（应用数学专业论文）非线性混沌系统的反馈与非反馈控制.pdf

西北i 业人学硕扛学位论文 摘要 摘要 混沌控制是当前国际上的 个热点研究领域 本文主要从事两方面的研究工 作 一类新混沌系统的控制及其同步问题 推广l i 6 n a r d 系统的混沌控制问题 论文的具体内容如下 第一章简要介绍了混沌理论的发展历史与现状 重点介绍了混沌控制 混沌 同步研究的历史与现状 给出论文中用到的基本知识和论文的主要内容 第二章研究一类新混沌系统的控制问题 首先通过对系统平衡点稳定性的分 析可知其均为不稳定平衡点 由此 对系统参数已知的情形 采用线性状态反馈 方法将混沌系统控制到 f i 稳定平衡点和内嵌的周期轨道 而对系统参数未知的情 形 采用白适应反馈法实现了平衡点的稳定问题 数值模拟结果表明 这两种方 法均可快速 准确地引导混沌孰迹到达控制目标 且控制器结构简单 容易实现 第三章研究新混沌系统的同步问题 首先剥两个参数相同但初值不同的新混 沌系统进行了理论分析 随后采用激活控制方法实现其混沌同步 进一步 提出 了 种基于系统辨识的自适应反馈方法 利用该方法可实现在系统参数未知且1 i 同初始点情况下新混沌系统的同步 数值研究结果表明 这两种同步控制方法响 应速度快 稳定性好 第四章用解析和数值方法研究推广l i 6 n a r d 系统的混沌控制 首先基十动力 系统奇怪吸引子理论和m e l n i k o v 方法 建立了判断混沌产生与消除的准则 根 据此准则 采用非反馈方法讨论了两类典型非线性系统的混沌控制问题 对于 d u f f i n g r a y l e i g h 振子 采用有界噪声作为加性激励实现其混沌控制 而对于 d u f f i n g v a i ld e rp o l 振予 采用同频率周期力作为乘性激励实现其混沌控制 同 时 利用多种研究混沌运动的数值方法验证了该准则的正确性以及所采用控制方 法的有效性 最后 在第五章给出了全文的工作总结和有待进一步展开的研究 关键词 新混沌系统 线性反馈 自适应反馈 混沌控制 激活控铺 混沌同步 推广l i d n a r d 系统 m e l n i k o v 方法 d l i b k 人学硕 学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t c h a o sc o n t r o ih a sa t t r a c t e dm o r ea n dm o r ea t t e n t i o ni nt h ec u r r e n tr e s e a r c hf i e l d s w em a i n l ye n g a g e di nt h er e s e a r c hw o r ko ft w od i r e c t i o n si nc h a o sc o n t r o l n a n l e l y t h ep r o b l e mo fc h a o sc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o nf o rac l a s so fn e wc h a o t i cs y s t e m a n dt h ep r o b l e mo fc o n t r o l l i n gc h a o sf o rac l a s so fn o n l i n e a rl i d n m ds y s t e m t h e c o n c r e t ec o n t e n t so f t h ed i s s e r t a t i o na r ea sf o l o w s c h a p t e ro n ei n t r o d u c e sb r i e f l yt h eh i s t o r ya n dt h ec u r r e n td e v e l o p m e n t so ft h e c h a o st h e o r y t h e no n ef o c u s e so i lt h ei n v e s t i g a t i o nh i s t o r ya n dt h ec u r r e n ts i t u a t i o n s o fc h a o sc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o na tl a s t t i l ee l e n l e n t a r yk n o w l e d g eu s e di nt h i s d i s s e r t a t i o na n dt h em a i nc o n t e n t sa r cg i v e n c h a p t e j t w oi n v e s t i g a t e st h ep r o b l e mo fc o n t r o l l i n gac l a s so fn e w c h a o t i cs y s t e m i ti sf o u n dt h a tt h ee q u i l i b r i u mp o i n t so ft h es y s t e ma r ea l lu n s t a b l eb yt h es t a b i l i t y a n a l y s i s t h ec h a o t i ct r a j e c t o r i e so ft h en e ws y s t e mw i t hk n o w np a r a m e t e r sc a l lb e e f f e c t i v e l yg u i d e dt oa n yu n s t a b l ee q u i l i b r i u mp o i n to rp e r i o ds o l u t i o nb yt h el i n e a r s t a t ef e e d b a c km e t h o d t h es t a b i l i z a t i o no ft h ee q u i l i b r i u mp o i n tf o rt h es y s t e mw i t h m a k n o w np a r a m e t e r si si m p l e m e n t e db yt h ea d a p t i v ef e e d b a c km e t h o d n u m e r i c a l s i n m l a t i o nr e s u l t ss h o wb o t ho ft h ei n e t h o dc a nc o n t r o lt h ec h a o t i cm o t i o nt ot h e d e s i r e dt a r g e to r b i t q u i c k l ya n de x a c t l y m o r e o v e rt h ec o n t r o l l e ri ss i m p l ea n d r e a l i z a b l ee a s i l y c h a p t e rt h r e es t u d i e st h ep r o b l e mo fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o nf o rt h en e wc h a o t i c s y s t e m f i r s tt h es t r i c tt h e o r e t i c a la n a l y s i so f t h es y s t e mw i t ht h es a m ep a r a m e t e r sb u t d i f f e r e n ti n i t i a lv a l u e si sp r e s e n t e d t h e nt h ec h a o ss y n c h r o n i z a t i o ni sa c h i e v e db yt h e a c t i v ec o n t r 0 1 f u r t h e r m o r e a na d a p t i v ef e e d b a c km e t h o db a s e do nt h es y s t e m i d e n t i f i c a t i o ni sp u tf o r w a r d u s i n gt h es t r a t e g y t h ec h a o ss y n c h r o n i z a t i o no ft h e s y s t e m sw i t hu n k n o w np a r a m e t e r sa n dd i f f e r e n ti n i t i a lv a l u e si s r e a l i z e d n u m e r i c a l s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h er e s p o n s es p e e do ft h et w om e t h o d si sf a s t i na d d i t i o n t h ec o n t r o l l e ds y s t e mi ss t a b l ea g a i n s tt h ep a r a m e t e rp e r t u r b a t i o n c h a p t e rf o u ri n v e s t i g a t e st h ep r o b l e mo fc h a o sc o n t r o lf o rt h ee x t e n d e dl i 6 n a r d s y s t e mb yt h ea n a l y t i ca n dn u m e r i c a lm e t h o d c o m b i n i n gt h et h e o r yo ft h es t r a n g e a t t r a c t o r t h ec r i t e r i o n so fi n d u c i n gc h a o sa n ds u p p r e s s i n gc h a o sa r ee s t a b l i s h e db a s e d 西北工业火学颂十学位论文 a b s t r a c t o nt h em e l n i k o vm e t h o da c c o r d i n gt ot h ec r i t e r i o n s c h a o sc o n t r o li sa c h i e v e du s i n g n o n f e e d b a c km e t h o df o rt w oc l a s s e so fr e p r e s e n t a t i v en o n l i n e a rs y s t e m s f o r d u f f i n g r a y l e i g ho s c i l l a t o r c h a o si si n d u c e db ya d d i n gab o u n d e dn o i s ea n df o r d u f f i n g v a nd e r p o lo s c i l l a t o r c h a o si ss u p p r e s s e db ya d d i n gap a r a m e t r i ce x c i t a t i o n m e a n w h i l e v a r i o u sn u m e r i c a lm e t h o d sw h i c h a r et h et o o l si nc o m m o nu s et ov a l i d a t e c h a o t i cm o t i o nh a v e b e e nu s e dt ov e r i f yt h ec o r r e c t n e s so fp r o p o s e dc r i t e r i o n sa n dt h e v a l i d i t yo fa d o p t i v ec o n t r o lm e t h o d s c h a p t e rf i v ec o n c l u d e st h ew o r ka n dp o i n t so u ts o m ea s p e c t st ob ef u r t h e rs t u d i e d o nc h a o sc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o no f n o n l i n e a rd y n a m i cs y s t e m k e y w o r d s n e wc h a o t i cs y s t e m l i n e a rf e e d b a c k a d a p t i v ef e e d b a c k c h a o sc o n t r o l a c t i v ec o n t r o l c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n e x t e n d e dl i 6 n a r ds y s t e m m e l n i k o vm e t h o d l i i 些 堕 些查堂塑土堂何论文第1 章 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 一 第一章绪论与预备知识 混沌是非线性确定性系统的 种内在随机现象 对混沌现象的研究有助于人 们对客观 吐界的正确认识和把握 在混沌动力学的研究中 丰要有兰三个方面的内 容 一是研究系统从有序到混沌态的过渡 剐探讨系统进入混沌状态的机制与途 径 二是研究混沌中的有序行为 即探讨混沌t 的普适性和标度不变性 三是研 究如何有效地控制混沌 混沌控制是混沌理沦与控制理论相交叉而产生的一门新 学科 是非线性科学中一个十分活跃的研究领域 本章首先回顾了混沌理论的发 展历程及混沌摔制 同步的研究现状 随后介绍沦文中用到的基本知识 最后指 出本文所做的工作 1 1 混沌理论发展概述 混沌学的研究热湖始于2 0 世纪7 0 年代 但对混沌的研究却可以追溯到1 9 世纪 公认为真j 卜发现混沌的第一位学者是法日数学 物理学家i i p o i n c a r 6 他 在研究天体力学时发现 人阳系的三体引力相互作用能产生惊人的复杂行为 某 些系统具有初值敏感性和行为不可预见性f j l op o i n c a r 6 之后 一大批数学家和物 理学家在各自的研究领域所做的工作为混沌理论的发展积累了许多有价值的经 验 1 9 6 3 年 美国麻省理工学院著名的气象学家e n l o r e n z 对一个完全确定的 三阶常微分方程进行了数值计算 得到了杂乱无章的解 l o r e n z 奇怪吸引予 2 并同时发现了混沌对初值的极端敏感性 蝴蝶效应 2 0 世纪7 0 年代 特别是1 9 7 5 年以后 是混 k 科学发展史上光辉灿烂的年 代 1 9 7 1 年 法国的数学 物理学家d r u e l l e 和荷兰的f t a k e n s 发表了著名论 文 论湍流的本质 3 在学术界首次提出用混沌来描述湍流形成机理的新观 点 同年 英国生态学家r m a y 用计算机数值模拟方法研究了描述种群演化的 l o g i s t i c 方程 4 他既看到了规则的倍周期分翁现象 也看到了不规则的 奇怪 现象 同时还发现随机运动中又会出现稳定的周期运动 他的发现对混沌现象的 深入研究有着巨大的推动作用 1 9 7 5 年 关籍学者李天岩和美国数学家约克 j y o r k e 在 美国数学月刊 联合发表了著名的论文 周期3 意味着混沌 5 深 刻揭示了从有序到混沌的演变过程 m a v 受到这篇论文的启发 于1 9 7 6 年在美 似北1 业人学硕十学伉论文 锻1 壹 国 自然 杂志上发表了题为 具有复杂动力学过程的简单数学模型 f 6 l 的综 述文章 系统地分析了l o g i s t i c 方程的动力学特征 考察了混沌区的精细结构 同年 法围的天文学家h 6 n o n 通过对l o r e n z 方程简化 得到了一 维的h n o n 映 射 他通过计算机实验 发现如此简单的平面映射 也能产生复杂的混沌运动 7 1 9 7 8 年 美囤物理学家m j f e i g e n b a u m 将重正化群的思想引入到倍周期分岔的 研究 发现了著名的f e i g e n b a u m 常数f 8 把混沌学研究从定性分析推进到了定 量讨 算的阶段 成为现代混沌学研究的一个重要里程碑 8 0 年代以来 许多学者将混沌学研究与几乎所有的自然科学交叉 i 始向 1 程技术领域和社会经济领域渗透 形成蓬勃发展的喜人态势 混沌现象的发现 揭示了自然界及人类社会普遍存在的复杂 降 如有序与无序的统一 确定性与随 机性的统一 混沌理沦的创立发展 使得原来看似互升 才h 关的学科之间建立了密 切的联系 同时 对 二混沌的研究 反过来又促进了各个具体研究领域的发展 如今 混沌的发现被认为是2 0 世纪物理学三大成就之一 可以说 相对论消除 了关于绝对空问与时间的幻象 量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的 梦 而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论可预测性的幻想 9 混沌学的创立 在确定论和概率论这两人科学体系之问架起了桥梁 它将揭 r 物理学 数学乃至 整个现代科学发展的新篇章 1 2 混沌控制理论概述 2 1 混沌控制的产生与发展 1 9 8 8 年 美国工业和应用数学协会 s i a m 在发表的 份题为 控制理论未 来的发展方向 的指导性文献中 特别将 混沌 勺控制 作为了一个新的研究方 向 1 0 然而多年来 由于混沌的奇异特性 特别是对初始条件极其微小变化的 高度敏感性及不稳定性 所谓 差之毫厘 失之千里 的缘故 使得人们一度认 为混沌系统足不可控的 因此人们在生产和实验中都尽量避免混沌的出现 1 9 8 9 年 a h f i b l e r 发表了研究混沌控制的第一篇论文 1 1 但真正引起人们关注混沌 控制的是1 9 9 0 年e o t t c g r e b o g i 和j y o r k e 的里程碑式论文 1 2 他们基于混 沌轨道是山无穷多不稳定周期轨道构成的基本性质 提出了 种参数微扰法控制 混沌运动的具体实施办法 即o g y 方法 很快他们提出的控制混沌的思想和方 法被w l d i t t o 等人在一个力学实验中汪实 1 3 1 稍后也被r r o y 等人在一个激 光系统中加以利用和拓展 1 4 1 随后的l o 多年 有关混沌控制的研究得到了蓬 p g 北 业人学硕 学位论文第1 章 勃的发展 这期间人们提出各式各样控制混沌的方法及其理论 并在自然科学众 多领域内的实验和应用中得到证实 1 2 2 混沌控制的目标及主要任务 混沌可分为四类 第一类时间混沌 只存在与时间演化有关的混沌 第二类 空间混沌 只存在与空问位置变化有关的混沌 第三类时空混沌 同时在时i 训上 与空间上都呈现混沌 还可以包括生物体产生的功能混沌在内 第网类超混沌 存在一 个以 正l y a p u n o v 指数的混沌行为 如果将常规的控制问题理解为从无序到有序的单向转换 那么混沌控制可以 被理解为在混沌和有序之问的双向转换机制 在一个动态系统中 当混沌具有正 面效应时 该机制应该能够强化已存在的混沌或产生新的混沌 反之 当混沌具 有负面效应时 就消除它 混沌控制理论与常规控制理论并不相排斥 相反 研 究混沌控制的同的是想要在更广的范围内更好地操纵非线性系统的动态行为 以 期得到更多的便利 混沌控制的研究就是寻求发展适合于混沌系统的新的控制理 论和方法 在这利噫义下 混沌控制是刑常规控制理论的有益补充 迄今 基于在混沌奇怪吸引子内存在无穷多不稳定周期轨道 平衡点 恒定 态及非周期轨道等各种可能运动形态 控制混沌的日标总体上有四种类型 f 1 1 抑制混沌 通过控制策略获得所需的新的动力学行为 包括各种周蜩态 非周期念 2 镇定混沌 稳定某个不稳定平衡点 周期轨道 其特点是并不改变系统 原有的运动形态 f 3 1 混沌同步 镇定所需的混沌态 实现两个或多个系统的混沌同步 4 1 混沌反控制 强化混沌系统原有的混沌态或使非混沌系统产生需要的混 沌态 混沌控制的主要任务可包括以下几方面 1 1 抑制或消除某些类型的混沌或超混沌 f 2 稳定在混沌或超混沌吸引子中所期望的不稳定周期态 3 通过控制达到新的动力学行为 但不一定是原来系统具有的运动形态 4 消除多重的混沌或超混沌吸引子流域 r 5 1 混沌同步 实现两个或多个混沌系统在某种性能指标上达到一致 r 6 1 混沌反控制 产生非混沌系统的混沌或增强原来混沌系统的混沌 7 分岔的控制与反控制 舶北工业火学硕十学位论文 第1 章 8 以上各种控制目标的相互转换与组合应用 1 2 3 混沌控制的方法 针对不同的任务目标 发展不同的控制策略和方法 迄今已经提冉多种控制 方法 总的说来 混沌控制可分为反馈控制和非反馈控制 一般来讲 反馈控制多以原系统的固有态 这些态在非控制系统中是不稳定 的 为控制的f l 标态 昕以 这种方法可以保留系统贩有的动力学性质 并且只 需要较小的控制信号 反馈控制的核心问题是目标轨道的局域稳定性问题 由于 混沌运动具有各态历经性质 系统总会或迟或早运行到目标轨道附近 这样 目 标轨道的局域稳定性就足以保证控制的成功 从系统内部条件的改变考虑 反馈 控制i i f 分为参数 变量和时空三个方面 在参数方面首届一指的是o o y 1 2 方法 我嗣的张辉 吴洪泰 胡岗等在这方面有较深入的研究 1 5 1 6 继o g y 之后陆 续又出现了一些改进方法 如改变参数法和偶然m 比反馈技术 o p f 技术1 法 1 7 1 8 连续反馈控制法 1 9 等 在变量方面 有正比变量脉冲反馈法 2 0 线 性反馈法 2 l 非线性反馈法 2 2 连续变量反馈法 2 3 2 5 等 在时空方面 有 定点注入法 2 6 等 非反馈摔制的基本特点是其控制信号不受系统变量实际变化的影响 这就完 全避免了对系统变量数据的持续采样和响应 非反馈方法多利 多样 主要包括自 适应控制法 2 7 参数共振法 2 8 1 外加强迫法 2 9 传输迁移法 3 0 振荡吸收 法 2 9 等 1 3 混沌同步概述 1 3 1 混沌同步现象的分类 自然界及实验中存在着大量的同步现象 1 7 世纪荷兰的物理学家c h u y g e n s 最先注意到了同步现象 此后 关于同步的研究无一不是建立在周期运动基础之 上 抑制混沌的研究显示 周期驱动信号可以使一个混沌系统产生周期输出 3 1 3 2 1 这实际上可以看作是一种同步现象 如果用混沌信号代替周期信号驱动 一个原本混沌或非混沌的系统 人们预期会得到一个混沌的输出 而这一混沌输 出显然受到输入混沌信号的影响 这种输入一输出关系 直到2 0 世纪8 0 年代 j 1 被发现 3 3 3 4 混沌系统也可以产生同步现象 通俗地说 混沌同步就是指两个 4 曲北l p 人学硕i 学位沧文 第1 章 或多个混沌系统 等价或非等价 在耦合作刷或外力作用下调整某个动态性质以 达n 个共同行为的过程 随着混沌同步研究的深入 各种混 u 同步现象不断被 发现 3 5 3 6 以参与同步混沌系统的结构为分类标准 同步现象可分为相同混沌 系统同步与夸同混沌系统同步 相同混沌系统统主要是完全同步 c o m p l e t e s y n c h r o n i z a t i o n 简汜为c s 3 7 3 8 不同混沌系统同步要既包括完全同步 3 9 4 3 1 也包括相同步 p h a s es y n c h r o n i z a t i o n 简记为p s 4 4 4 7 广义才h 同步 g e n e r a l i z e d p h a s es y n c h r o n i z a t i o n 简 己为g p s 4 8 滞后同步 1 a gs y n c h r o n i z a t i o n 简记为 l s 4 9 5 0 阵发滞后同步 i n t e r m i t t e n tl a ys y n c h r o n i z a t i o n 简记为亿s 5 1 及广义 同步 g e n e r a l i z e ds y n c h r o t f i z a t i o n 简已为g s s a 一5 3 1 等 1 3 2 混沌同步的方法及研究进展 从总体上说 混沌i 司步属于混沌控制的范畴 首例混沌同步现象是9 0 年代 初 山美围学者p e c o r a 和c a r r o l l 在电子线路实验中实现的 5 4 1 山于混沌行为 的最大特点是运动轨边对初始条件的敏感性 以前人们认为在实验室摹重构褶同 的完全同步的混沌系统是不可能的 混沌同步的发现打破了这个禁锢 打丌了新 天地 县有诱人的应用前景 混沌的应用研究由此出现了新的生机 人们竟相投 入研究 发展了 些其他同步方案 实验上也获得了多种混沌系统的同步 如激 光同步 电路混沌同步等 下面对一 些典型的混沌同步方法和研究进展做一简要 介绍 1 驱动一n 1 6 3 i 同步 p e c o r a 和c a r r o l l 提出的方法 简称p c 混沌同步 5 4 这科叻 法要求系统l u l j q r l 翠为 一个子系统 然后复制混沌子系统 称为响应系统 在进行系统分解 j 应先判别同步能否实现 以条件l y a p u n o v 指数的正负为标 准 如果响应系统的条件l y a p u n o v 指数为负 则它可与原系统达到混沌 司步 这是基于线性稳定性分析的回步方案 对于连续流和离散映射都适用 但其理论 比其他类型同步方案处理严格 尽管上述驱动响应方法是从物理学角度提出的 但是按控制理论的术语 响 应系统实际上足驱动系统的一个降阶状态观测器 从上个世纪7 0 年代以来 人 们对线性系统观测器做了许多研究 提出了不少设计方法 但对非线性观测器设 计理论还远未完善 p c 方法得到了广泛的研究和i 应用 这是因为有很多经典的 混沌系统 如l o r e n z 系统 c h u a 电路系统等都是很容易被分解的 但是由于物 理机制上的原因使得其在应用范围上受到一定的限制 对更多的非线性系统 由 于物理本质或固有特性无法分解为一个稳定的子系统和一个不稳定的予系统 实 硝北t 业大学硕十学位论文 鬣1 帝 际中是1 i 可行的 2 主动 被动关系同步方法 由于p c 同步方法在实际系统中受到特定分解的限制 k o c a r e v 和p a r l i t z 提 出了改进方法 即主动一被动分解法 5 5 1 咳法的特点是具有一定的灵活性 适 合于混沌通讯等应用同的 他们的思想是通过把耦合变量或驱动变量引入复制系 统 导山系统变餐差的微分方程 得到总体系统的误差动力学 再利用线性化稳 定性分析方法或l y a p u n o v 函数方法证明复制混沌系统与原系统达到稳定同步 主动被动分解法把p c 方法作为特例包括在内 具有更大的普适性 该方法还 可以推广到超混沌同步和时空混沌同步 3 互耦合混沌同步法 瓦耦合同步 5 6 问题起源于耦合非线性振荡器理论 这个问题研究得较早 但直到p c 方法出现以后爿1 引起重视 因为p c 方法中的驱动系统和响应系统在 实质上也是一种耦合 只不过是单向耦合 由于相互耦合是非线性系统的广泛作 用形式 这种类型的混沌同步涉及的领域十分广一泛 在互耦合的情形下 总体系 统小区分驱动和 自应关系 所以这种同步方法适合 r 研究无法实现子系统分解的 实际系统 决定混沌同步的关键是耦合的强度 k a p i t a n i a k 和c h u a 5 7 1 对线性耦 合情形做了分析 他们在理论上证明了系统之间只有足够强的耦合 才能实现混 沌同步 1 9 9 4 年 美国学者r o y 和t h o r n b u r y 5 8 以及日本学者s u g a w a r e 5 9 等 人通过激光光强互相耦合 分别在两个激光系统巾观测到了混沌同步现绿 互棚 耦合i f j i f 线性系统 具有非常复杂的动力学行为 虽然对这类系统进行了 卜少研 究 但遗憾的是目前还没有 般的普适性结论 4 基于控制理论的混沌同步方法 控制理论也被广泛地应用到混沌同步中 这是由于混沌同步呵看成 种特殊 的控制形式 即控制的跟踪信号是混沌同步系统中驱动系统的状态 如利用自适 应控制实现混沌同步就是借用自适应控制混沌的思想 要求目标系统具有可控参 数 参数的控制量是两个系统变量之差或它们的函数 其控制形式决定了同步的 效果 自适应控制混沌同步有很多方法 可针对具体的混沌系统采用不同的控制 策略 s u y k e n 6 0 等人利用非线性h 控制混沌同步 但其方法太复杂 m i c h e l e 6 1 等利用连续反馈控制方法来实现混沌同步 通过寻找合适的l y a p u n o v 函数来求 解反馈阵设计控制器 并实现了耦合蔡氏电路超混沌系统的同步 a l e x a n d e rl f r a d k o l 6 2 提出了基于最速下降的自适应混沌同步方法 n i j m e i j e r 6 3 1 认为混沌 同步问题可当作观测器设计的一个特例 这种形式提供了一种对混沌同步更易理 解 勺框架 之后 基于观测器同步思想的方法相继被提出 6 4 6 5 按混沌系统间 p h 北 业 入学硕十学位论文 第 章 的作用方式可分为相同步和主从同步 6 6 按信号f 刊步的方式分为恒等同步和广 义同步 6 7 1 5 其他方法 除了以 l 二混沌同步方法外 关于混沌同步的方法还有很多种 如脉冲控制同 步法 6 8 基于遗传算法同步法 6 9 基于神经网络同步法 7 0 噪声感应同步法 7 1 等 而且随着同步研究的不断深入 更多的方法会不断涌现 1 4 预备知识 1 4 1r o u t h h u r w i t z 准则 r o u t h h u r w i t z 准则 7 2 是判定含多个状态变量非线性自治方程定点稳定性 的一种方法 该准则提供了一个不用求解高次代数方程 而直接利用特征方程系 数所构成行列式的某些性质就可以判断特征值实部是否为负的判掘 假设系统的动力学方程为 5 c x x r 1 1 系统 1 一1 2 定态x f l 2 胛 领域的线性化方程为 少 爿 y r 1 2 式中y 足月列 1 矢量 系数矩阵a 取下面的形式 a 其中铲 蚍得到系数矩阵4 的特征方程为关于撕t 次代数方程 1 3 设日 o 若 0 只要对方乘以一1 即可 构造h 阶行列式如下 塑 型j 些查兰堡士学位论文 第1 章 a 00 0 q吼 0 a 1a 0 a a 4 一0 0 1 5 r o u t h h u r w i t z 判据 矩阵 1 3 的所有特征值都具有负实部 即定点是渐近稳定 的 的充要条件是矩阵4 的各阶顺序主子式大于零 1 4 2 有界噪声的数字模拟 7 3 有界噪声是具有常数i 隔值与随机相位的谐和函数 其数学表达式为 古0 s i n o t p r o t c r l 3 t 十x 1 6 式中力 盯是常数 b t 是单位w i e n e r 过程 彳是 o 02 n 之间均匀分布的随机变 量 单位w i e n e r 过程的增量为 a b b t 一b t i 1 2 1 7 式中曲 为独立的高斯随机变量 均值为零 方差为a t 由此可将4 b 表示为 a b g 4 i l 2 i 8 其中f 为一均值为零 单位方差 服从正态分布的随机序列 令f f s i n 妒 爿 0 q h c r y t 则有 缶 t s i n 只 0 i i q f a a b j 1 1 9 式中y 为 o 2 z 2 f b j 以等概率随机选取的 个常量 对于一个有界噪声样本选取 一个固定值 1 5 本文的研究工作 本论文借助经典控制理论研究了一一类新混沌系统的控制和同步问题 针对系 统参数己知和未知情形 分别采用不同的反馈方法实现其控制目标 此外 采用 非反馈方法 基于m e l n i k o v 解析方法 结合数值模拟研究了推广l i 4 n a r d 系统的 混沌控制问题 8 阳北r 业人学硕一l 学位论文 第1 章 第一章简要介绍了混沌理论的发展历史与现状 重点介绍了混沌控制 混沌 同步研究的历史与现状 给出论文q j 用到的基本知识 最后概述了本文所要进行 的5 i s 第二 章研究一类新三阶连续自治系统的混沌控制问题 通过列系统定点稳定 性的分析 发现其均是不稳定平衡点 由此 对于系统参数已知的情形 采用线 性状态反馈方法将棍沌系统控制到不稳定平衡点和内嵌的周期轨道 而对于系统 参数未知的情形 采用自适应反馈法实现了平衡点的稳定问题 数值模拟结果表 明 这两种方法均r q 快速 准确地引导混沌运动到达控制目标 且控制器结构简 单 容易实现 从而易一j 在工程实际中应用 第三章研究新混沌系统的混沌圊步问题 首先对两个参数相同但初值不同新 系统的同步问题进行了理论分析 随后采用激活控制方法实现其混沌同步 进 步 提出了 种基于系统辨以的自适应混沌同步控制簸略 利用该控制策略可以 实现在系统参数未知且具有不同初始点情况下的混沌系统的同步控制 数值研究 结果表明 这两种控制方法响应速度快 系统的过渡过程短暂 稳定性好 第四章研究推广l i 6 n a r d 系统的混沌控制问题 基于m e l n i k o v 解析方法 结 合动力系统奇怪吸引子理论建立了诱导混沌和抑制混沌的准则 根据此准则 采 用非反馈方法讨论了分别具有同宿轨和异宿轨典型非线性系统的混沌控制 诱导 混沌选取d u f f i n g r a y l e i 曲振予 采用有界噪声作为加性激励实现其控制 并通 过数值计算给出了诱导混沌噪声强度的范围 抑制混沌选取d u f f i n g v a l ld e rp o l 振子 采用同频率周期力作为乘性激励实现其控制 同样也给出了抑制混沌周期 激励振幅 相位的取值范围 同时 数值模拟结果证实了上述分析结果 最后 在第五章给出了本文的工作总结和有待进一步展开的研究 矾北r 业人学硕 学位论文 第2 章 2 1 引言 第二章基于新混沌模型的混沌控制研究 l o r e n z 系统作为混沌运动的一个数学抽象 说明了一个确定性系统能以最简 单的方式表现出非常复杂的形态 和它相关联的c h e n 系统和l n 系统亦受到了 人们的广泛注意 这三个非线性自治系统的共同特点是 方程中均含两个非线性 项 亓j 山如下微分方程描述 x 一唧 a y 多 d x 6 y x z 2 1 i 一b z x v 当 b c d 0 b 一1 d a b c c 一 或 口 6 c 0 时 系统 2 1 分别对应l o r e n z 系统 c h e n 系统和l t i 系统 l o r e n z 系统族是一类非常重要的系统 因为平而自 治多项式不可能产生混沌 所以自治系统要产生混沌至少需要三维 而最简单的 是二次多项式 l o r e n z 系统族的研究纵贯整个混沌科学的发展 它几乎与所有混 沌科学的重要发展密切相关 国内学者陈关荣 吕金虎等系统地研究了此类系统 的动力学性质及其控制 同步问题 7 4 1 其研究成果为我们探讨其他新的复杂混 沌系统动力学性质提供了经验利方法 2 2 新的混沌模型及其稳定性分析 1 9 4 4 年 n a d o l s c h i 7 5 t i 刃究刚体运动时引入一个新的系统 其特点是方程右 端含三个非线性项 因此相比于l o r e n z 系统族 此系统的动力学性质更加复杂 最近c h e n 和l e e 7 6 的研究表明 在不同的参数条件下 此系统可产生多个奇 怪吸引予 本章所研究混沌系统的数学模型可写为 7 6 x 一弦 t a x 夕 x z i b y j x y 3 院 1 0 2 2 两北 i 业 人学硕士学位论文第2 章 其中x x y z r3 为系统的状态 口 6 c 为系统的参数 当参数a 5 b 一1 0 而参数c 常取f 列数值之 一3 8 一0 3 8 一0 0 3 8 或口 3 6 一5 c 一1 系统 2 2 具有混沌行为 7 6 1 本章中系统参数同定取为d 5 b 一1 0 c 一3 8 系统运动的 初始值为x o 一1 y o 1 z 0 一1 可得到如图2 1 所示的混沌吸引予 不同于常见的l o r e n z 系统族 系统 2 2 存在5 个平衡点 e 0 0 o e 3 4 3 万c 一3 a c 一a b e 一4 3 b c 4 3 a c 一4 一d 6 e 3 6 c 3 a c 一a b e 5 4 3 b c 一4 3 a c 4 一o h 图2 1 系统 2 2 的奇怪吸引子a 5 b 一10 c 一3 8 系统 2 2 在e 邻域线性化方程的系数矩阵为 廿雕00 1 0 0 c j 显然z 的特征值为 a 0 五2 b 0 3 3 c 0 2 a b a c b c e 1 2 3 p 2 3 十y 2 0 一a b e n 口2 3 一b p2 3 一c 72 2 q 影 3 4 a b c 0 根据r o u t h h u r w i t z 准则 5 f 衡点e 2 是不稳定的 同理可证明e 3 e 4 e 5 均是不 稳定的平衡点 2 3 系统参数已知的线性反馈控制 2 3 1 线性反馈控制器的设计 当系统的参数已知时 采用线性反馈方法控制混沌运动是筒单和有效的 以 下考虑利用线性反馈控制 2 2 式所拙述的新混沌系统 采刚线性状态反馈法将混沌系统控制到上述任意5 个不稳定平衡点 假设受 控系统为 x 2a x 一弦 多 妙 x zq 甜2 c z x y 门 诅j 2 3 其中f 户 f r 为待定的线性控制函数 为达到控制目标的反馈函数选择有 多种形式 为计算简便 这里选取如下的形式 对角阵 这里 k 为待定的正的反馈系数 羹 萝 2 为控制目标 即上述5 个不稳定平 1 2 n 厂v 美卜协酰 方 如 直 i箱的一啦 筑 叫纠 一 一 一 x y 三 iiiiiijk o o o k o 吒o o l 一 l ll 甜 甜 第2 章 衡点中的任意 个 此时系统 2 3 只有一个平衡点e i 岁 设系统 2 3 在e o 邻域线性化方程系数矩阵对应的特征值多项式为 根据r o u t h h u r w i t z 准则 当下列条件满足时 系统 2 3 的所有特征根均具有负 实部 从而系统刁i 再作混沌运动而将收敛到平衡点e i 多 达到了控制目标 令e e 系统 2 3 在e 邻域线性化方程的系数矩阵为 j 以i 七1 6 后 c呈尼 显然了 的特征值为 因此当k k 6 k c 时 所有特征根均具有负实部 从而平衡点e 是渐 令e e 系统 2 3 在e 邻域线性化方程的系数矩阵为 扛隆i k 二 l 2 l y 6 2 口 p f 3 涵c k 其中口 y 的定义同上 则相应特征值方程的系数为 a 2 一 6 十c k l 一 口 c k 2 一 d 6 尼3 k l k 2 k l k 3 k 2 k 3 a 3 k l k 2 k 3 a k 2 k 3 一b k i k 3 一c k l 2 4 a b c 根据 2 6 式 当f 述条件满足时 e 是渐近稳定的平衡点 c f k l k 2 k 3 a b c 一8 8 c 2 k l k 2 k 3 k l z k 2 尼 3 k l e 3 女l 七 尼2 女 1 3 8 尼 一1 2 5 女 1 3 心北 一业人学硕i j 学伉论文第2 章 1 7 6 k l 后2 1 7 6 k l k 3 1 7 6 k 2 k 3 1 2 1 4 4 k l 一1 0 5 6 k 2 4 4 o 一7 6 0 为 2 7 类似地可证 j 将混沌系统控制到其他非零平衡点需满足的条件均为 2 7 1 式 在给定的系统参数条件下 c 显然可以满足 假设k r 在 o 6 之阳取值 图 2 2 给出了满足 2 7 式反馈系数的取值范罔 若k 女 k 在图中的稳定区域耿值 根据上述分析 混沌系统将被控制到系统 2 2 的不稳定 f 撕点e i 2 3 a 5 进 一步简化计算 假殴缸 0 可得到二维空间中满足 2 7 式反馈系数的敬值范围 如图2 3 所示 图中稳定区和不稳定区的交界线为系统发生h o p f 分岔 7 7 1 产生 周期运动的临界线 66 图2 2 二维空间中受控系统 2 3 的稳定区利不稳定区 证明系统作周期运动时 其相应线性化方程系数矩阵的特征值满足 0 a 如是共轭的纯虚数 又根据三次方程根与系数的关系可得 如 z 1 i 1 石1 去2 去 一言 因此系统由混沌运动转变为周期运动的条件为 a i 一鱼 从而有a l 口 口 o z 第2 章 023 4 66 k 图2 3 二维空间中受控系统 2 3 的稳定区和不稳定区 k 2 0 2 3 1 2 仿真示例 为验证 卜述控制方法的有效性 采用凹阶龙格一库塔算法对受控系统 2 3 进行了数值计算 系统参数同定取为n 5 b 一1 0 c 一3 8 初值取为x o 一l y o 一l z o 一1 步长h o 0 0 1 数值模拟中 从江1 0 s 开始旌加控制器 这 里以弓 导混沌运动到不稳定平衡点e e 为例 其他情况可采用类似的方法分析 数值研究结果表明 1 1 当反馈系数取值满足上节巾的结论时 混沌系统可快速控制到不稳定平 衡点e i 幽2 4 0 中反馈系数墩值为k 6 k 0 k 0 即只对第一个状态变量 x 施加控制作剧 由网可得f 1 0 s 前 受控系统作无规则的混沌运动 施加控制 后系统状态向量x f j 8 z t 迅速趋于不稳定平衡点 仿真数据表明 当 f 1 3 5 0 2 s 时混沌系统已完全控制到不稳定平衡点e l o 0 o 2 1 对于不稳定平衡点e i 2 3 4 5 当反馈系数在图2 3 所示稳定区域 阴 影区域