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数学新教材第三章数列简介奉化中学 杨亢尔一、概述新教材第三章“数列”的教学内容主要是数列的基本概念以及等差数列和等比数列。关于数列，早在公元前100年前的周髀算经里就记载着有关等差数列的问题。到了宋、元年间，沈括提出了一种计算层层堆积的酒坛总数的方法，后来杨辉、朱世杰等人继续对等差数列进行了深入研究，并达到了较高水平。他们在高阶等差数列研究方面取得的某些成果，要比欧洲早三四百年。数列是中学数学中的一项重要课题，其作用可从以下三个方面来看：（1）数列有着重要的实际应用。例如，为了实现产品尺寸标准化，使各种产品尺寸之间互相配合，国家有关部门颁布了产品尺寸的“优先数系”，要求各生产部门最大限度地根据优先数系来设计产品尺寸。这个“优先数系”，就是根据等比数列的原理编制的，又如，斐波那契数列在优选法等方面也有着重要的应用。（2）学习数列，可为后面学习数列的极限作好准备。（3）数列是培养学生归纳和分析问题能力的良好题材，学生在这里可以得到很多观察数列特点、然后归纳其中规律的训练。此外，数列与其他数学内容有着广泛的联系，与数列有关的综合问题很多，因而学习数列有助于学生从整体上认识中学数学内容，提高他们综合运用知识解决问题的能力。本章教学时间约需15课时（含研究性课题3课时）3.1 数列 约2课时3.2 等差数列 约2课时3.3 等差数列的前n项和 约2课时3.4 等比数列 约2课时3.5 等比数列的前n项和 约2课时3.6 研究性课题：分期付款中的有关计算 约3课时 小结与复习 约2课时二、教材结构新教材将数列与数学归纳法、极限分开，并从原来的高二提前到高一（上）来学习，而将数学归纳法、极限与新增加的微积分初步知识一起列入高三限定的选修课内容（选修只要求极限与导数），这是本章教材的一个新变化，这样调整、安排体现了新教材“面向全体学生，促进全面发展”的改革精神。由于数列是以正整数为自变量的一种特殊函数，把数列安排在第二章函数之后来学习，既有利于用函数的观点来认识数列的本质，也有利于加深和巩固对函数概念的理解。又由于数列这部分知识与以前所学的数、式、方程、函数、简易逻辑等许多知识都有较为广泛的联系，因此学习本章对初中所学知识能起到及时复习和不断深化的作用。作为高中数学的首册，在内容的选择和顺序安排方面突出的特点是基础性强、工具作用大，与前二章类似，按大纲规定数列部分的教学内容和教学目标在难度上有所控制，在高一学习它不会有太大困难。三、教学内容1、引言新教材从国际象棋的传说故事出发，引出与本章内容相关的问题，使学生对数列、数列的通项公式与前n项和有了一个初步的印象，通过对本章内容的扼要说明，使学生了解全章的概貌。引言提出的问题涉及到求等比数列的前n项和的计算问题，通过学习本章，可在3.5节里获得解决。新教材运用传说、故事制造问题悬念，既激发了学生兴趣，又丰富了数学文化。相比于原教材，新教材在每章一开始就给人耳目一新的感觉。2、数列（1）数列的概念新教材先给出一个描述性定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。在这个定义中，只强调有“次序”，不强调有“规律”，任意一个数集，如果已将其中的元素按第一、第二的序号排成一列，就可以叫做数列，如果没有排序，就不能叫数列。教材接着指出：“从映射、函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集1，2，n）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式”，这与原教材相比较多了首尾两句话，新教材对数列概念的阐述更为确切，这样就将数列与函数紧密联系起来，不仅加深了对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究离散型函数数列。（2）数列的分类按项数有限、无限来分，数列可分为有穷数列、无穷数列。建议补充：按数列的项是否有界来分，可分为有界数列、无界数列；按数列的项的大小变化来分，可分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列。这样处理，为日后用学过的函数知识（如单调性、有界性）去解决数列问题提供了方便。（3）数列的表示方法函数有三种常用表示方法（公式、图象、列表），数列同样也有，和函数一样，不是每一个数列都能用解析式表示出来，新教材主要介绍了数列的通项公式和递推表示法。第一种方法：数列的通项公式。前面已提到，数列的通项公式就是相应函数的解析式，这样一语道破，数列与函数的内在联系更加清楚。一个数列如果有通项公式，那么它是一个函数解析式，这样的数列可以用图象来表示，图象是由一系列孤立的点所组成的图形。另外，仅知数列的前几项，只揭示了数列的部分属性，因而有无穷多种数列满足条件。因此，“根据前几项写出数列的一个通项公式”的问题中“一个”两字不可省略。求一个数列的通项公式，有以下四种基本方法：直接法：就是由已知数列的项直接写出，或通过对已知数列的项进行代数运算写出。观察分析法：根据数列构成的规律，观察数列的各项与它所对应的项数之间的内在联系，经过适当变形，进而写出第n项的表达式即通项公式。待定系数法：求通项公式的问题，就是当时求，使依次等于的问题。因此我们可以先设出第项关于变数的表达式，再分别令，并取分别等于，然后通过解方程组确定待定系数的值，从而得出符合条件的通项公式。递推归纳法：根据已知数列的初始条件及递推公式，归纳出通项公式。第二种方法：数列的递推公式。递推是数学中一个非常重要的概念和方法，有通项公式的数列只是少数，研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新教材明确给出“递推公式”的概念：“如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。”这是新教材的一个重要变动，如例3中就是递推公式，加上其它条件（如），就可写出数列的前几项。关于递推公式，高中数学教学大纲的教学目标是：了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出这个数列的前几项。但从近两年高考试题（理科）来看，这一教学要求似乎值得商榷。3、等差数列（1）等差数列的概念新教材在引入等差数列概念时，观察数列共同特点由原来的一个数列增加到三个数列，使学生更容易发现等差数列的定义的两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差等于同一个常数”，这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”这五个字则体现了等差数列的基本特征。（2）等差数列的通项公式教材由等差数列的定义，通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式，这种推导起到使学生观察分析、归纳猜想的作用，但新教材增加了一段话：“当n=1时，上面等式两边均为，即等式也是成立的，这表明当时上面等式都成立，因而它就是等差数列的通项公式。”这样叙述比过去更严密，在数学归纳法移至高三选修内容这一背景下，这一点尤显必要。等差数列的通项公式中含有四个变数，如果知道了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数，这种可行性与求出未知数的过程可以称为“知三求一”。（3）等差中项由等差数列的定义可知，是成等差数列的充要条件，两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数，由可得,所以等差数列的任一项（首末两项除外）是它的前一项与后一项的等差中项。当已知成等差数列时，通常采用作为解决问题的出发点。（4）等差数列的图象新教材突出了一次函数的联系，以数列为例，原教材说法是：“从图中看到，表示这个等差数列的点都在同一直线上”，现改为“相应的图象是直线上的均匀排开的无穷多个孤立点，如图所示”，这样便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质。例如两点可以决定一条直线，两项就可以决定一个等差数列；由变形为就是斜率公式。注意：不能说等差数列或它的通项公式是一次函数，等差数列只是某个一次函数（或常数函数）的一系列孤立的函数值；一次函数是有严格定义的，它的定义域是实数集R，图象是（连续的）一条直线。这是目前教学中普遍出错的地方！（5）建议补充等差数列的基本性质当d0时，等差数列中的项随项数的增大而增大；当d1时，如果存在一项a0（或0），那么等比数列中的项随项数的增大而增大（或减小）；当0q0（或0），那么等比数列中的项随项数的增大而减小（或增大）；当q=1时，等比数列中的项等于同一个常数；当q0时，等比数列中的数不具有单调性。在有穷的等比数列中，与首末两项等距离的两项的积都相等，且等于首末两项的积，即：如果(都是正整数)，那么。如果数列是等比数列，那么它所有的顶都不等于0，且所有的。如果数列是等比数列，那么数列（c为常数），也都是等比数列，且其中的公比不变，的公比等于原公比的倒数，的公比等于原公比的绝对值。两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积。7、等比数列的前n项和对引言中“国王与象棋”故事的悬念解决引发出等比数列前n项和的公式同样令人耳目一新。当时，求等比数列前n项和的方法一般是选用的表达式的特点，先推算，这样可以消去大量的“中间项”，从而能解出。这种推算方法不仅能导出当时等比数列的前n项和的公式，而且对于求其它数列的前n项和也有一定的启发。如果数列是公比为的等比数列，那么它的前项和公式是 也就是说，公比为q的等比数列的前n项和是q的分段函数，分段的界限是在q=1处，这一点要特别强调。与等差数列相仿，已知等比数列的五个元素，,与中的任意三个，可以通过列方程组求出另外两个。8、研究性课题分期付款中的有关计算 研究性课题，主要是指对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。它与本套教科书中的另一专题性栏目“实习作业”有一定的共同之处，但“研究性课题”突出了探究性，而“实习作业”则实践性更强。按照新大纲的规定，高中新教材增设了“研究性课题”等六个参考课题，其中“数列在分期付款中的应用”是第一个研究性课题。四、教材特点1习题设计更具有针对性和层次性为便于知识巩固和教学目标的检测，将原教材中的习题（习题十七、十八）以及复习参考题六分解为五组习题（3.1，3.2，3.3，3.4，3.5）以及复习参考题A组和B组，这样既保证了学生对所学知识消化的及时性和针对性，同时还可充分利用带*号的习题和B组题，以保证学有余力学生加深和拓宽知识。另外，从题目的难度看，改变了旧教材中习题与高考题在难度上的过大落差，复习参考题中的不少问题与高考要求相差无几，有的甚至就是高考题，为使题型与高考题更一致，新教材首次编排了部分选择题，这对引导教师重视教材，抑制题海可起到积极的作用。2削枝强干，增加分析，点拨思路 在讲有些例题时，加了一小段“分析”，通过不多的几句话点明解题的思路。例如3.2例4，加的一段“分析”是： 由等差数列定义，要判定是不是等差数列，只要看是不是一个与n无关的常数就行了。寥寥数语，突出了“从定义出发”这个最基本的证明方法。有这样“分析”的例题新教材中还有数个。删去公比为的有理数次幂的等比数列问题，实在是为了削枝强干。3加强和提高逻辑推理能力的训练和要求原教材的例、习题的设计，主要强调计算，要求学生能根据有关公式求数列的项与它的前n项和，而新教材则更加重视学生逻辑思维能力的培养。例如3.3中的例4“已知一个等差数列的前10项和是310，前20项之和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？”又如 “复习与小结”里的例1，虽是原教材中等差数列求和公式一节里的例6，但在表述上采用了“充要条件”的说法：求证：在直角三角形中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比为3:4:5。进行证明时采用了“必要性、充分性”的说法，同时在新教材正文讲述中也注意与前面的逻辑知识相呼应。再如在讲等差数列的相邻三项性质时，安排了“想一想：是，A、b成等差数列的充要条件吗？”这实际上是将原先的结论换成了“充要条件”的说法，试图通过这样的做法增加前面所学简易逻辑概念的复习和应用的机会，以达到加深理解的目的。4加强了知识的应用新教材的编写力求贯彻理论联系实际的原则，尽量从实际问题出发，结 合实际例子讲述抽象内容，介绍数学知识的实际应用。在基本保留原教材应用题的基础上，适当增加了购物分期付款、储蓄、房屋拆建规划、 测定长度等方面的应用题。5适当改变了问题的表达形式在例、习题的表述方面，适当配备了一些采用疑问形式的例、习题，以增加问题的思考启发成分。如原例题：“等差数列的第几项是？”改编为3.2，例1“是不是等差数列的项？如果是，是第几项？”再如3.3例4原是一道证明题，现将它改为：“已知数列的通项公式为，其中，是常数，且，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？”这样处理增强了问题的思考功能。 6增加了许多探究性习题新教材的习题中有意安排了一些具有探索性质的习题，让学生通过学习、总结和探究，挖掘出具有较深层次的知识，从而丰富知识内容、完善知识结构。例如习题3.4中第10题：已知是等比数列，是否成立？是否成立？是否成立？ 是否成立？这种递进式的问题结构，从特殊到一般的发现过程，能够促使学生的探索和发现不断地展开和深入，而研究的进程又是一般思维方法、规律的渗透过程，是对能力素质的训练过程。紧接着的第11题：已知a、b是互异的正数，A是a、b的等差中项，G是a、b的的等比中项，A与G有无确定的大小关系？本题与上题相比有了更强的探索性，而两题的共同特点是通过探索性问题让学生自主发现一般性的规律，与旧教材中的结论式结构相比，改变是明显的，它对教学有着更好的导向作用。再如练习3.2第3题，习题3.2第10、11小题，习题3.3第10题，练习3.4第3题等等，通过对这些练习题、习题的研究解决，实质上就可以总结出等差、等比数列的一系列相关性质。 7渗透了一些重要的数学思想方法 由于本章处在知识交汇点的地位，所蕴含的数学思想较丰富，新教材在这方面也作了充分挖掘。函数的观点新教材很注意从函数的观点去看数列，在这种整体的、动态的观点之下，加强了数列与函数的联系，明确了利用函数的图象和性质可解决数列的一系列问题，使数列的一些性质显现得更加清楚，使某些问题得到更好的解决。如复习参考题B组第2题：已知数列的通项公式为，这个数列从第几项起各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正数？数列中否存在数值与首项相同的项？方程的思想这种思想在新教材中体现得较为充分，如习题3.5 第5题、复习参考题A组第11题等一类问题一般都可通过列出方程或方程组，然后求解。递推的思想方法除了前边已经介绍的递推数列，我们还可从以下两个恒等式渗透递推的思想方法： 化归思想数列的绝大多数问题最后归结为两大问题求通项公式和求前项和。然而由于数列种类繁多，要对一般数列讨论这两个问题有一定困难，新教材保留原教材精华，着重介绍等差、等比两种最典型数列的知识，对于其它数列的问题则化归成等差、等比数列去解决。如一阶线性递推数列，可化归为公比为的等比数列。一般与特殊的思想五、教学建议1要重视“章头图”、“阅读材料”的作用新教材在本章开头，配备了“章头图”及相关的文字说明，从中提供了本章知识提出的实际背景，而正文正是从这个实际背景引入概念，提出问题，从而激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性和主动性。新教材在学习等差数列后又安排了“阅读材料”，学生通过运用所学知识对“材料”中所提供的实际问题的解决，培养他们分析问题和解决问题的能力。我们在教学中要深刻理解编写意图，做到理论联系实际，增强学数学、用数学的意识，促进学生从“知识型”向“能力型”的转变。2要有意识地复习和深化初中所学内容由于新教材课时安排较紧，教学内容基本上直线编排，对初中所学知识在高中没有系统深入复习，同时本章内容距离初中数学较近，与初中联系面广，因此，教学中应注意沟通初高中知识的联系。例如方程和方程组的知识，繁分式的化简等。3要适当加强本章内容与函数的联系由于数列与函数的联系较为紧密，因此，在本章内容的教学中，合理地联系函数知识，对正确理解有关概念和解决某些问题是很有好处的。4要加强知识类比，