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第一章 算术基础知识1.1算术基础对我们每个人来说，数学都是从算术开始的。算术从“计数”出发，研究数与数之间的基本运算关系，并总结出一些数的特性。一些较深层次的性质相当复杂，称为“高级算术”，也就是我们常说的数论。在用数学描述现实的过程中，人们发现仅仅有整数是不够的，于是进一步扩充了数的种类。1.1.1 实数实数可以直观地看作小数（有限或无限的），它们能把数轴“填满”。由于它全落在数轴上，所以我们可以认为实数是唯一的。实数极其丰富而又有局限性，就好像音乐的变化是无限的，但人耳能听到的所有声音不过分布在有限的2020000Hz，频率段。在人们对数种类进行不断扩充的过程中，实数最终被分为两大类：有理数和无理数。1、有理数有理数是一个整数a和一个非零整数b的比，通常写作a/b。希腊文原意为“成比例的数”，故又称作分数。有理数的概念为自几何原本，该书在明代传入中国，并由徐光启和利玛窦将前6卷合译为文言文。文言文中的“理”指的是“比值”。明治维新前，日本引进欧美数学典籍多转译自该书的文言文译本。日本学者不理解文言文中的“理”的含义，直接翻译成“有理数”，清末留日学生又以讹传讹地把这种错误延续回国。于是“成比例的数”变成了“有理数”，让几代学子都很费解。有理数包括：整数、分数。2、无理数无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有大部分的平方根、和e等。相传，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。他以几何方法证明2无法用整数或分数表示。而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数或分数表示，不相信无理数的存在。希伯斯将2无法用分数表示这个事实透露给外人，因之触犯学派章程而被处死，其罪名等同于“读神”。3、实数扩展简史 在1637年的几何学中，勒内笛卡尔评论说：“算术只包含四种或五种运算，分别是加法、减法、乘法、除法和开方。” 这句话道出了算术所允许的运算，以现代观点看，可以利用这些运算生成一个数系层，每一层都是对上一层数的扩充(最终成就了实数系)。这种来自算术运算的数系结构既是逻辑要求也是历史要求。（1）加法构建自然数：自然数的构建是一个叠加的过程，由1+1得到2，2+1得到及至无穷。（2）减法构建负整数、0：若a2359，由此排除D。例4 有33个偶数的平均数，保留一位小数时是5.8，保留两位小数时，则该平均数最小是 A.5.76 B.5.75 C.5.78 D.5.82解析：保留一位小数时是5.8，该平均数应该小于5.85，大于5.75。若平均数为5.85，则总和为335.85=193.05；若平均数为5.75，则总和为335.75=189.75。所以这些数的和在189.75-193.05之间。33个偶数的和为偶数，因此它们的和最小为190，其平均数保留两位小数是19033=5.76，选A。2、质数与合数人们本以为整数不过是通过加法运算逐一构造出来的，如：2是在1的基础上再加1得到的。但是质数让人们从乘法运算的角度深人理解整数。整数按质合性划分有4种：0、1、质数、合数。质数只能被1和它本身整除，又称素数。顾名思义，它是整数中最基本的“元素”。除了0、1、质数，其余的都是由质数组成的小团体合数。合数的含义可借助下面这个定理来理解。任何正整数(1除外)都能够写成若干质数之积。这个命题告诉我们合数是由质数“凑成”的，肯定了“质数是组成一切基本自然数的元素”的不可再分的地位。除了0和1要么是质数，要么是质数的乘积(合数)。例5 四个相邻质数之积为17017，他们的和为 A.48 B.52 C.61 D.72解析：把17017写成4个质数相乘的形式，容易看出17017=17x1001，因此只需分解10010。10010可以整除的最小质数是7，那么这四个相邻质数是7、11、13、17，和为7+11+13+17=48，选A。 上题中看到数字17017这样一个大数，你是否有把它大卸八块的冲动?在面对复杂的数时，人的直觉是把它们拆解成基本的零件，算术基本定理告诉我们这些零件都是质数。因此熟悉较小的质数对于解题事半功倍。20以内的质数包括：2、3、5、7、11、13、17、19。3、质数的其他性质质数因其不可约分的性质被定义，也因此具有了以下性质：（1）除2以外的所有质数都是奇数。（2）质数之间互质。对两个整数进行质因数分解后，若它们没有相同的质因数，则称这两个数互质。质数之间一定是互质的关系。因为彼此没有相同的质因数，所以互质的数相除不能得到整数。例6 有7个不同的质数，他们的和是58，其中最小的质数是多少？ A.2 B.3 C.5 D.7解析：除了2以外的质数全是奇数，若7个质数全是奇数，则这些数的和不为偶数。所以这7个质数必然含有偶数，2是最小的质数且是质数中唯一的偶数，选A。例7 从3、5、7、11四个数中任取两个数相乘，可以得到多少个不相等的积？ A.5 B.4 C.6 D.7 解析：四个数两两互质，所以任取两数相乘得到的积均不相等，有个不相等的积，选C。4、平方数从马其顿方阵到罗马军团的重步兵方阵，古代战争都是以队形取胜的。最规整的方阵自然是正方形的，人数是每边人数的平方，因此平方数相当于是各种大小不同的方阵的人数。熟悉平方数有助于确定数字推理中多次方数列的规律，也可通过对平方数的判断快速解决数学运算中的某些题目。例8 有一个上世纪80年代出生的人，如果他能活到80岁，那么有一年他的年龄的平方数正好等于那一年的年份。问此人生于哪一年？ A.1980年 B.1983年 C.1986年 D.1989年 解析：上世纪80年代的范围是1980-1989，因此有一年他年龄的平方数应该介于1980-2069之间。，则该区间内的平方数只有45。因此，在2025年他45岁，此人生于2025-45=1980年，选A。例9 从一块正方形木板上锯下宽5厘米的一个木条后，剩下的长方形面积是750平方厘米，锯下的木条面积是多少平方厘米？ A.25 B.150 C.152 D.168解析：原正方形面积应为平方数，即长方形面积加上锯下的面积之和为平方数，选项中只有B项加上750以后是900=。1.1.3 整除整除是两个整数之间的一种关系。153的结果5是个整数，则15能被3整除。把15个苹果分给3个人，每个人能得到5个；分给4个人就不能保证每个人得到同样数量的苹果。因此“整除”暗含平均分配的意思。1、整除判定 如果在具体计算之前你预知正确答案能被某个数整除，那你只需要判断哪个选项能被这个数整除。行测考试中经常需要判断一个数是否能被3、5、9整除。 （1）被5整除的判断依据：个位是0、5的数可被5整除。 （2）被8整除的判断依据：末三位可被8整除的数能被8整除。 （3）被3整除的判断依据：各位数字和是3倍数的数可被3整除。（4）被9整除的判断依据：各位数字和是9倍数的数可被9整除。例10 某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和是多少？ A.9 B.12 C.15 D.18解析：排名第十的员工能被10整除，则其个位是0，排名第三的个位是3，第九名个位是9，二者各位数字之和相差6。第三名工号能被3整除，其各位数字之和是3的倍数；第九名工号能被9整除，其各位数字之和是9的倍数。第九名工号各位数字之和为第三名工号各位数字之和加6，应能为9整除。结合选项可知选B。2、整除性质上面提到的利用整除关系来锁定答案，很暴力。但是它有个前提，要先知道答案具有的整除关系。所以，我们利用整除性质来得到答案具有的整除关系。如果数“能被b整除，数b能被c整除，则数a能被c整除”。（传递性）【示例】42能被14整除，14能被7整除，42能被7整除。如果数a能被c整除，数b能被c整除，则a+b，a-b均能被c整除。（可加减性)【示例】9能被3整除，18能被3整除，9+18=27也能被3整除。例11 一个三位自然数正好等于它各位数字之和的18倍，则这个三位自然数是 A.999 B.476 C.387 D.162解析：这个三位数是18的倍数，即这个三位数能被18整除，又18能被2和9整除。根据整除的传递性，这个数一定能被9和2整除。A、C两项不能被2整除，排除；B项4+7+6=17，不能被9整除，排除；只有D项符合。3、最大公约数与最小公倍数 如果两个数存在整除的关系，较小数是大数的约数，大数是较小数的倍数。一个数的最大约数是其本身，最小约数是1。若两个数有共同的约数，则这个约数称为它们的公约数，即“公共的约数”。同理，两个数共同的倍数，称为公倍数。一个数的约数小于这个数本身，是有限的；倍数则可以无限大。故在讨论公约数与公倍数的时候通常关注最大公约数与最小公倍数。例12 有甲、乙、丙三辆公交车于上午8:00同时从公交总站出发，三辆车再次回到公交总站所用的时间分别为40分钟、25分钟和50分钟。假设这三辆公交车中途不休息，请问它们下次同时到达公交总站将会是几点？ A.11点整 B.11点20分 C.11点40分 D.12点整解析：要想同时到达，所需时间应为40，25，50的公倍数，下一次同时到达所需时间为40、25、50的最小公倍数。因此40、25、50的最小公倍数为200，所以200分钟后他们同时到达公交总站，200分钟=3小时20分，故11点20分时它们同时到站，选B。1.1.4 余数15个苹果分给4个人，如果要求每个人得到苹果数同样多，显然每人得到3个苹果后，还剩下3个没法平分。余数是这个分配过程中“余留下的量”。当余数为零时，即为整除。余数总是小于除数，且大于0。例13 在一个除法算式里，被除数、除数、商和余数之和是319，已知商是21，余数是6，问被除数是多少？ A.237 B.258 C.279 D.290解析：在除法算式里，被除数=除数商+余数，此题可以设除数为x，则被除数是21x+6。由题意可知，21x+6+x+21+6=319，解得x=13，故被除数为1321+6=279，选C。1、同余 两个整数a，b，若它们除以整数m所得余数相同，则称a，b对于m同余。同余包括一些听起来拗口，实际上却很朴素的运算性质。例如： （1）两数之和与余数的和同余。 （2）两数之差与余数的差同余。（3）两数之积与余数的积同余。例14 a除以5余1，b除以5余4，如果3ab，那么3a-b除以5余几？ A.1 B.2 C.3 D.4解析：3除以5余3，a除以5余1，3a与余数的积3x1同余，即3a除以5余3。3a-b与余数的差(3-4)同余，即3a-b的余数是-1+5=4。2、尾数尾数通常指的是整数的个位数字，有时候也指小数的最末位。因此尾数是这个数除以10的余数。 尾数法：尾数本质上是原数除以10的余数，尾数的运算本质是同余的性质的具体表现。（1）两数之和的尾数=尾数之和的尾数（2）两数之差的尾数=尾数之差的尾数（3）两数之积的尾数=尾数之积的尾数 例14 的值是 A.5.04 B.5.49 C.6.06 D.6.30 解析： 的尾数为1，的尾数为4，的尾数为9， 的尾数为6，各项尾数的和1+4+9+6=20，尾数为0，选D。例15 200920082008-200820092009=？ A.0 B.1 C.2 D.3 解析：原式的尾数为98-98=0，选择A。3、一般剩余问题上述问题称为中国剩余定理或中国余数定理，是一般剩余问题。一般剩余问题的通用形式如下一个数除以a余x，除以b余y，除以c余z，其中a、b、c两两互质；求满足该条件的最小数。 这类问题的通用解法是逐步满足法。以孙子算经中的题目为例，满足除以3余2的最小数是2，则3n+2都满足这一条件。 当n=0时，3n+2=2不满足除以5余3； 当n=1时，3n+2=5不满足除以5余3； 当n=2时，3n+2=8满足除以5余3。3和5的最小公倍数是15，则15n+8都满足上面两个条件。当n=1时，15n+8=23，满足除以7余2。3、5、7的最小公倍数是105，所以23是满足这三个条件的最小数，105n+23是满足这三个条件的所有数。23相当于满足条件的数除以3、5、7最小公倍数的余数，因此剩余问题就是求这个余数。例16 三位数的自然数P满足：除以3余2，除以7余3，除以11余4，则符合条件的自然数P有（）个。 A.5 B.4 C.6 D.7解析：满足除3余2的最小整数是2，则3n+2都满足这个条件。当n=5时，35+2=17满足除以7余3，则21n+17满足前两个条件。当n=2时，212+17=59满足除以11余4，则231n+59满足所有条件。可知当n=1、2、3、4时满足题意，选B。4、余同指一般剩余问题中的余数是相同的，一个数除以a余x，除以b余x，除以c余x。因此，满足余同问题的数是a，b，cn+x。【示例】一个数除以4余2，除以5余2，除以6余2，这个数可表示为？4，5，6的最小公倍数是60，因此这个数可以表示为60n+2。例17 某生产车间有若干名工人，按每四个人一组分，多一个人；按每五个人一组分，也多一个人；按每六个人一组分，还是多一个，该车间至少有多少名工人？ A.31 B.41 C.61 D.122解析：余同问题，4、5、6的最小公倍数是60，符合题意的数为60n+1。当n=1时，该车间至少有61人，选C。5、和同指一般剩余问题中每组除数与余数的和相同，即a+x=b+y=c+z。则满足和同问题的数是a,b,cn+a+x【示例】一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，这个数可表示为？4+3=5+2=6+1=7，4、5、6的最小公倍数为60，则这个数可以表示为60n+7。例18 一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有A.5个 B.6个 C.7个 D.8个解析：满足除以5余2，除以4余3是和同问题，5与4的最小公倍数是20，满足这两个条件的数可表示为20n+7。这个数与9余同，20与9的最小公倍数是180，则这个数最终可表示为180n+7。当n=1、2、3、4、5时是三位数，选A。6、差同指一般剩余问题中每组除数与余数的差相同，即a-x=b-y=c-z。即原数加上这个差后可以被每个除数整除，则满足差同问题的数是a，b，cn-（a-x）。【示例】一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，这个数可表示为？ 4-1=5-2=6-3=3，4，5，6的最小公倍数为60，则这个数可以表示为60n-3。例19 有一个自然数“X”，除以3的余数是2，除以4的余数是3，问“X”除以12的余数是多少？ A.1 B.5 C.9 D.11解析：差同问题，3-2=4-3=1，3与4的最小公倍数是12，则X=12n-1。易知X除以12的余数是-1+12=11，选D。例20 一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，那么这个数是多少？ A.118 B.140 C.153 D.162 解析：11-8=13-10=3，差同问题。11与13的最小公倍数是143，则这个数为143n-3。小于200的数中只有140满足，选B。1.2和差倍比差倍比问题讨论的是不同数量间的和、差、倍数、比例的关系。和差倍问题主要有以下三种：（1）和倍关系：已知两个数之和以及其之间的倍数关系，求这两个数。和（倍数+1）=小数 小数倍数=大数（2）差倍关系：已知两个数之差以及其之间的倍数关系，求这两个数。差（倍数-1）=小数 小数倍数=大数（3）和差关系：已知两个数之和与差，求这两个数。（和+差）2=大数 （和-差）2=小数例21 水果店运来的西瓜个数是哈密瓜个数的4倍，如果每天卖130个西瓜和36个哈密瓜，那么哈密瓜卖完后还剩下70个西瓜。该店共运来西瓜和哈密瓜多少个？A.225 B.720 C.790 D.900解析：此题答案为D。此题为和差倍问题（2）差倍关系。卖之前具有倍数关系，如果哈密瓜每天卖36个，西瓜每天卖364=144个时，二者恰好同时卖完，现在按照“130个西瓜和36个哈密瓜”，每天少卖144-130=14个西瓜，共剩下70个，所以共卖了7014=5天，共有5（130+36）+70=900个瓜。例22 三个单位共有180人，甲、乙两个单位人数之和比丙单位多20人，甲单位比乙单位少2人，求甲单位的人数？A.48人 B.49人 C.50人 D.51人解析：此题为和差倍问题（3）和差关系。根据“甲、乙两个单位人数之和比丙单位多20人”，由和差关系公式可知，甲、乙两个单位人数之和为（180+20）2=100人；根据“甲单位比乙单位少2人”，再次利用和差关系公式，甲单位有（100-2）2=49人。1.2.1比例问题比例问题或者是分量与总量比较(占比)，或者是分量间比较。与总量比较的题目可以采用特值法简化计算，分量间的比例问题通常利用整除性质来判断选项。1、连比问题连比问题涉及多个量之间的比例关系，需要找出一个中间量，统一比例关系(一般需要求出最小公倍数，并把这个特殊值设为中间量)。例23 三人玩游戏，开始时三人的钱数之比为7:6:5，游戏结束后三人的钱数之比变为6:5:4，其中一个人赢了12元，则这个人原来有多少元钱？ A.420 B.480 C.360 D.300解析：三人的总钱数没有改变，设为中间量。开始时总量共7+6+5=18份，结束时总量为6+5+4=15份。二者的最小公倍数为90，因此设总量为90份。开始时三人钱数之比为35:30:25，结束后变为36:30:24。可见只有A的钱数多了1份，为12元。则这个人原来有1235=420元，选A。例24 某高速公路对于过往车辆的收费标准：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。某日通过该收费站的大客车与小客车数量之比为5:6，小客车与小轿车数量之比为4:11，收取小轿车的通行费比大客车多210元，则当天这三种车辆共通过 A.330辆 B.355辆 C.385辆 D.450辆解析：以小客车为中间量，设这个中间量为6与4的最小公倍数12份，则大客车、小客车、小桥车的数量比为10:12:33。以10辆大客车、12辆小客车、33辆小轿车为一组。每组收取小轿车的费用比大客车多3310-1030=30元。实际收取了210元，说明共通过了210 30=7组。每组有10+12+33=55辆，则当天共有557=385辆车通过，选C。2、占比问题几个数相互间的比例关系可以很混乱，这是因为比照的标尺在不断变化，如果都与总量做比较会省事很多。总量一般设为1或100，因此占比通常是一个真分数或百分数。占比问题的关键是找出分量与总量间的比例关系。例25 甲、乙、丙、丁四个队共同植树造林，甲队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的，乙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的，丙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的一半。已知丁队共造林3900亩，问甲队共造林多少亩？ A.9000 B.3600 C.6000 D.4500 解析：甲队占造林总的亩数的，乙队占，丙队占，丁占，所以总共造林18000亩，甲队3600亩。 1.3平均数 1.3.1 算术平均数算术平均数就是把一组数据加起来再除以它们的个数。日常生活中提到的平均数多半指的是算术平均数。概念：设一组数据分别是，这n个数的算术平均数就是 例26 已知数据23，25，26，22，21，27，28，24，30，33，用这10个数分别减去其平均数，所得10个数值的和为 A.3 B.2 C.0 D.-3解析：由平均数的定义：，算出10个数的平均数，再计算和为0。例27 某班一次期末数学考试成绩，平均分为95.5分，后来发现小林的成绩是97分误写成79分。再次计算后，该班平均成绩是95.95分。则该班人数是A.30人 B.40人 C.50人 D.60人解析：重新统计后该班成绩提高了95.95-95.5=0.45分，该班总分增加了97-79=18分。因此这班有180 45=40人，选B。1.3.2 加权平均数概念：加权平均数与算术平均数类似，不同之处在于每个数据要乘一个系数，这个系数称为权重。权重代表每个数据对总量的贡献。例如：某次考试有1个人得10分，5个人得8分，1个人得6分；总平均分显然不是，而是。当权重均为1时，加权平均数等同于算术平均数。因此，加权平均数是算术平均数的广义形式。算法：设一组数据分别是，出现的次数分别为，这些数的平均数为：例28 某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科生毕业数量比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年毕业的本科生有 A.3920人 B.4410人 C.4900人 D.5490人解析：采用十字交叉法。十字交叉法：在浓度问题中，不同浓度的两种溶液混合得到的混合溶液的浓度，实质是计算加权平均数。例如:有浓度为a%的盐水x克与浓度为b%的盐水y克，混合后的浓度为c%。根据加权平均数的算法 ，整理这个方程可得，如果已知各部分的浓度(平均数)与总浓度(总平均数)，利用这个方程就可以快速求各部分的质量比(权重比)。十字交叉法就是将推导这个方程的过程简化，而不用对之死记硬背。假设第一部分平均值为a，第二部分平均值为b(ab)，混合后的平均值为c。 这里的平均值可以是浓度、产量、价格、利润、增长率、速度等等。因此，凡涉及求两个平均数的加权平均数均可采用十字交叉法快速得解。此题目中，采用十字交叉法，得到以下框图：因此2005年本科与研究生毕业生数量之比为2：1。2005年高校毕业生总数是7650/(1+2%)=7500，本科生有7500 =5000人，2006年本科生有5000（1-2%）=4900人，选C。例29 某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成绩为75分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，则此班女生的平均分是 A.84分 B.85分 C.86分 D.87分解析：设男生平均分为x，女生平均分为1.2x，应用十字交叉法。，解得x=70，女生平均分为70*1.2=84。1.3.3 均值不等式随算法不同，平均数还包括调和平均数、几何平均数、平方平均数，均值不等式给出了它们之间的大小关系。调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数注：当时，上述不等式取等号。常用类型：（1），当且仅当a=b时等号成立。（2），当且仅当a=b=c时等号成立。例30 建造一个容积为16立方米，深为4米的立方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米160元和每平方米100元，那么该水池的最低造价是多少元？ A.3980 B.3560 C.3270 D.3840 解析：设池底的长和宽分别是x、y，底面积xy=16/4=4平方米，池壁的面积为周长深度=42 (x+y)=8x+8y，水池的造价为4160+(8x+8y) 100=640+800(x+y)。由均值不等式可知，。因此，当x=y=2时，x+y的值最小，为4。该水池的最低造价为640+8004=3840元。第二章 代数基础知识2.1 方程概念：方程是含未知数的等式。笛卡尔提到一个实际问题解决的大致流程为：实际问题数学问题代数问题方程问题。其中最后一步正是解决问题的核心所在，可见函数与方程的思想堪称代数中的灵魂思想。二者都是通过未知变量间的运算关系来描述问题并通过计算揭示其本质，多用于一些数量关系表述复杂的应用题。方程法是一种直接的方法，它是把未知量设为字母（比如x），然后把字母（比如x）作为已知量参与计算，最终得到等式的过程。方程法的思维方式与其他算术解法的思维方式不同，它不需要从已知到已知和从已知到未知等多层次的分析，它只需要找出等量关系，然后根据等量关系按顺序列出方程即可。方程法的主要流程为：设未知量找出等量关系列出方程解出方程例1 一商品的进价比上月低了5%，但超市仍按上月售价销售，其利润率提高了6个百分点，则超市上月销售该商品的利润率为A12% B13% C14% D15%解析：设未知量，设上个月的利润率为x，则这个月的利润率为x+6%。找出等量关系：两个月的售价是一样的。列出方程：不妨设上个月商品进价是1，则这个月商品进价是0.95，1（1+x）=0.95（1+x+6%）解出方程：x=14%。所以正确答案为C。例2 商场的自动扶梯以匀速由下往上运行，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在运行的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有A.80级 B.100级 C.120级 D.140级解析：设扶梯每秒走x级，则40（2+x）=50（3/2+x），解得x=0.5，总的扶梯有40（2+0.5）=100级。所以正确答案为B。例3 四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人？ A.177 B.178 C.264 D.265解析：设甲、乙、丙、丁四个班人数分别为a，b，c，d，则b+c+d=131 a+b+c= 134 b+c=a+d-1 +得到a+d+2(b+c)=265，把代入a+d+2(a+d)-2=265，解得a+d=89。a+b+c+d=a+d+a+d-1=89+89-1=177，选A。2.1.1 一元二次方程概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程有三个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。里面要有等号，且分母里不含未知数。一元二次方程的解：设一元二次方程为 ，通过配方法得到，方程的通解为：得到的通解为：例4 一列队伍沿直线匀速前进，某时刻一传令兵从队尾出发，匀速向队首前进传送命令，他到达队首后马上原速返回，当他返回队尾时，队伍行进的距离正好与整列队伍的长度相等。问传令兵从出发到最后到达队尾所行走的整个路程是队伍长度的多少倍？ A.1.5 B.2 C. D. 解析：设队伍长度为1，传令兵的速度为，队伍行进速度为。该传令兵到达队首是一个追及过程，追及距离为队伍长度1，用时为；该传令兵从队首回到队尾是一个相遇过程，用时。故，整理得。令，解这个一元二次方程，得到，因为速度是大于0的，所以。相同时间下，路程与速度呈正比，所以传令兵从出发到回到队尾走的总路程是队伍长度(队伍走的路程)的倍，所以选择C。2.1.2 不定方程概念：不定方程是未知数个数多于方程数，且未知数受到某些限制(如规定是整数)的方程。最常见的不定方程是形如ax+by=c的二元一次不定方程，其中a、b、c均为整数。不定方程的解不是唯一确定的，如果未知数的解不加限制条件，它会有无数种可能。例5 超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个？ A.3 B.4 C.7 D.13解析：设大包装盒用了x个，小包装盒用了y个。依题意，12x+5y=99 ，12x是偶数，则5y是奇数，5y的尾数是5。因此12x的尾数是4，x的尾数为2或7。当x=7时，y=3，题干条件说用了十多个盒子，排除。当x=2时，y=15，两者之差为13，选D。例6 某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有钢琴学员和拉丁舞学员共76名分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人？ A.36 B.37 C.39 D.41解析：设每个钢琴教师带x名学生，每个拉丁舞教师带y名学生，则5x+6y=76。 76、6y是偶数，根据偶数+偶数=偶数，可知5x是偶数，x是偶数。每位老师所带的学生数量都是质数，2是唯一的偶质数，则x=2，y=11。培训中心目前剩下41名学员。例7 共有20个玩具交给小王手工制作完成。规定，制作的玩具每合格一个得5元，不合格一个扣2元，未完成的不得不扣。最后小王共收到56元，那么他制作的玩具中，不合格的共有（）个。 A.2 B.3 C.5 D.7解析：设合格的玩具x个，不合格的y个，则5x-2y=56，即5x=56+2y。根据偶数+偶数=偶数可知，5x是偶数，且5x是5的倍数，因此5x的尾数只能是0，因此知的尾数只能为4，结合选项知y可以取到2或7。分别代入发现，y=2，x=12满足x+y20。故选择A。例8 工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个，工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽7个。现在两人各花了20分钟，共生产螺丝和螺丝帽134个。问生产的螺丝比螺丝帽多几个？ A.34个 B.32个 C.30个 D.28个解析：设工人甲生产螺丝x分钟，工人乙生产螺丝y分钟。则3x+2y+9(20-x)+7(20-y)=134，整理得6x+5y=186。6x、186是偶数，则5y是偶数。5y的尾数只能是0，故6x的尾数是6。x为1、6、11、16能满足条件，只有当x=16时y=18能满足y小于20。此时螺丝有316+218=84个，螺丝帽有134-84=50个，螺丝比螺丝帽多84-50=34个。2.2不等式概念：用不等号可以将两个解析式连接起来所成的式子。在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式。例如2x+2y2xy，sinx1，ex0 ，2xy，那么yx；如果yy；（对称性） 如果xy，yz；那么xz；（传递性） 如果xy，而z为任意实数或整式，那么x+zy+z；（加法原则） 如果xy，z0，那么xzyz；如果xy，z0，那么xzy，z0，那么xzyz；如果xy，z0，那么xzy，mn，那么x+my+n；(充分不必要条件) 如果xy0，mn0，那么xmyn； 如果xy0，那么x的n次幂y的n次幂（n为正数)例9 某单位招待所有若干间房间，现要安排一支考察队的队员住宿，若每间住3人，则有2人无房可住；若每间住4人，则有一间房间不空也不满，则该招待所的房间最多有 A.4间 B.5间 C.6间 D.7间解析：设有x间房，该考察队有y人，则y=3x+2。由“若每间住4人，则有一间房间不空也不满”可知4(x-1)3x+24x，解得2x6，因此x最多有5间。例10 甲班有42名学生，乙班有48名学生，在某次数学考试中按百分制评卷，评卷结果两个班的数学总成绩相同，平均成绩都是整数，且都高于80分。请问甲班的平均分与乙班相差多少？ A.12分 B.14 C.16分 D.18分解析：设甲班平均成绩为x，乙班平均成绩为y，则42x=48y，x：y=8：7。令甲班为8a，乙班为7a。平均成绩都是整数说明8a-7a=a也是整数。则807a0，m是不小于m的最小整数。如果某人IC电话磁卡上只有5元，则此人可以用该磁卡通话的时间最多为A.6.5分钟 B.6分钟C.7.5分钟 D.7分钟解析：从最大的选项依次代入，当m=7.5时，f(7.5 )=1.06(0.508+1)=5.3超出余额；当m=7时f(7)=1.06(0.507+1)=4.77元，小于余额。因此，该磁卡通话时间最多为7分钟，选D。例13 某城市居民用水价格为:每户每月不超过5吨的部分按4元/吨收取；超过5吨不超过10吨的部分按6元/吨收取；超过10吨的部分按8元/吨收取。某户居民两个月共交水费108元，则该户居民这两个月用水总量最多为多少吨？ A.17.25 B.21 C.21.33 D.24解析：总水费一定时，要使用水总量最多，则每个月所用价位低的水尽量多。两个月内，4元/吨的水最多用25=10吨，花费 104=4.0元；6元/吨的水，最多用25=10吨，花费106=60元。8元/吨的水，花费108-40-60=8元，用了1吨。两个月的用水总量最多为10+10+1=21吨，选择B。例14 为节约用水，某市决定用水收费实行超额超收，标准用水量以内每吨2.5元，超过标准的部分加倍收费。某用户某月用水15吨，交水费62.5元，若该用户下个月用水12吨，则应交水费多少钱？ A.42.5元 B.47.5元 C.50元 D.55元解析：超出标准的水费每吨应为2.52=5元。若15吨在标准用水量以内，则交水费2.5 15=37.5元。多出62.5-37.5=25元，说明超出标准的水量为25 (5-2.5 )=10吨。标准用水量为5吨。用水量为12吨时，应缴水费为52.5+(12-5 ) 5=47.5元，选B。2.4 数 列数列是一组按顺序排列的数，它的每一项一般可用一个只涉及项数n的