10力学前四章习题课 [兼容模式].pdf

1 Qiu HongmeiQiu Hongmei 一 位移 速度 加速度一 位移 速度 加速度 dt rd v 2 2 dt rd dt vd a 二 圆周运动二 圆周运动 dv a dt 2 2 n v aRnn R 第一部分 质点运动学第一部分 质点运动学 三 相对运动三 相对运动uvv 0 aaa 运动学中的两类问题 运动学中的两类问题 1 已知运动方程 求轨迹方程 已知运动方程 求轨迹方程 消消t 速度及加速度 速度及加速度 求导求导 微分法微分法 2 已知加速度及初始条件 求运动方程 轨迹方程 已知加速度及初始条件 求运动方程 轨迹方程 ta 积分法积分法 Qiu Hongmei 在与速率成正比的阻力的影响下 一个质点具有加速 度 在与速率成正比的阻力的影响下 一个质点具有加速 度a 其大小为 其大小为 0 2v 求需多长时间才能使速率减少到原 来速率的一半 求需多长时间才能使速率减少到原 来速率的一半 0 2 dv av dt 2 0 0 2 v t v dv dt v 解 解 0 2 dv dt v 5ln23 47ts 难点难点 微积分的应用微积分的应用 Qiu Hongmei 解 解 1 由速度可得到加速度由速度可得到加速度 xkv dvdv dxdv av dtdx dtdx 2 2 1 2 kv x k 据牛顿定律 所受合力为 据牛顿定律 所受合力为 2 2 mk Fma 质量为质点沿轴正向运动 该质点通过坐标为 时的速度为 质量为质点沿轴正向运动 该质点通过坐标为 时的速度为 1 求这时它所受到的合力 求这时它所受到的合力 mx 0 x 2 该质点从处运动到处所经历的时间该质点从处运动到处所经历的时间 1 xx 2 xx 0 kxk 2 由由xk dt dx v 得 得 2 1 2 1 t t x x dtk x dx 于是所求时间为 于是所求时间为 1212 2 xx k ttt 难点难点 微积分的应用微积分的应用 Qiu Hongmei 质点质量为质点质量为m 初速度为 初速度为 0 v 在力 在力 vkF 的作用下作直线减速运动 经历一段时间后停止 在这段时间内质点运动的距离为 的作用下作直线减速运动 经历一段时间后停止 在这段时间内质点运动的距离为 0 2 v k m B 2 0 2 v k m C 0 v k m D 无法计算 无法计算 A C FAQ 辅导辅导P51 填空题填空题6 Qiu Hongmei 测试题测试题 一质点沿一质点沿x轴运动 其加速度轴运动 其加速度a与位置坐标与位置坐标x的关 系为 的关 系为a 2 6 x2 SI 如果质点在原点处的速度为零 则该质点在任意位置处的速度可表示为 如果质点在原点处的速度为零 则该质点在任意位置处的速度可表示为 x 3 2 xx 2 Qiu Hongmei 一 牛顿第二定律一 牛顿第二定律 dpd mv F dtdt 二 非惯性系 惯性力二 非惯性系 惯性力 在平动加速参考系中在平动加速参考系中 0i Fma 在转动参考系中在转动参考系中 2 i Fmr 第二部分 牛顿定律第二部分 牛顿定律 FF ma 惯真实力 Qiu Hongmei 一升降机内有一倾角为的固定光滑斜面 当升降机以匀 加速度上升时 质量为的物体沿斜面滑下 试 一升降机内有一倾角为的固定光滑斜面 当升降机以匀 加速度上升时 质量为的物体沿斜面滑下 试以升降机为 参照系 以升降机为 参照系 求对地面的加速度 求对地面的加速度 0 a m A A 0 a A a N mg 0 ma x y O x y O x cossinamN y sincos 0 ammamgN 解解 以升降机为参照系 非慣性系 以升降机为参照系 非慣性系 解得解得 sin 0 aga 受力分析 建立坐标系受力分析 建立坐标系 0 sinaaay 22 0 sincosga 由加速度变换式由加速度变换式 0 aaa cosaax cossin 0 ag 难点难点 非惯性系中的惯性力非惯性系中的惯性力 Qiu Hongmei FAQ辅导辅导P49 9 如图所示 一倾角为的斜面放置在光滑桌面 上 斜面上放一木块 两者间的摩擦系数为 为使木块相对斜面静止 则木块的加速度 如图所示 一倾角为的斜面放置在光滑桌面 上 斜面上放一木块 两者间的摩擦系数为 为使木块相对斜面静止 则木块的加速度a必须满 足 必须满 足 A B C D tg g tg tg a 1 g tg tg a 1 g tg tg ag tg tg 11 g tg tg ag tg tg 11 a N mg ma f f Qiu Hongmei 图示情况 设图示情况 设M m 当去掉支撑物后 当去掉支撑物后 m相 对于 相 对于M做什么运动 设初始时刻摆球不再最高点 做什么运动 设初始时刻摆球不再最高点 在在M参考系中观察参考系中观察 O m v mg mg T 匀速率圆周运动匀速率圆周运动 光滑轨道光滑轨道 m v M g O 光滑轨道光滑轨道 m v 支撑物支撑物 M O FAQ辅导辅导P49 10 Qiu Hongmei a m k a k m2 a m k 1 2 a m k 在以加速度在以加速度a向上运动的电梯内 挂着一根劲度系 数为 向上运动的电梯内 挂着一根劲度系 数为k 质量不计的弹簧 弹簧下面挂着一质量为 质量不计的弹簧 弹簧下面挂着一质量为m的 物体 物体相对于电梯的速度为零 当电梯的加速度 突然变为零后 电梯内的观测者看到物体的最大速度 为 的 物体 物体相对于电梯的速度为零 当电梯的加速度 突然变为零后 电梯内的观测者看到物体的最大速度 为 A FAQ辅导辅导P49 11 Qiu Hongmei o x 0 2 1 2 1 0 22 max klmv l m k v max k ma m k a k m mg kx 0 2 1 2 1 2 1 22 max 2 lxmglxkmvmgxkx mglklkxlmv 22 max 2 1 2 1 FAQ辅导辅导P49 11 l ma mg k x l a 3 Qiu Hongmei 一 动量定理一 动量定理 dIFdtdP 2 1 21 t t IFdtPP 二 动量守恒定律二 动量守恒定律 P 合外力为零时常矢量 四 角动量定理四 角动量定理 dLd rp MrF dtdt 五 角动量守恒定律五 角动量守恒定律0ML 常矢量 第三部分 动力学基本定理第三部分 动力学基本定理 三 质心及质心运动定理 三 质心及质心运动定理 c FMa m rm r ii c iic i PmM dt Ld M C C 系 力 系 力 六 质心系角动量定理六 质心系角动量定理 Qiu Hongmei 难点难点 部分物理量的矢量性部分物理量的矢量性 辅导辅导P51 题 题8 如图所示 一质点作半径为 如图所示 一质点作半径为r 半锥角为 半锥角为 的圆锥摆运动 其质量为的圆锥摆运动 其质量为m 速率为 速率为v 当质点由 当质点由a到到b绕行半周时 作用在质点上的重力的 冲量大小为 方向 张力 绕行半周时 作用在质点上的重力的 冲量大小为 方向 张力f的冲的冲 量大小 与量大小 与x轴的夹角为 轴的夹角为 a b x m G f ra F P I M L Qiu Hongmei FAQ书书P108 3 22 我国我国1988年年12月发射的通信卫星在到达同步轨道之前 先要在一个大的椭圆形 转移轨道 上运行若干圈 此椭圆轨道的近地点高度为 月发射的通信卫星在到达同步轨道之前 先要在一个大的椭圆形 转移轨道 上运行若干圈 此椭圆轨道的近地点高度为205 5km 远地点高度为 远地点高度为 35835 7km 卫星越过近地点的速率为 卫星越过近地点的速率为10 2km s 1 求卫星越过远地点的速率 求卫星越过远地点的速率 2 求卫星在此轨道上 运行的周期 提示 用椭圆的面积公式 求卫星在此轨道上 运行的周期 提示 用椭圆的面积公式 p h p r P p v O A h A r E R A A v Qiu Hongmei p h p r P p v O A h A r E R A A v FAQ书书P108 3 22 2 椭圆面积 椭圆面积 205 5 35835 7 10 2 6378 PA PE hkm hkm vkm s Rkm 637835835 7 10 2 6378205 5 1 59 p EP APP AEA r Rh vvv rRh km s 2 APAP Srrr r 1 2 PP dS v r dt 面积速度面积速度 3805710 6 APA P APA p PPP rrr rrrrS T dS dtv rvr sh 卫星的运行周期卫星的运行周期 Qiu Hongmei 一质量为的质点沿着一条空间曲线运动 一质量为的质点沿着一条空间曲线运动 m 的定义式为该曲线在直角坐标系下 的定义式为该曲线在直角坐标系下 j tbi tar sincos 皆为常数皆为常数 其中其中 ba M 的力矩则此质点所受的对原点 的力矩则此质点所受的对原点 L 该质点对原点的角动量该质点对原点的角动量 解 dt rd v dt vd a j tbi ta cossin j tbi ta sincos 22 j tbi tam sincos j tbi ta sincos 22 m 0 amrFrM k ttab cossin 2 k ttab cossin 2 vmrL kabm j tbi ta sincos j tbmi tam cossin 测试题测试题 Qiu Hongmei 二 动能定理二 动能定理 kp dEd EEdAdA 外耗内 第四部分 功和能第四部分 功和能 p dEdA 二 保守力做功 三 由势能函数求保守力 四 功能原理及机械能守恒定律 二 保守力做功 三 由势能函数求保守力 四 功能原理及机械能守恒定律 l E F p l KBKA AAEE 外内 int KKCK EEE 质点系的动能质点系的动能 2 2 2 1 2 1 iic mm 势能零点 a a rdFE p EF 保守保守 一 变力曲线运动的功一 变力曲线运动的功 BB AB AA AdAF dr 2 1 2 pvghConst 五 伯努利方程五 伯努利方程 4 Qiu Hongmei 动量守恒 动量守恒 难点难点 守恒条件的判断守恒条件的判断 角动量守恒 机械能守恒 角动量守恒 机械能守恒 0F 外外 0M 外外 0 0AA 外内非外内非 Qiu Hongmei 一力学系统由两个质点组成 它们之间只有 引力作用 若两质点所受外力的矢量和为零 则此系统中守恒 考虑系统的动量 一力学系统由两个质点组成 它们之间只有 引力作用 若两质点所受外力的矢量和为零 则此系统中守恒 考虑系统的动量 动能 机械能和角动量 动量 动能 机械能和角动量 动量 难点难点 守恒条件的判断守恒条件的判断 Qiu Hongmei u m 解 以车厢为参考系 机械能守恒小球与地球系统机械能守恒小球与地球系统 cos1 mgl cos12 glv 是小球相对车厢的速度 v 小球第一次到达最低位置时 相对于地面的速率为 小球第一次到达最低位置时 相对于地面的速率为 ugluvv cos12 2 2 1 v m 如图所示 车厢在水平轨道上以恒定的速度如图所示 车厢在水平轨道上以恒定的速度u向右行驶 车 厢内有一摆线长为 向右行驶 车 厢内有一摆线长为l 小球质量为 小球质量为m的单摆 开始时摆线与竖直方 向夹角为 的单摆 开始时摆线与竖直方 向夹角为 摆球在图示位置相对车厢静止 而后自由摆下 那 么摆球第一次到达最低位置时相对地面的速率为 相 摆球在图示位置相对车厢静止 而后自由摆下 那 么摆球第一次到达最低位置时相对地面的速率为 相 对于地面 在这一下摆过程中摆线对小球所作总功为 对于地面 在这一下摆过程中摆线对小球所作总功为 难点难点 守恒条件的判断守恒条件的判断 Qiu Hongmei 以地面为参考系 对系统 小球与地球 应用功能原理 则 摆线对小球作的总功为 以地面为参考系 对系统 小球与地球 应用功能原理 则 摆线对小球作的总功为 A cos12 glmu cos1 2 1 2 1 22 mglmumv 注意 注意 动量 能量 功均与参照系有关 动量 能量 功均与参照系有关 u m 难点难点 守恒条件的判断守恒条件的判断 Qiu Hongmei 如图所示 在水平光滑平面上有一轻质弹簧 一端固定 另一端系一质量为 如图所示 在水平光滑平面上有一轻质弹簧 一端固定 另一端系一质量为m的小球 弹簧劲度系数为的小球 弹簧劲度系数为k 最初静止于 其自然长度 最初静止于 其自然长度l0 今有一质量为 今有一质量为m1的子弹沿水平方向垂直于弹簧 轴线以速度 的子弹沿水平方向垂直于弹簧 轴线以速度v0射中小球而不复出 求此后当弹簧长度为射中小球而不复出 求此后当弹簧长度为l时 小球速度 时 小球速度v的大小和它的方向与弹簧轴线的夹角的大小和它的方向与弹簧轴线的夹角 m v v0 O l0 l m1 解 子弹以速度解 子弹以速度v0射入小球 的过程中 二者动量守恒 获得共同速度 射入小球 的过程中 二者动量守恒 获得共同速度 0101 vmmvm mm vm v 1 01 0 方向仍与弹 簧轴线垂直 此后含有子弹的小球受的弹力总指向 方向仍与弹 簧轴线垂直 此后含有子弹的小球受的弹力总指向O点 对点 对O 点角动量守恒点角动量守恒 sin 1001 lvm