高三数学第一轮总复习教案方锦昌----数列部分(全部).doc

数列的概念 30-30湖南省省级示范性高中洞口三中高三数学第一轮总复习讲义讲义13 数列的概念一、基本知识体系：1、 数列：是特殊的函数，是建立在N*或N*的子集上的函数，所以，处理数列问题时，要注意运用函数的有关性质。2、 数列的通项公式：数列an的第n项an与n之间的一个函数关系表达式。3、 求数列的通项公式：、Sn与an之间的相互转化：an=要特别注意讨论n=1的情况。、由数列的递推关系式去求通项公式：（1）、形如an+1= an+（n)时常用累加法去解决：例如在数列an中，a1=1； an+1= an+2n； （答案为an=2n-1); （2）、形如an+1= （n) an时常用累乘法去解决：例如在数列an中，a1=4； an+1= an； （答案为 an=2n(n+1)； （3）、形如an+1= c an +d（c、d为常数时）常构造转化为一个等比数列去解决：如在数列an中，a1=3； an+1= 2an+1； （答案为an=2n+1-1); （4）、形如an+1= panr (p、r为常数时）常用两边取对数的方法去解决：例如在数列an中，a1=3； an+1=3 an2； （答案为an=); 二、典例剖析：【题1】已知数列满足，则=（ ）A0BCD 解析:由a1=0,得a2=- 由此可知: 数列an是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a20=a2=-故选B.【题2】在数列中，若，则该数列的通项 2n-1 。解：由可得数列为公差为2的等差数列，又，所以2n1【题3】已知数列an，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，则an的通项 1, n=1, an= ,n2. (答案:)【题4】已知数列，且 a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5； （II）求 an的通项公式.解：（I）a2=a1+(1)1=0, a3=a2+31=3. a4=a3+(1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k ; = a2k1+(1)k+3k, 所以a2k+1a2k1=3k+(1)k, 同理a2k1a2k3=3k1+(1)k1, a3a1=3+(1).所以(a2k+1a2k1)+(a2k1a2k3)+(a3a1) =(3k+3k1+3)+(1)k+(1)k1+(1),由此得a2k+1a1=(3k1)+(1)k1,于是a2k+1= a2k= a2k1+(1)k =(1)k11+(1)k =(1)k=1.an的通项公式为：当n为奇数时，an=当n为偶数时，【题5】设数列an的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n1)，且a4=54，则a1的数值是_2_.【题6】设数列的前n项和为，点均在函数y3x2的图像上。（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。 解：（I）依题意得，即。当n2时，;当n=1时，-21-1-61-5所以。（II）由（I）得，故=。因此，使得成立的m必须满足，即m10,故满足要求的最小整数m为10。【题7】在等差数列中，前项和满足条件， （）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和。解：（）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又，所以。（）由，得。所以，当时，；当时，即。【题8】已知各项均为正数的数列，满足：，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求，并确定最小正整数，使为整数解：（1）条件可化为，因此为一个等比数列，其公比为2，首项为，所以1; 因an0，由1式解出an2; （2）由1式有SnTn为使SnTn为整数，当且仅当为整数.当n1,2时，显然SnTn不为整数，当n3时， ; 只需为整数，因为3n1与3互质，所以为9的整数倍.当n9时，13为整数，故n的最小值为9.【题9】在数列中，若 a1，a2 是正整数，且,3，4，5，则称 为“绝对差数列”. （）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； （）若“绝对差数列”中，,，数列满足；n=1，2，3，判断当时, 与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.（）解：,（答案不惟一） （）解：因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始，该数列是,即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当时，的极限；不存在. 当时, ,所以（）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下： 假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,从而 当时, ; 当 时, ； 即的值要么比至少小1，要么比至少小1.令则由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 ，这与();矛盾. 从而必有零项.若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，, , 即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.26（安徽卷）数列的前项和为，已知（）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（）设，求数列的前项和。解：由得：，即，所以，对成立。由，相加得：，又，所以，当时，也成立。（）由，得。而，30。（福建卷）已知数列a满足a=1,a=2a+1(nN)（）求数列a的通项公式；（）若数列bn满足4k1-14k2-14k-1=(an+1)km(nN*),证明:bn是等差数列;（）证明:(nN*).解析：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列。即（II）证法一：；，得即，得即是等差数列。（III）证明： 湖南省省级示范性高中洞口三中高三数学第一轮总复习讲义讲义14 等差数列和等比数列一、基本知识体系：名称项目等差数列等比数列定义an-an-1=d (常数） (常数）通项公式及推广公式 an= a1+(n-1)d an= am+(n-m)d an= a1qn-1 an = amqn-m前n项之和公式 Sn= na1+d Sn= 倒序相加法错位相减法等差（比）中项2b=a+cb2=ac当m+n=p+q时的性质am+an=ap+aqaman=apaq其它性质Sk, S2k- Sk, S3k- S2k,仍然成等差；an=Sk, S2k- Sk, S3k- S2k,仍然成等比；|an|ank仍然成等比；二、典例剖析：【题1】(2006年全国文科T6)、已知等差数列中，则前10项的和(B )（A）100 (B)210 (C)380 (D)400解：d，3，所以 210，选B【题2】(200年福建文科T5)、已知等差数列中，的值是（ ）A15B30C31D64解：由,得a8=8,a12=1+8=15,选(A) 【题3】(2006年陕西文科T3) 、已知等差数列an中，a2+a8=8，则该数列前9项和S9等于( C )A18 B27 C36 D45【题4】(2006年福建文科T2) 、在等差数列中，已知则等于（B）：（A）40（B）42（C）43（D）45【题5】(2006年广东T6) 、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ） A.5 B.4 C. 3 D.2，故选C.【题6】(2006年江西T10) 已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于（A）100101 200 201解：依题意，a1a2001，故选A【题7】(2006年全国T10) 、设是公差为正数的等差数列，若，则（B） A B C D【题8】(2006年浙江T11) 设为等差数列的前项和，若,则公差为1（用数字作答）。解析：设首项为，公差为，由题得【题9】(2006年北京文科T20) 设等差数列an的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn. ()若a11=0,S14=98,求数列an的通项公式；()若a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式.解：（）由S14=98得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,故解得d=2,a1=20.因此，an的通项公式是an=222n,n=1,2,3 （）由得 即由+得7d11。即d。由+得13d1；即d；于是d；又dZ,故d=1；将代入得10a112.又a1Z,故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列an的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,二、巩固练习：【题10】(2006年湖北文科T4)在等比数列an中，a11，a103，则a2a3a4a5a6a7a8a9=（A）A. 81 B. 27 C. D. 243【题11】(2006年北京理科T7) 设,则等于 （D）（A） （B） （C） （D）【题12】(2006年辽宁理科T9) 在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（ ）(A) (B) (C) (D)【解析】因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则即，所以，故选择答案C。【题13】(2006年浙江文科T15) 若S是公差不为0的等差数列的前n项和，且成等比数列。()求数列的公比。()若，求的通项公式.解：（）设数列的公差为,由题意，得 ；所以；因为所以 ；故公比；（）因为所以；因此【题14】(2006年北京卷)、如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（ B ）（A）b=3,ac=9(B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9解：由等比数列的性质可得ac（1）（9）9，bb9且b与奇数项的符号相同，故b3.【题15】(2006年湖北卷)、若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则（ ）A4 B2 C2 D4解：由互不相等的实数成等差数列可设abd，cbd，由可得b2，所以a2d，c2d，又成等比数列可得d6，所以a4，选D【题16】(2006年江西卷)在各项均不为零的等差数列中，若，则（）解：设公差为d，则an1and，an1and，由可得2an0，解得an2（零解舍去），故2（2n1）4n2，故选A【题17】(2006年辽宁卷)在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（ ）(A) (B) (C) (D)【解析】因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则即，所以，故选择答案C。【题18】(2006年全国II)设Sn是等差数列an的前n项和，若，则（A） （B） （C） （D）解析:由等差数列的求和公式可得且所以,故选A【题19】(2006年陕西卷)已知等差数列an中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于( )A.18 B.27 C.36 D.45解：在等差数列an中，a2+a8=8， ，则该数列前9项和S9=36，选C. 【题20】(2006年天津卷)已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于（）A55 B70C85D100解：数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于=， ；=，选C.【题21】(2006年天津卷)设是等差数列，则这个数列的前6项和等于（）12 24 36 48解：是等差数列， ，则这个数列的前6项和等于，选B.【题22】(2006年重庆卷)在等差数列an中，若aa+ab=12,SN是数列an的前n项和，则SN的值为（A）48 (B)54 (C)60 (D)66解：在等差数列中，若，则，是数列的的前n项和，则=54，选B. 【题23】(2006年重庆卷)在等差数列中，若且，的值为（A）2 （B）4 （C）6 （D）8解：a3a7a5264，又，所以的值为8，故选D【题24】(2006年湖南卷)若数列满足：，2，3.则. 解：数列满足：，2，3，该数列为公比为2的等比数列， .【题25】(2006年山东卷)设为等差数列的前n项和，14，S1030，则S9.解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意得，联立解得a1=2,d=1，所以S9【题26】(2006年福建卷)已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（II）若数列满足证明是等差数列。解析： 是以为首项，2为公比的等比数列。（II）解：由（I）得；（III）证明：；，得即；，得即是等差数列。【题27】(2006年辽宁卷)已知等差数列的前项和为（）求q的值；（）若a1与a5的等差中项为18，bn满足，求数列的bn前n项和.()解：当时，,当时,.是等差数列,4分 ()解：,.又,；又得.,即是等比数列.所以数列的前项和.【题28】(2006年全国卷I)设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：解: ()由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an12n+, n=2,3，4,；将和相减得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, ；整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()将an=4n2n代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12) = (2n+11)(2n1) Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) 0 ， anan1=5 (n2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列a13；当a1=2时，a3=12， a15=72， 有a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3【题32】(2006年上海卷)设数列的前项和为，且对任意正整数，。（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为,对数列，从第几项起？.解(1) an+ Sn=4096, a1+ S1=4096, a1 =2048； 当n2时, an= SnSn1=(4096an)(4096an1)= an1an = an=2048()n1. (2) log2an=log22048()n1=12n, Tn=(n2+23n). 由Tn,而n是正整数,于是,n46. 从第46项起Tn0；、求数列an的通项公式；、求证：Sn ,（nN+）【注解】可化得 = 4,从而有an=； 、an= = 则Sn= (1) = 本题注意利用不等式的放缩思想,构建裂项相消法进行数列求和【题6】已知等差数列an, a2=6，a5=18，数列bn的前n项和是Tn ,且Tn+ bn=1、求数列an的通项公式；、求证数列 bn是等比数列；记cn= an bn ,求证：cn+1 cn【注解】、a1=2，d=4则an=4n-2； 、数列bn:首项为，公比为的等比数列 ，则bn=、cn= an bn=（4n-2） = ；cn+1 - cn = 则n1时，有cn+1 - cn 0 故cn+1 cn【题7】、数列an满足：a1+a2+an=2n-1求a12+a22+an2之值、数列an满足：Sn=2 an- n求数列an的通项公式【题8已知不等式+loga(a-1)+ 对于一切大于1的正整数n恒成立,求实数a的取值范围解、（n）为,（n）min=（2）= a|1a0,其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项；、求数列an、bn的通项公式；、设数列cn对任意自然数n均有+ + =an+1成立,求a1c1+a2c2+ancn之值解、 (a1 +d) (a1 +13d)= (a1 +4d)2 则d=2 an=2 n-1 bn= 3n-1 相减有= an+1- an =2 (n2) 则cn= Tn=a1c1+a2c2+ancn=13+323+5232+(2n-1)23n-1错位相减法则有Tn=2(n-1)3n+3 【题3】已知数列an是等差数列, a3=18, a6=12 ；数列an的前多少项之和最大,最大值是多少?数列bn满足an=2log a bn (a0,a1,nN*),求使得bn1成立的n的范围解、Sn=-n2+23n 当 n=11或n= 12时, Sn最大,最大值为132有 bn=a12-n （1）、当a1时,n12 （2）、当0a12【题4】已知数列an满足: a1=,2 an+1= an+n (nN*)、令bn= an+1- an-1,求证数列bn是等比数列；、求数列an的通项公式解、bn+1= an+2- an+1-1=- -1= (an+1-an-1)= bn；又a1=,a2= =则bn=()n-1、 an+1- an=1+()n-1则采用累加法有an=+n-2【题5】已知数列an是等差数列,且a2=8,a8=26,从an中依次取出第3项,第9项,第27项,第3n项,按原来的顺序构成一个新的数列bn,则bn=_(答案:3n+1+2)【题6】已知数列anbn中，a1 =1，a2 =b1 =3,a3 =b2 =7,若数列an+1 -an 是一个等比数列，数列是一个等差数列 求数列 an 的通项公式 求数列 bn 的前n项之和Sn 证明：当n4时，Snn bn解、an+1 -an=2n，则累加有an =2n-1 =5-n,则有bn =(5-n）2n-5错项相减法则Sn=（6-n)2n+1-5n-12 令（n)= Sn-n bn =(n2-7n+12)2n-12,考查单调性:（n+1)-(n)=n(n-3)2n,当n4时，（n)为，（5）=52，当n4时，（n)(5)=520, Snn bn【题7】已知数列an是等差数列，首项a1，a2005a2006，a2005a2006，则使前n项之和Sn成立的最大自然数n是（） 【题8】已知（x）= (0x)的反函数为-1（x）,若数列an满足an+1 =-1（an）(nN*)且a1 =,求数列 an 的通项公式;证明: a12+ a22+an20)则= +2,则an= 所证=(+)(1+)=(2-)【题9】(2006年山东卷)已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+an)是等比数列；设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；（2） 记bn=，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.解：（）由已知，； ，两边取对数得，即；是公比为2的等比数列.（）由（）知（*）=；由（*）式得（） 又； ；又.四、高考题摘抄：1（北京卷）设，则等于（A） （B） （C）（D）解：依题意，为首项为2，公比为8的前n4项求和，根据等比数列的求和公式可得D2（湖南卷） 若数列满足：，2，3.则. 解：数列满足：，2，3，该数列为公比为2的等比数列， .3、（江苏卷）对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是【正确解答】，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=.数列的前n项和为2+22+23+2n=2n+1-2.4、（安徽卷）数列的前项和为，已知（）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（）设，求数列的前项和。解：由得：，即，所以，对成立。由，相加得：，又，所以，当时，也成立。（）由，得。而，5（安徽卷）在等差数列中，前项和满足条件， （）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和。解：（）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又，所以。（）由，得。所以，当时，；当时，即。6、（湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）、求数列的通项公式；（）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）0 ， anan1=5 (n2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列a13;当a1=2时，a3=12， a15=72， 有a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3 【题9】(2005年湖南文科T16) 已知数列为等差数列，且 （）求数列的通项公式； （）证明（I）解：设等差数列的公差为d. 由即d=1.所以即（II）证明因为，所以 湖南省省级示范性高中洞口三中高三数学第一轮总复习讲义讲义15 数列的应用撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 007163.com 手机号码题1】、数列an的前n项之和Sn= (n+1)bn, 其中数列bn是首项为1，且公差为2的一个等差数列，、求数列an的通项公式；、设cn=,数列cn的前n项之和为Tn，求证：Tn 解：、bn=2n-1, an=、Tn= +（-+- )= +- 0, 且a 1), 记Sn是数列an的前n项和.；试比较Sn与log abn+1 的大小 ,并证明你的结论.【题3】、已知曲线C：xy=1,过C上的一点An(xn,yn)做一斜率为kn=的直线交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1)，点列An(n=1,2,3,)的横坐标构成数列xn，其中x1=，求xn与xn+1的关系式；求证：+是等比数列；求证：(-1) x1+(-1)2 x2+(-1)3 x3+(-1)n xn1(nN,n1)解：、由kn = = = = ,xnxn+1 = xn+2；、记an =+,则可推得an+1 = + = + = -2(+) = -2an,且a1 = + = -2；则an=(-2)n, xn=2+,(-1)n xn=(-1)n2+,则当n为偶数时，(-1)n-1 xn-1+(-1)n xn=+=+；于是，（1）当n为偶数时，(-1) x1+(-1)2 x2+(-1)3 x3+(-1)n xn +1；（2）当n为奇数时，前n-1顶为偶数，则有：(-1) x1+(-1)2 x2+(-1)3 x3+(-1)n xn 1+（-1）nxn=1-xn=1-(2+)=-1+1;综合（1）（2）可知原不等式成立。【题4】、（湖南卷）在m（m2）个不同数的排列P1P2Pn中，若1ijm时PiPj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数.（）求a4、a5，并写出an的表达式；（）令，证明，n=1,2,.解（）由已知得，.（）因为，所以. 又因为所以=.综上，.【题5】、（全国卷I）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：解: ()由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an12n+, n=2,3，4,将和相减得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()将an=4n2n代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12) = (2n+11)(2n1) Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) 0 则5()n+2()n -70；设 ()n=x,则5x2-7x+2 0从而有x即 ()n 则有n5【题2】、甲乙两物体分别从相距70米的两处相向运动，甲第1分钟走2米，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米，甲、乙开始运动几分钟后相遇？如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米 ，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟之后第二次相遇?解、设n分钟后第一次相遇，则2n+ +5n=70;n=7设n分钟后第二 次相遇 ，则有2n+ +5n=703;n =15 【题3】、沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召，对西部地区乙企业进行扶持性技术改造，乙企业的经营状况是，每月收入45万元，但因设备老化，从下个月开始需支付设备维修费，第一个月为3万元，以后逐月递增2万元。甲公司决定投资400万元扶持改造乙企业；据测算，改造后乙企业第一个月收入为16万元，在以后的4个月中，每月收入都比上个月增长50%，而后各月收入都稳定在第五个月的水平上，若设备改造时间可忽略不计，那么从下个月开始至少经过多少个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益？解、设乙企业仍按现状生产至第n个月所带来的总收益为An万元，进行技术改造后生产至第n个月所带来的总收益为BnAn45n-3+5+（2n +1）=45n-（n2+2n）=43n-n2 当n5 时，Bn=+16（）4（n-5）-400=81n-594当n4时，Bn=-400=162（）n-270，则n12， 所以，至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益【题4】、(2004年福建福建高考)某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测今年起每年比上一年纯利润减少20万元。今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500（1+）万元（n为正整数） 设从今年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（需扣除技术改造资金）,求An、Bn的表达式;依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不