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42【易错题】1.（教L40基8）已知；，则的大小关系为_答案： 通过图像研究变式：已知，若函数的零点为m，函数的零点为n，则的取值范围是_答案：提示：令则，从而，变形得，即，而函数在上单调递增，所以，即，且，则=当且仅当时等号成立2.（教L41巩2）已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为_ 3.（教L42例1变式）三边长均为正整数且最大边长为11的三角形的个数为_ 36变式：已知三边，的长都是整数，且，如果，则这样的三角形共有 _ 个 4. 已知实数满足，且目标函数的最大值为最小值为，则的值为_（你考虑过的符号么？）解析：不管怎样，恒成立，的符号不确定；取得最大值的点必为与直线的交点；取得最小值的点必为与直线的交点；且为直线的两个点；易得答案为变式：已知实数满足，且目标函数的最大值为最小值为，则的值为_（你考虑过的符号么？）不管怎样，恒成立，的符号不确定5. 已知，若，则的最小值为_6. 已知，则的最大值与最小值的和为_解析：，由基本不等式可以得到，所以，最大值与最小值的和为2.7. 已知且，则的最小值为_ 三角换元8. 不等式(3x2+a)(2x+b) 0对一切x-1，+)恒成立，其中a0, 则实数b的取值范围为_；不等式(3x2+a)(2x+b) 0对一切x(a，b)恒成立，其中a0时， 3x2+a0恒成立， 原不等式等价于2x+b0在区间-1，+)上的恒成立问题， b(-2x)max = 2 (2) 当b0时，x0， 2x+b0恒成立， 不等式等价于3x2+a 0在以（a，b）恒成立，则区间（a，b）内，3x2+a 0时，0 且ab0舍去综上得：当且仅当 b=0，a= - 时，|a - b|取到最大值为，9.（教L44基5）不等式对于任意恒成立，实数的取值范围是_ 10.写出柯西不等式并写出取等号的条件_ 【专题研究、方法梳理】专题1：一类参数取值范围问题研究引例1：设关于的不等式对于满足的一切都成立，则的取值范围是_ 引例2：（主元的选择与确定）设计一幅宣传画，要求画面面积为，画面的宽与高之比为（），画面的上、下各留的空白，画面的左、右各留的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？如果，那么为何值时，能使得宣传画所用纸张面积最小？练习1：若在上存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是_ 2：（2010浙江）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，且满足，则的取值范围是_或变式：求的取值范围或3：若为等差数列，前项和为，求证：对于任意的，不能构成等比数列.专题2：一类区域的面积问题研究引例1：在平面直角坐标系中，已知平面区域，则平面区域的面积为_ 1练习：1：，则满足条件的点所形成的区域面积为_2：已知函数，若，且，则满足条件的的点所围成的面积为_ 22Oab图7解 易知f(x)在上为减函数，在上为增函数，于是a，b不可能同在若0ab，则2-a22-b2恒成立，它围成图7中的区域；若0ab，则2-a2b2-2，即a2+b24，它围成图7中的区域综上，点(a，b)所围成的区域恰好是圆a2+b2=4的故所求区域的面积为3：如图放置的等腰直角三角形ABC薄片(ACB，AC2)沿x轴 滚动，设顶点A(x，y)的轨迹方程是y，则在其相邻两个零点间的图象与x轴所围区域的面积为 2+4引例2：直角坐标系中，点集，点集所表示的区域的面积_练习：两个正实数满足，若当时，恒有，则以为坐标的点所形成的平面区域的面积等于_解析：两个面积为1的三角形减去两个(半径为根号2的圆的1/8）专题3：多元变量问题的系统研究一、变式换元法引例1：已知函数的导函数是，. 设是方程的两根，则|的取值范围为 _引例2：在中，已知三边长满足，则的取值范围是_练习1：已知正数满足：则的取值范围是_解：由题，令，则且，化为，令，则，令，则，增，减，结合图形练习2：（浙江大学自主招生试题）设为正实数，（1）如果，则是否存在以为三边长的三角形？请说明理由；（2）对任意的正实数，试探索当存在以为三边长的三角形时的取值范围.解析：（1）时，此时直角三角形；（2）由题可知： 综上可得：二、引入新元法引例：求函数的最大值变式1：已知实数满足，则最小值为 12变式2：已知，且，求的最大值为_变式3：设是正实数，且，则的最小值是 _ 方法1：考虑通法，消元化为单元函数，而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值；方法2：考虑整体替换的方法，分母的和为常数方法2：设，则，所以=，因为所以三、确定主元法（具体见专题1）引例：已知实数满足方程及,则的最小值是 ，利用柯西不等式：可解得的取值范围是另解：消去，把视为主元，根据方程有解，易得的取值范围练习：已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是_变式：设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a b=,=60,则|c|的最大值为 2专题4：基本不等式问题研究思考：基本不等式的两个基本式子是什么？引例1：设，则的最小值为_ 4变式1：设，则的最大值为_ 变式2：设，则的最大值为_ 练习：设实数x、y满足x2xy10，则xy的取值范围是_可考虑三种方法：（1）直接消元法；（2）基本不等式法（构造不等关系是难点）（3）判别式法（求最值可行，但不一定有效；求取值范围要关注参数的范围，转化为有解问题）引例2：若已知，则的最小值为 .解析：时可取得函数的最小值，此时，此时，最小值为变式：引例3：若是与的等比中项，则的最大值为_ 练习：已知，则的最大值为_ 变式：已知，则的最大值为_ 1（注意这里基本不等式等号成立的条件不满足）专题5：一类双最值问题研究变式1：对a,bR,记max|a,b|=函数f（x）max|x+1|,|x-2|(xR)的最小值是.变式2：最大值为,的最小值为_变式3：已知均为正实数，记，M的最小值为_变式4：定义，已知实数x，y满足，设，则的最小值是 -3专题 解析几何中相关问题的再研究 本专题的认知地图，游览完本景点，你应该了解：1.2.【易错题】1.（教L46基6）经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为_答案：2.（教L46例1（1）直线的倾斜角的取值范围为_ 注意斜率和倾斜角的关系图像的问题研究变式：若已知，则直线的倾斜角大小为_ 3.（教L47基6）已知直线，若三条直线共有三个不同的交点，则实数满足的条件是_ 4.（教L47巩3）若两点到直线的距离均等于1，则直线的方程为_5.（教L49基4）动点满足，为坐标原点，则的取值范围是_答案：6. 注意圆中的几个结论：（看看你还记得么？）（1）相交弦定理；（2）直线与相切问题如果切点已知，则切线与切点与圆心连线垂直；（3）两个等圆相切，则切点必为两个圆心的中点；7.已知圆的半径为1，为圆的两条切线，为两切点，的最小值为_ 转化为三角函数问题8. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是_ 考察数形结合的能力9. 已知圆，若圆上有且只有4个点到直线的距离为1，则r的取值范围是_.引申：关于圆上点到直线l与距离为d的点的个数归纳？10. 若实数a,b,c成等差数列，点P（-1,0）到动直线上的射影为M，已知点N（3,3），则线段MN长度的最大值为_. 考点分析（4个考点）11. 已知椭圆（），是椭圆的左、右焦点，试问在椭圆上存在几个点，使得？（转化成椭圆和圆的相交问题）（利用离心率讨论）12. 已知点的坐标分别是，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，过的直线与轨迹有两个不同的交点时，则直线的斜率的取值范围是_注意轨迹方程为，故所求直线的斜率的范围是且13. 在平面直角坐标系xoy下，已知双曲线（），右焦点为F，右准线为l,点A，B是右支上两点， ，线段AB的中点M在右准线上的射影点为，则的最大值为 . 14.（教L53基7）若是双曲线的左右焦点，点在双曲线上，若点到焦点的距离等于9，则点到焦点的距离是 . 参考答案：15.（教L53巩3）过点与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_ 16.（教L54基2）抛物线的焦点坐标为_ 17.（教55巩4）若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是_【专题研究、方法梳理】专题1：一类三角形中的问题研究引例：已知直线过点，且与轴的正半轴、轴正半轴分别交于两点（1）求面积最小值及此时直线的方程；（2）求最小值及此时直线的方程；（3）求最小值及此时直线的方程变形1：过点作直线交轴与轴交于两点，若的面积为12，试问这样的直线有几条？ 3条变式：已知过点的直线与轴正半轴、轴正半轴交于两点，若面积为的直线条数为2条，则的取值范围是_（考察直线的截距式、基本不等式的使用）答案：问题背景探源：直角走廊问题引例 如图，一条直角走廊宽为:1m，若一根铁棒EF能水平地通过此直角走廊，求此根铁棒的最大长度变1：如图，一条直角走廊宽分别为1m和8m，若一根铁棒EF能水平地通过此直角走廊，求此根铁棒的最大长度。变2：如图，一条转角处角度为（）的等宽走廊宽为1m，若一根铁棒EF能水平地通过此直角走廊，则此根铁棒的最大长度为_变3：如图，一条等宽直角走廊宽为2m，现有一转动灵活的平板车，其俯视图的外框为一矩形，它的宽为1，平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少？变4：一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为的四分之一圆弧，分别与圆弧相切于，两点，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点设，试用表示木棒的长度；NMABCDEFGHPQ1m1m（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值解：(1)如图，设圆弧所在的圆的圆心为，过点作垂线，垂足为点，且交或其延长线与于，并连接，再过点作的垂线，垂足为在中，因为，所以因为与圆弧切于点，所以，在，因为，所以，若在线段上，则在中，因此若在线段的延长线上，则 中，因此（2）设，则，因此，又，所以恒成立，因此函数在是减函数，所以，即小结：1. 解决直角走廊问题的基本思想方法：2. 直角走廊问题的数学本质：专题2：两类最值问题研究第一类引例：在直线：上（1）求一点，使到点和的距离之和最小；（2）求一点，使到点和的距离之差最大.变式1：以为一个顶点，试在轴上找一点，另在直线上找一点构成，使其周长最小.变式2：自发出的光线被轴反射后射到圆上，则光线走过的最短距离为_ 第二类引例：等腰三角形的腰上的中线长为，则的面积的最大值2_解 (本题解法很多，仅给出平几解法)如图，ABC中，E，F分别为底BC与腰AC的中点，BF与AE交于点G，则G为ABC的重心，于是GEABCF图4BG=CG=，且AE=3GE所以，当且仅当BGC=，即BGGC时，ABC的面积取最大值2变式1：等腰三角形的腰上的中线长为，则的周长的最大值为_解析1：（三角换元）设三角形腰长为，底边长为，则目标函数为对实施算两次，可得（得到这个式子还可以利用结论：平行四边形的两对角线的平方和等于平行四边形四边的平方之和，即，可设，则解析2：（函数法）如何求函数的最大值？法1：求导研究法2：（构造向量）， ，根据向量不等式，可得：（当且仅当两向量同向时等号成立）法3：利用柯西不等式法4：在法3的左式的基础上实现三角换元解析4：判别式法设 整理成关于的一元二次方程由，求得 此时取得最大值的变式2：在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC上，AD=kAC(k为常数，且0k0因AD=kAC =kAB，故AD2=k2AB2，于是(x-l)2+y2=k2(x2+y2)DABCxy图5所以，=，于是，变式3：在正三棱锥P-ABC中，D为线段BC的中点，E在线段PD上，PE=kPD(k为常数，且0k0,.（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）【解】（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化简得。故所求点P的轨迹为直线。（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。（方法一）当时，直线MN方程为： 令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法二）若，则由及，得，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。一、试题背景探源椭圆极点和极线的定义与作图：已知椭圆（ab0），则称点和直线为椭圆的一对极点和极线.极点和极线是成对出现的.从定义我们共同思考和讨论几个问题并写下你的思考:（1）若点在椭圆上，则其对应的极线是什么?（2）椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?过椭圆外任意一点的极线的作法:当点P在椭圆内（外、上）时,此时点对应的极线和椭圆的位置关系如何?二、高观点下的试题新解思考:能否利用极线和极点的知识重新给出第3问的合理分析和解释?三、类题再现 (2009年福建) 已知椭圆C的离心率e，长轴的左右端点分别为（2，0），（2，0），如图所示（1）求椭圆C的方程；（2）设直线xmy1与椭圆C交于两点P，Q，直线与交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由问题7：椭圆（圆锥曲线）的定点定值问题研究类型1：定直线问题已知、分别为椭圆:的上、下焦点,其中也是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点,且.() 求椭圆的方程.() 已知点和圆:,过点的动直线与圆相交于不同的两点,在线段上取一点,满足:,(且).求证:点总在某定直线上.解: ()方法一、由知,设, 因在抛物线上,故又,则, 由解得,椭圆的两个焦点,点椭圆上,由椭圆定义 ,又, 椭圆的方程为. 方法二、由知,设,因在抛物线上,故又,则, 由解得,. 而点椭圆上,故有即, 又,则由可解得,椭圆的方程为 ()设,由可得:,即 由可得:,即 得: 得:两式相加得又点在圆上，且,所以, 即, 点总在定直线上. 类型二：定点问题在平面直角坐标系中，已知圆和圆.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。【解析】 (1)设直线的方程为：，即由垂径定理，得：圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，得： 化简得：求直线的方程为：或，即或(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，即：因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：圆心到直线与直线的距离相等。 故有：，化简得：关于的方程有无穷多解，有： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解之得：点P坐标为或。类型三：定圆问题已知椭圆E：1(ab0)的离