 一r t 则 q 满足 h 蛇 吣 e 埘p 乜 触 吲啦 j x u t k 巩u k 1 2 p iu t u o e m t 一r 0 i o u t e 胛 我们将证明 0 v t 0 t 假设 2 2 1 9 不成立 考虑以下两种情况 a 存在t t o 卅使得 0 且u t 0 v t 0 t b 存在蜡 呓 o t 使得u 苴 0 呓 0 2 2 1 8 2 2 1 9 2 2 2 0 且 u t 兰1 上 o u e m t 0 2 2 2 1 从而导致矛盾 情况 6 设 帮岛 t 一a 则 o 且对某一个i 存在 t 6 t 小使得 踮 一a 或u t 一a 假设u t 5 一a 当 t 一 时 其证明类似 如果t r 0 则有 7 t u s e m 一 d s 一a n e m t s d s j t r 一万a n 1 e m r t t e r 习 如果t r o o e m s e m 出一i n c t e m e m t s d s 上一 o e 刊 叫4 j 0j t r 兰一 e m t r t 一面i n 卜e 圳 一a r 击 一e 州7 t 地 t 0 n 所以 对t t o t 1 有 州蛇幽 等 一脚卜a r i e m d 一 r 击c 一e m 一a 其中 r 击 1 一e 州7 考虑不等式 j t 一 t t 0 t u t 吉 1 l k u t k k 1 2 p 由引理2 1 1 有 t 2u o 1 l k f 1 工七 一a m o d s 2 2 2 2 0 女 t u s t k 0 则由 2 2 2 3 有 从而与 2 2 1 7 矛盾 因此 u o 0 由 2 2 1 8 有u t t o e m t 0 于是有 0 t i t 对某一j 设0 q t j 1 2 1 瓮 坐胁黔 i t 2 一a m ot t k t 贯 u t j 1 三七 u 如 k j 1 j 2 p 由引理2 1 1 有 t u 苗 1 十三 f i i 1 l k 一 m o d s t t k c 1 s t k 在 2 2 2 4 中令t 蜡 则 u t u 虻 1 工k 1 三k a m o d 8 t 1 s 由 2 2 2 5 有 o u 虻 一a h 1 三k 一1 a m of h 1 上 一1 d 3 蜢 锚 1 t i t k 坠笪 一 爿坐生 一 危县 1 如心以h 昧 1 k 心 从而与 2 2 1 7 式矛盾 接下来我们假设t 6 牙 于是i j 在 2 2 2 4 中令t l 有 t 三 t i h 14 三e f 1 l k 一a m o d s r i s t k t 从而 o t s t 1 l k 一1 a m of h 1 l k 一1 d s 坷 t l i 一a m of h 1 e l k d s t 靠 丁 1 t 5 2 2 2 4 2 2 2 5 2 2 2 6 2 2 2 7 由 2 2 1 8 以 也必1 k 乜s e 埘 m i 眨t 1 2 2 8 l 啦 5c y 由 2 2 2 3 和 2 2 2 8 得 一 m of i i 1 l k d s l i t k o r e m t 1 三 一1 一a 1 l k 一1 丁l o 9 蛹上t h 阳 1 l d b s j 或 1 三t 一2 1 工 一1 t 丁 o 圮 m g 1 l k r i i 1 l k d s c 拓 t u o t h 5 m o e 埘f 1 皿 1 缸 所以 f 2 l i 1 二 一1 h 1 l k 一11 i 1 l 一1 1 l 一1 o t k tj 如 1 o 故 o 2 m o 1 i 1 三t 一1 1 l k 一1f 吣i i 1 l t 一1 d s t2 t o 0 n 0 l k 0 1 2 p r 0 若 r 1 e m r e m t 1 j 1 2 2 2 9 c 一一 广 一 下 1三 譬 脚 则m t 茎0 t 卜7 2 j 证明假设不等式 2 2 2 9 成立 则 上t 黔埘 2 鼬i i 阳 i 地 1 幽 f 黔 圹 e i i 1 l k 蚺 e 1 k 1 d s 亡1 一如 1 l 1 1 亡2 一t 1 t 1 一t o 1 l k 一1 t n l t n s a 耋重c l k s 6 l 1 ln l 缸 l 2 2 3 0 利用 2 2 2 9 和 2 2 3 0 易得 2 2 1 7 成立 由引理2 2 2 得m s0 t 一t t 考虑线性p b v p 2 3 线性周期边值问题 t t m t 一n u s d s 盯o t 靠 t 0 t l t r u 如 一l k 扎 厶细 l t 叩 七 1 2 p 2 3 1 u t 0 让 o u t t t 0 f u 俅 一m u t u s d s 一 巩 t 垴 0 1 列 j u l k 札 厶 町 一m 叶 尼 1 2 m 2 3 2 l t u o t r 0 i 札 o u t 其中m n l k 1 2 p 为常数 厶 g o t 1 r 口 p c o t l r q n 2 4 札 岛 一 一 p p n 一 一 订 曲p l l 十 l l 学 触 引理2 3 1 n 是p b v p 2 3 1 的解 当且仅当u p g r 卅 r 是下列 脉冲积分方程的解 其中 证明 e m t 一 e m t t 一 解 贝4 有 l k r l t k t f o 卅 2 3 3 0 s t 茎t 0 t s t u u e m t 上te m t 5 e m t 5 一 z u p d r 一 s a st 2 u o e 州 上 一 u p 一 s d s e m t t k l k u t k r k v t 女 l q 0 t k 在 2 3 4 中令t z 得 t 胁 0 e m t j r f o te m t s 一 d r a 出 由边值条件u o c 南f 上te m t s 一 f 8 u c r 出 2 3 4 2 3 5 e m t t 一l k u t k 目 仇q o t r j 把 2 3 6 代入 2 3 4 并利用初始条件u t u o t r o 则有u p e t t r 满足 2 3 3 如果u p e r 卅 r 是 2 3 3 的一个解 则有t p c c o 列 r 且 iu t m u t 一n u s d s 口o 如 t o 司 t l j r u 一l k u t k h l 女叩 如 七 1 2 p t 一r 0 出枷 厶附 碱 k 卜 缝舻 忘 叩k 己十 札叩k 如 u e 已一 k rm e 恙啉 在 2 3 3 中分别令t o t 则有 u c 南 z t e m t s 一 z u c r 出 a c s 如 0 聂t kt e 州卜叫也嗽m 蚓m 州煳 tl u o 因此 n 是 2 3 4 的一个解 证毕 引理2 3 2 q 是p b v p 2 3 2 的解 当且仅当 p g 一r 卅 r 是下列 脉冲积分方程的解 其中 晰 南f 2 0 s t 0 0 0 l k 1 l 2 p k e o t i r 口 p c o 驯 r q q 且 迎m 型 南1m t 羞耻t 1 一e 一 厶 则p b v p 2 3 1 有唯一解p e r t 1 r 证明 设n o p g 一l t r t u o v t i s u p l u 蚓 t 一 刁 则q o 是一个b a n a c h 空间 对任意i t n o 考虑算子 ft g t s 一 r 咖 a s 幽 2 3 8 r o 定义范数为 g t t k l k u t k 磊向 三女 t o 刀 o 0 n 0 三k 0 1 2 p c 0 t r q n 且 掣 丽1 驴p 0 n 0 a 2 函数矗 c r r 满足 如 z 一厶 g 一l z g 其中c p t k 兰y s 卢 0sl k 0 证明设h 例 扣 n n f l o 口 t 兰 t 卢 t t t 1 卅 对任意q 陋 明 考虑p b v p 2 3 1 其中 巾 祀 啦 m 们 巾 如 由引理2 3 1 和引理2 3 2p b v p 2 3 1 有唯一解u n n q o 定义算子a 为 却 则算子a 具有下列性质 i 口 a a 卢 a 卢 i i a 是k 纠中的单调算子 即对任意r h q 2 b 风q 1 1 2 有且q 1 a t 2 先证 i 令m d o o l 其中d 1 a o o 则有 m 讹 口6 t 一a i t t a o t a o t 一 一m c y t t 一 0 1 s d s j t f o t o o t m a o t n7 n o s 幽 z j t r 一m m t 一n f m s 如 如 t 0 t z x m t k o o 一 口l 矗 a o 靠 一卜三七 1 氏 o 如 l a o 如 j 一工t m m t m 0 m 口 k 1 2 p t 一下 o 卜 由引理2 2 1 有m t 曼0t 一r 明 即 口 a n 类似地可证卢 a z 再证 i i 设u l a r 1 u 2 a z 2 其中q 1 兰q 2 t 一r 卅 l q 2 a 卢 令m u l u 2 利用 a 1 a 2 和 2 3 1 有 m t j t 一u 一m u l t 一 u l s d s f t q l t i t j t t z 一 一m u2 mrh t 71 s ds m u t 一 厂 u s d s t 7 j t 一 一t 一 u 2 j r 岛目2 q 2 t 4 玎7 7 2 上一 t 7 2 s d 8 墨一m u l t 一u 2 0 一n u i s 一u 2 0 d 5 j t r m m t n f m s d s t o 罔 a m t a u l t k 一 u 2 一l k u l t 厶 q l l k r 1 t k 一卜l k u 2 t k 氏 2 如 n k 啦 t k 一l k m t k 1 2 p m t m o r e t t r o 由引理2 2 1 m 0 t 一r 卅 即 u l 2 定义函数序列 o o 岛 t 如下 o r 0 o 岛 口 o t n l a a n 卢n l a 风 由 i i i 得 a o t a t t a 2 t q t 冬风 t 尻 t 卢l t 凤 t t 一l 明 r 0 吐 风 n n n o n l 2 满足 fz 了 g c 厶s 一 c r a r 一 c s a s a n t g o 一三k n k 口 一l 工k a 一l o 卅 io c 1 iq n o t 一r o ff g s 一 肌 d r 出 风 t g t 一l k f l t t k i k z 一1 三女岛一l t o t 1 0 t l 0 n 0 b 2 函数疋 c r r 满足 矗 z 一 0 s l k x v 其中z t k y a 如 l k 0 1 2 p b 3 不等式 2 2 1 7 和 2 3 9 成立 则存在单调序列 a n 风 t o o 口 肺 卢 使得0 骢a nc t r t 桌 岛 t p t 在 一r 司上一致成立 其中p t r t 分别为p b v p 2 1 1 在 一 卅上的最小 解与最大解 即若z n 是p b v p 2 1 1 的解满足卢 t x t 冬d t v t 一lt 则 风 t 卢1 t 如 t s 岛 t p t x t 曼r t o n t o 宅 t sn 1 0 a o o v t 一下 t n 0 2 5 参考文献 1 v l a k s h m i k a n t h a m d d b a i n o va n dp s s i m e o n o v t h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s tw o r l ds c i e n t i f i c s i n g a p o r e 1 9 8 9 2 d d b a i n o va n dp s s i m e o n o v i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s p e r i o d i cs o l u t i o n sa n da p p l i c a t i o n s l o n g m a n h a r l o w 1 9 9 3 3 g s l a d d e v l a k s h m i k a n t h a ma n da s v a s s a l u m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e s 0 rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a o n s p i t m a n l o n d o n 1 9 8 5 4 g s l a d d ea n ds s a t h a n a n t h a m p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ri m p u s i v e i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so lv o l t e r r at y p e j m a t h p h y s c i 2 5 1 9 9 1 1 1 9 1 2 9 5 x z l i u i t e r a t i v em e t h o d s o rs o l u t i o n so fi m p u l s i v e 知n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m s a p p l a n a l 4 4 1 9 9 2 1 7 1 1 8 2 6 d j g u o v l a k s h m i k a n t h a z na n dx z l i u n o n l i n e a ri n t e g r a le q u a t i o n s 杌a b s t r a c ts p a c e s k l u w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r s l o n d o n 1 9 9 6 7 1 x z l i ua n dd j g u o p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ri m p u l s i v ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fm i x e dt y p e 伽b a n a c hs p a c e s c h i n a n n o fm a t h 1 9 b 1 9 9 8 5 1 7 5 2 8 3 1 8 z l w e i s o l u t i o n so fp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s o r 一 to r d e rn o n l i n e a r i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n b a n a e hs p a c e s j s y s s c i m a t h s c i s 1 9 1 9 9 9 3 7 8 3 8 4 f 9 1 g s h r i s t o v aa n dd d b a i n o v m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e so f 矿l a k s h m i k a n t h a mi o rab o u n d a r yv a l u ep r o b l e ml o rs y s t e m so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c e e q u a t i o n s j m a t h a n a l a p p l 1 9 7 1 9 9 6 1 1 3 1 0 1 g s h r i s t o v aa n dd d b a l n o v a p p l i c a t i o no yt h em o n o t o n ei t e r a t i v e t e c h n i q u e s o fv l a k s h m i k a n t h a mf o rs o l v i n gt h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n s j r o c k y m o u n t a i n m a t h 2 3 1 9 9 3 6 0 9 6 1 8 1 l s l e e l aa n dm n o