数列复习教学中的重难疑热点综述.doc

数列复习教学中的重难疑热点综述210008 南京外国语学校 李平龙数列是高中数学的重点内容，是现代信息文明的基石.传统教材是将数列内容安排在高中二年级与数学归纳法进行同步教学的,教学效果较好；而现行教材不仅将数列与数学归纳法割裂,而且将数列内容提前至高中一年级的上学期进行教学,限于当时高中生的数学知识匮乏、数学能力低下，即使是相同的教学内容学习的效果也大相径庭（即将实施的高中数学新课标也改变了这一不合理的作法）.然而，高考命题并未关注到教材安排上的这一变化而改变数列在高考中的地位与难度，纵观近两年的全国卷及各省市自主命制的高考试卷，每卷必有数列解答题且半数以上的试题处在压卷题的位置.可见,数列内容复习的好坏,直接决定着未来数学高考的成败.本文将透析数列复习中的重、难、疑、热等四点，旨在揭露本质，把握规律.1 重点等差与等比数列的基础知识等差数列与等比数列是学生最先熟悉的两个基本数列，它们是一切数列问题的出发点与归宿，其产生、演变与深化的过程中蕴藏着丰富的数学思想方法，复习中应充分体现过程胜于结果的原则.11 基础知识从第二项起每一项与前一项的差是同一个常数，这是等差数列的本质，其符号语言：或则是学生逻辑思维的基础，从中虽未看到常数，但却深信“差等”的事实，不能不说是抽象符号的神奇；而由定义出发产生的等差数列的通项公式却隐藏着研究数列问题的诸多方法：归纳法、迭加法、迭乘法、迭代法，为学习一般数列提供了知识保障；等差数列前n和公式的推导过程中使用了加两次（倒加法）的思想方法，其几何特征类似于梯形的面积公式.12 基本思维横向类比思维可轻松地掌握等比数列相关知识及其产生过程中的数学方法；若能感悟出两种数列间类比的“规则”，便可从等差数列相关知识出发经大胆猜想发现等比数列可能具有的相应知识.如上海高考题: “在等差数列an中，若a10=0，则有等式a1+a2+an= a1+a2+a19-n(n19，n是正整数).类比上述性质，相应地，在等比数列bn中，若b9=0，则有等式 ”便如此.而逆向探索思维则可深化两数列的基础知识，下仅以等差数列为例说明之：从等差数列的通项公式出发逆向探索发现，若an=an+b，则数列an是等差数列；可见，等差数列就是一次函数或常函数.从前n项和公式出发探索发现, 若数列an的前n项和为Sn=an2+bn,则数列an是等差数列；若数列an的前n项和，则数列an是等差数列.前者不仅告诉我们等差数列与二次函数密切相关,而且教会我们怎样由和项去求通项；而后者则结出了处理涉及和项与通项的递推公式的一般思维方法，详见后文.13 基本方法因等差(比)数列是由首项与公差(比)确定的,故称首项与公差(比)为等差(比)数列的基本量；因此，大凡涉及等差(比)数列的数学问题,我们总希望通过等差(比)数列的基础知识并结合条件去求出首项与公差(比)、或它们间关系，从而达到解决问题之目的，这种方法就是等差（比）数列特有的基本量方法；简言之,就是用基本量去统一条件与结论而达到解决等差（比）数列相关问题的方法.例1 已知正项等比数列的公比为q，且，求使成立的正整数n的集合.分析:本题实为解关于n的不等式.用基本量去统一条件得：a1q7=1；一般地,视不等式左边为首项是a1、公比是q的等比数列的前n项和，右边为首项是、公比是的等比数列的前n项和，经讨论后可获通法指引下的繁解；若视不等式右边为首项是、公比是q的等比数列的前n项和，则繁解已被简化；而灵活应用等比数列的基础知识，可将原不等式转化为：,由此可获通法指引下的优美解: 因为,所以原不等式同解于，即.故原不等式的解集,当q1时为；当0q0,xna；当n为正奇数时，0, xna.说明:本例关键在于寻找相邻两次离散现象间的相依关系.如果你不能像本例那样直接求出递推公式，那么不妨尝试由x1去推x2，x2去推x3，进而发现一般方法与结论.3 疑点和项与通项间的递推关系涉及和项与通项间的递推关系问题，常成为学生学习的疑点或盲点.一方面,他们未能牢固掌握解决此类问题的一般的思维方式:即首先利用公式从递推式中消去或使递推式得以简化，再思考能否从简化的递推式中发现与或相关的特殊数列,甚至是走“实验观察归纳猜想证明”的探索之路；另一方面, 在应用公式对递推式进行变换的过程中，常忽视n取值范围（函数观点下的定义域）的变化，而使求解与论证失去严谨性(如前述例3).例6 已知数列的前n项和为Sn，a1=1，且对任意自然数都有成等差数列,求数列的通项公式.分析:由题意得: ,用n+1去替换式中的n,得: ；-并整理得,.又在式中令n=2得,a2=1/2,故数列是等比数列,从而.说明:本例不仅要灵活运用公式进行消元(05年江苏高考压轴题便如此),而且应密切关注消元过程中定义域的变化；否则，必酿成大错.例7 已知数列an的前n项和为sn，且. (1)设xn=（2n+1）sn，求证：数列xn为等差数列；(2)当时，求证： .证明：（1）因，故由条件知：，整理得 ，即xn+1=xn+2，故数列xn是公差为2的等差数列.(2)在中令n=1，得s1=2/3,再据（1）知，xn=3s1+2（n-1）=2n，故当时， =.说明：对第(2)小题，可证原不等式左边是关于n的递减函数，从而求出n=2时左边的最大值，并证明此值小于5/32.4 难点和型不等式的证明和型不等式是数列、函数、不等式交汇的起点，是教学的难点、高考命题的热点.复习中既不应悲观放弃,更不宜众志成城、势在必得；抓通法，随机渗透、分层推进是教学的良策.4.1 和型不等式的常见证明策略下以不等式的证明为例说明之.策略一:求和后放缩.若和型不等式易于求和,则必选择此法,此时的和型不等式一般属中档以内题.本题难以实施求和后放缩.策略二:放缩后求和.将和式中的通项ak放缩成易于求和的bk,成败与否取决于放缩是否过头.放缩的思维过程中既有一般的技巧,更有刻骨铭心的创新之举.放缩1: , .显而易见,此法放过了头.放缩2: , .放缩3: 从出发,与放缩2有异曲同工之效.策略三:构造函数法.将题中的和型不等式转化为,只需证明函数f(n)的最大值小于零便可.此法成败与否关键在于能否求出函数的最大值.据f(n+1)-f(n)0知,f(n)max=f(1)=0,故原不等式为真.策略四:构造数列法. 以S(n)=为前n项和构造数列cn,要证原不等式,只需证.易证此不等式成立,此处从略.策略五:数学归纳法.凡与正整数相关的命题均可考虑用此法，它适合本例，此处从略.以上诸策略是彼此联系,如放缩法常蕴藏在其它策略之中.对和型不等式而言,我们虽然有思维方法,但是面对具体问题并无定法；像上述案例那样能进行发散思考并具备多种证法的题材在应试中并不多见；那么，在应试中面对和型不等式该如何抉择?这完全靠应试者的经验与能力,乃至对问题感悟的深切程度.4.2 递推关系下的和型不等式此类问题已将和型不等式推向了极致.多数情况下我们并不能求出递推公式下的通项公式,需要在对递推关系的变形中寻找可能用得上的不等关系,这便依赖于精妙的放缩.例8 已知数列an中,a1=a（，对一切.（1）求证:且；（2）证明:；（3）若存在不小于2正整数k，使，求证：.证明(1)，.若存在，则，由此可推出，此与矛盾，故。，.说明:可用数