高中数学不等式典型例题解析.pdf

概念概念 方法方法 题型题型 易误点及应试技巧总结易误点及应试技巧总结 不等式不等式 一一 不等式的性质不等式的性质 1 同向不等式可以相加同向不等式可以相加 异向不等式可以相减异向不等式可以相减 若 ab cd 则acbd 若 ab cd 但异向不等式不可以相加 同向不等式不可 以相减 2 左右同正不等式左右同正不等式 同向的不等式可以相乘同向的不等式可以相乘 但不能相除 异向不等式可异向不等式可 以相除以相除 但不能相乘 若0 0abcd 则acbd 若0 0abcd 3 左右同正不等式左右同正不等式 两边可以同时乘方或开方两边可以同时乘方或开方 若0ab 则 nn ab 或 nn ab 4 若0ab ab 则 11 ab 若0ab 则 11 ab 如如 1 1 对于实数cba 中 给出下列命题 22 bcacba 则若 babcac 则若 22 22 0bababa 则若 ba ba 11 0 则若 0 11 ab ab 若 则0 0ab 且 0 cba则 a c 的取值范围是 答 1 2 2 二二 不等式大小比较的常用方法不等式大小比较的常用方法 1 作差 作差后通过分解因式 配方等手段判断差的符号得出结果 2 作商 常用于分数指数幂的代数式 3 分析法 4 平方法 5 分子 或分母 有理化 6 利用函数的单调性 7 寻找中间量或放缩法 8 图象法 其中比较法 作差 作商 是最基本的方法 如如 1 1 设0 10 taa且 比较 2 1 loglog 2 1 t t aa 和的大小 答 当1a 时 11 loglog 22 aa t t 1t 时取等号 当01a 1 2 pa a 24 2 2 aa q 试比较qp 的大小 答 pq 3 3 比较 1 3logx与 10 2log2 xx x 且的大小 答 当01x 时 1 3logx 2log 2 x 当 4 1 3 x 的最大值是24 3 D 4 23 0 yxx x 的最小值是24 3 答 C 2 2 若21xy 则24 xy 的最小值是 答 2 2 3 3 正数 x y满足21xy 则 yx 11 的最小值为 答 32 2 4 4 常用不等式常用不等式有 1 22 2 2211 abab ab ab 根据目标不等式左右 的运算结构选用 2 a b c R 222 abcabbcca 当且仅当abc 时 取等号 3 若 0 0abm 则 bbm aam 糖水的浓度问题 如如 如果正数a b满足3 baab 则ab的取值范围是 答 9 五五 证明不等式的方法证明不等式的方法 比较法 分析法 综合法和放缩法 比较法的步骤是 作差 商 后通过分解因式 配方 通分等手段变形判断符号或与 1 的大小 然后作出结论 常用的放缩技巧有 2 1111111 1 1 1 1nnn nnn nnn 111 11 121 kkkk kkkkk 求证 222222 cabcabaccbba 2 2 已知Rcba 求证 222222 cbaabcaccbba 3 3 已知 a b x yR 且 11 xy ab 求证 xy xayb 4 4 若a b c是 不 全 相 等 的 正 数 求 证 lglglglglglg 222 abbcca abc 5 5 已知Rcba 求证 2222 a bb c 22 c aabc abc 6 6 若 nN 求证 2 1 1 1 nn 2 1nn 7 7 已知 ab 求证 abab abab 8 8 求证 222 111 12 23n L 六六 简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式的解法 标根法 其步骤是 1 分解成若干个一次 因式的积 并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正 2 将每一个一次因式 的根标在数轴上 从最大根的右上方依次通过每一点画曲线 并注意奇穿过奇穿过 偶弹回偶弹回 3 根据曲线显现 f x的符号变化规律 写出不等式的解集 如如 1 1 解不等式 2 1 2 0 xx 答 1x x 或2 x 2 2 不等式 2 2 230 xxx 的解集是 答 3x x 或1 x 3 3 设函数 f x g x的定义域都是 R 且 0f x 的解集为 12 xx g的解集为 答 1 2 U 4 4 要使满足关于x的不等式092 2 axx 解集非空 的每一个x的值 至少满足不等式086034 22 xxxx和中的一个 则实数a的取值范围是 答 81 7 8 七七 分式不等式的解法分式不等式的解法 分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0 再通 分并将分子分母分解因式 并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正 最后用 标根法求解 解分式不等式时 一般不能去分母 但分母恒为正或恒为负时 可去分母 如如 1 1 解不等式 2 5 1 23 x xx bax的解集为 1 则关于x的不等式 0 2 x bax 的解集为 答 2 1 U 八八 绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 1 分段讨论法 最后结果应取各段的并集最后结果应取各段的并集 如如解不等式 2 1 2 4 3 2 xx 答 xR 2 利用绝对值的定义 3 数形结合 如如解不等式 1 3xx 答 1 2 U 4 两边平方 如如 若不等式 32 2 xxa 对xR 恒成立 则实数a的取值范围为 答 4 3 九九 含参不等式的解法含参不等式的解法 求解的通法是 定义域为前提 函数增减性为基础 分 类讨论是关键 注意解完之后要写上 综上 原不等式的解集是 注意注意 按参数讨论 最后应按参数取值分别说明其解集 但若按未知数讨论 最后应求 并集 如如 1 1 若 2 log1 3 a 或 2 0 3 a 答 0a 时 x0 x 时 1 x x a 或0 x 0a 时 1 0 xx a 或0 x bax 的解集为 1 则不等式0 2 bax x 的解集为 答 1 2 十一十一 含绝对值不等式的性质含绝对值不等式的性质 ab 同号或有同号或有0 abab abab ab 异号或有异号或有0 abab abab 如如设 2 13f xxx 实数a满足 1xa 求证 2 1 f xf aa 在区间D上恒成立 则等价于在区间D上 minf xA 若不等式 Bxf 在区间D上恒成立 则等价于在区间D上 maxf xB 34对一切实数x恒成立 求实数a的取值范围 答 1a xmx对满足2 m的所有m都成立 则x的取值 范围 答 71 2 31 2 4 4 若不等式 n a n n 1 1 2 1 对01x 的所有实数x都成立 求m的 取值范围 答 1 2 m 2 2 能成立问题能成立问题 若在区间D上存在实数x使不等式 Axf 成立 则等价于在区间D上 ma