2014届钻石卡学员I阶段线性代数巩固练习题.pdf

2014 届钻石卡学员 I 阶段巩固练习题 专供学习计划使用 线性代数 2014 届钻石卡学员 I 阶段巩固练习题 专供学习计划使用 线性代数 万学海文教学与研究中心 万学海文教学与研究中心 2014 届钻石卡学员 I 阶段线性代数巩固练习题 针对性教学 一切以提高学生学习成绩为宗旨 1 2014 届钻石卡学员 I 阶段 线性代数巩固练习题 1 计算行列式 221 411 202199101 2 计算行列式 1 2 3 xx xx xx 3 计算行列式 0004 0043 0432 4321 4 计算行列式 00010 00200 08000 90000 000010 5 计算行列式 1234 2341 3412 4123 6 计算行列式 12345 678910 00013 00024 01011 2014 届钻石卡学员 I 阶段线性代数巩固练习题 针对性教学 一切以提高学生学习成绩为宗旨 2 7 计算行列式 00112 00302 00240 12401 31258 8 证明 11111 22222 33333 ab xa xbc ab xa xbc ab xa xbc 1111 2 2222 3333 1 ab xbc xab xbc ab xbc 9 证明 1111 1111 1111 1111 x x y y 22 x y 10 计算行列式 12222 22222 22322 22212 2222 n n 11 解方程组 134 1234 123 1234 5423 21 421 0 xxx xxxx xxx xxxx 12 解方程组 2345 1345 1245 1235 1234 1 2 3 4 5 xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx 13 问 齐次线性方程组 1234 1234 1234 1234 0 20 30 0 xxxax xxxx xxxx xxaxbx 有非零解时 a b必须满足什么条件 2014 届钻石卡学员 I 阶段线性代数巩固练习题 针对性教学 一切以提高学生学习成绩为宗旨 3 14 设 311111 212 210 123101 AB 求 ABBA 15 计算 11121 21222 12 12 n n n nnnn aaa aaa y yy aaa 16 计算 11121 21222 12 1 1 0 0 n n nnnn aaa aaa aaa 17 计算 11121 21222 12 1 2 0 0 n n nnnn aaa aaa aaa 18 用分块矩阵的乘法 计算下列矩阵的乘积 1 13000 28000 00101 00232 00311 A 13000 28000 10101 01232 23311 B 求AB 2 1010010100 0210002000 3100000300 0002000013 0000200042 AB 求AB 19 设 0 0 B A C 其中B是n阶可逆矩阵 C是m阶可逆矩阵 证明A可逆 并求 1 A 20 用矩阵分块的方法 证明下列矩阵可逆 并求其逆矩阵 2014 届钻石卡学员 I 阶段线性代数巩固练习题 针对性教学 一切以提高学生学习成绩为宗旨 4 1 12000 25000 00300 00010 00001 2 1 2 1 000 000 000 000 n n a a a a 21 用初等变换法求逆矩阵 122 212 221 22 用初等变换法求逆矩阵 1234 2312 1111 1026 23 求逆矩阵 1000 1100 1110 1111 24 解矩阵方程 1235 3459 X 25 解矩阵方程 123130 3241027 2101078 X 26 求矩阵 12345 00123 00004 00121 的秩 并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式 27 求矩阵 11210 22420 30611 03001 的秩 并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式 2014 届钻石卡学员 I 阶段线性代数巩固练习题 针对性教学 一切以提高学生学习成绩为宗旨 5 28 求矩阵 32132 21313 45561 的秩 并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式 29 求矩阵 1100 2110 0211 0021 的秩 并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式 30 将向量 表示成 1234 的线性组合 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 31 将向量 表示成 1234 的线性组合 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 2 1 3 1 3 1 1 0 0 4 0 1 1 1 32 论述每个向量 12 n 线性相关和线性无关的条件 33 证明 若 12 线性无关 则 1212 也线性无关 34 证明 122331 线性无关的充要条件是 123 线性无关 35 下列命题 或说法 是否正确 如正确 证明之 如不正确 举反例 1 12 2 m m 线性无关的充要条件是任意两个向量线性无关 2 12 2 m m 线性相关的充要条件是有1 m个向量线性相关 3 若 12 线性相关 12 线性相关 则有不全为零的数 1 k和 2 k 使 1122 0 kk 且 1122 0 kk 从而使 111222 0 kk 故 11 22 线性相关 4 若 123 线性无关 则 122331 线性无关 5 若 1234 线性无关 则 12233441 线性无关 2014 届钻石卡学员 I 阶段线性代数巩固练习题 针对性教学 一切以提高学生学习成绩为宗旨 6 6 若 12 n 线性相关 则 122311 nnn 线性相关 36 求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组 并将其余向量用极大无关组线性表示 1 1 6 4 1 9 2 2 1 0 2 3 4 3 1 4 9 6 22 4 7 1 0 1 3 2 1 1 1 2 4 2 0 3 1 2 3 3 0 7 14 4 2 1 5 6 5 1 1 2 0 3 1 1 1 1 2 1 1 0 3 1 0 0 4 1 2 3 37 设 向 量 组 1 1 1 2 4 2 0 3 1 2 3 3 0 7 14 4 1 1 2 0 5 2 1 5 6 1 证明 12 线性无关 2 求向量组包含 12 的极大线性无关组 38 已经 1 2 1 1 2 3 1 1 1 1 2 2 1 求 的长度及 2 求与 都正交的所以向量 39 用施密特正交化方法 由下列向量组分别构造一组标准正交向量组 1 1 2 2 1 1 1 5 3 3 2 8 7 2 1 1 1 2 5 8 2 3 3 9 3 8 40 证明 若A是正交矩阵 则A的伴随矩阵 A也是正交矩阵 41 证明 若A是正交矩阵 则 i A的行列式等于 1 或者 1 ii 1 T AA 42 求下列矩阵的特征值和特征向量 1 452 221 111 2 220 212 020 2014 届钻石卡学员 I 阶段线性代数巩固练习题 针对性教学 一切以提高学生学习成绩为宗旨 7 43 已知矩阵 741 471 44 A x 的特征值 1 3 二重 2 12 求x的值 并求其特征向量 44 设 12 x x是矩阵A不同特征值的特征向量 证明 12 xx 不是A的一个特征向量 45 设A可逆 讨论A与 A的特征值 特征向量 之间的相互关系 46 已知 10 02 A 求det AI 47 已知 1 2110 3202 PP AP 求 n A 48 设 1 BP AP x是矩阵A属于特征值 0 的特征向量 证明 1 P x 是矩阵B的对应其特征 值 0 的一个特征向量 49 设三阶实矩阵A有二重特征值 1 如果 1 1 0 1 T x 2 1 0 1 T x 3 1 1 0 T x 4 0 1 1 Tx 都是对应于 1 的特征向量 问A可否对角化 50 对下列实对称矩阵A 求正交矩阵T和对角矩阵 使 1 TAT 1 130 341 011 2 0041 0014 4100 1400 3 1333 3133 3313 3331 51 用正交变换xQy 将下面的二次型化为标准形 并求正交矩阵Q 2222 123412142334 2222fxxxxx xx xx xx x 52 已 知 222 12312323 2332f x x xxxxax x 通 过 正 交 变 换xQy 可 化 为 标 准 形 222 123 25fyyy 试求参数a及正交矩阵Q 2014 届钻石卡学员 I 阶段线性代数巩固练习题 针对性教学 一切以提高学生学习成绩为宗旨 8 53 设 42000 21000 00500 00046 00061 A 求正交矩阵Q 使得 T Q AQ为对角矩阵 54 用配方法将二次型 222 12312233 1 2