令人惊奇的附物环运动的理论分析.docx

令人惊奇的各种附物环的运动摘要附物环的主题,和他们跳跃的能力在某些情况下,在本世纪初获得了一些人的关注,尤其是Tokieda,Pritchett 和Theron. 本文重点是扩展的分析运动前箍的状态,包括那些箍不跳的情况。 基于经典力学模型下加载环的数值模拟的结果。结果表明,该运动包括各种各样的滚动和滑动交替,其中一些可能不存在。包含三十六个可能的序列的列表。提出了相图来说明各种滑动和滚动阶段之间的关系,以及他们是如何依赖于偏心,摩擦系数和初始角速度。1. 引言在本文中对一个附物环的二维动态行为进行了研究，这是指一个刚性箍和一个重粒子被固定在轮辋上。一个装载无质量箍滚动而不滑脱在水平面上的假想问题已经被用于很多年，作为刚体的平面运动一类有趣的室内的问题，并首先由JE的Littlewood 1953年在“数学家的杂志“上发表。Tokieda也提出相同的问题，其分析是基于运动的几何方面来考虑。Littlewood和Tokieda断定箍会从静止开始的粒子在其摆线路径的最高点之后，通过90轧制后跳。随后论文Butler Theron与du Plessis考虑的无质量箍能否跳与否的问题。附物环，并认为是刚性的运动，Pritchett , Theron 和 Liu也提出了一些侧重于跳跃的问题。Tokieda观测了由Fred阿尔姆格伦报告的实验，其中呼拉圈中装入一个电池和跳频通过的Littlewood，即箍离开时的半径到粒子是大致水平地预测和粒子被向下移动。 Pritchett也显示了同样的现象，其中一个塑料呼拉圈装有黄铜棒频闪照片。Theron的文章中提出的弹性箍是第一个开发一个模型，通过采取箍的弹性考虑，给出了上述现象的合理解释。本文的跳频现象被搁置而本文强调的是，在调查箍轧制的各种序列，因为它在垂直平面中移动滑移执行。在将箍确实跳的情况下，只分析到跳的条件，并没有进一步进行分析。为了进一步限制分析的范围，只对单个的箍的运动进行了研究。在这些情况下，在初始角速度太小，以确保一个完整旋转，当箍达到零角速度分析被终止，即使它可能仍然在该阶段被滑动前进。这些结果代表一个纯粹的学术活动基于数学模型的摩擦系数恒定值设置非常精确;我们不建议在实践中所有的动作都能复制。2. 附物环的数学模型2.1几何学与运动学图1中表示加载箍（或轮）和半径r轧制在水平轨道。箍装入在轮辋上的点P的粒子。点O是箍的中心，和点C是箍与轨道之间的接触点。环箍的位置由角位移来决定的，顺时针方向转动。初始位置被作为位置当颗粒是在顶部。分析被限制为。让表示箍的质量，为粒子质量，总质量满足 。质量中心是在点G在从点O的径向距离，其中该偏心率为 (1)为随后的分析假设一种情况，当，即，这是用来说明许多本文的数值结果的。环箍近似为刚性的金属丝，使围绕中心O转动惯量是。的装箍的惯性矩点左右O和因此G为； (2)运动学被定义在一个直角坐标系中的坐标轴平行和垂直于轨道所表示的单位矢量i和j，其原点在初始位置上的环与地面的接触点。其中t代表时间，的坐标是和重心的中心的坐标是。对于给T分化是由一个点表示，例如，g为重力加速度。在与表面接触的一个刚性箍具有两个自由度，这是在此为X和。然后引入x(t)和y(t)的限制条件：, (3)箍的基本运动是滚动，其特征在于，所述接触点C的制约因素是暂时静止的；即 (4)我们假设运动在由定义的初始位置为，。以确保从一开始滚动。所做的运动是无量纲的速度和加速度如下：； (5)2.2动力学该问题如在图1中所示的三个力方面的定义，即重量，支持力N，并且横向摩擦力F.牛顿第二定律确定了力和加速度之间的关系。在水平方向上，对（3）取微分 与（5）可得到 （6）垂直方向上或者 （7）以环中心做顺时针运动。区域划分且使用（2）和（5）可得 （8）由摩擦力最大值放置上的力的约束条件，由表示摩擦系数，根据库仑定律指出 （9）该系统的总能量是势和动能的总和，并且由下式给出附物环是滚动的，联立（2）（4）（5）可得 （10）2.3滚动如前所述，选择的初始条件，以便确保滚动运动开始。获得用于滚动运动参数的简单的方法是等同的能量的总能量运动。使用（10），并表示该点处滚动开始作为和， （11）注意，对于第一滚动阶段，；为随后的滚动阶段就是滑动端部的位置。从（4）及（5），；将公式带入（6）和（7）（8）中有 （12）反作用力现在可以通过（6）和（7）来计算。代入（12）在（6）中，与F简化可以得到 （12）这显然意味着，对于，而，反之亦然;还初始值。此外，从（7）得出的初始值是。定义临界初始速度，如这意味着，对于在初始正常反应为正，初始角速度必须小于这个临界值。因此，如果箍会立即跳跃。从滚动打滑的过渡发生在点，除非在确定位置的情况下之后到达。2.4旋转和打滑假定箍直到角位移是，打滑时且。滑动运动的初始条件是由和确定。的两种可能的摩擦力的方向需要被分开考虑。同样若，环旋转，如果摩擦力为负则运动为打滑，与这两种情况用一组方程由滑移引入滑移系数S，其中处理后得。使用（3）和（7），转矩的公式（8）联立化简得到 （15）可以指出的是，（5）意味着，这可以写为一阶微分方程 （16）在（16）没有找到的解析解，并且该方程与初始条件数值积分，使用四阶龙格库塔法。随着在一个特定的位置C众所周知，是从（15）计算。正常反应N从（7）得到的，并且F从库仑law.Eq.得到的摩擦力（6）现在用于计算的值，并且由数值积分获得的。通过此解决方案中所述的滑动运动将改变为滚动时。如果这不发生，运动在位置的停止。2.5最终状态交替滚动和滑动相的序列的分析与由表示的位置的连接最终条件结束；最终条件是，这意味着一个完整的运动已经完成；或，即常规的反应变为零，即箍停止开始向后，立即旋转。注意，并不意味着是也为零。3. 数值结果箍的行为取决于偏心，摩擦系数和定义初始速度为值。在此计算结果与以下几部分进行通过实施由第2.3-2.5所蕴含的算法得到，用MATLAB10的ODE45函数的数值积分。3.1一个典型的例子本节中的一个典型例子的结果被给出。采取粒子质量的箍质量三倍，使得，连同和的初始速度，如图2所示。中的实曲线。图2（a）示出F / N比值为的函数，其中F和N为2.3和2.4节中描述的计算。该图提供了运动的一个非常明确的说明。第一个最大值小于的摩擦系数，其值由水平虚线指示。因此，滚筒铁环的位置，其中并开始滑移。接着是滑动阶段，其中和一个音响最终滚动阶段一路顶端，其中该分析到结束。图2（b）示出了支持力和摩擦力的曲线图，归一相对于所述重量。支持力，绘制用于标定值，和滑动的区域，其中因此清晰可辨。正常反应基本上与在最大值对称;的摩擦力基本上斜对称与在，。正常反应显然还是在该图的顶端，因此跳频在这种情况下不会发生。运动的量的曲线图显示在图2（c），如标记的角速度被示为实线，起始速度，O作为曲线原点；在图形实际上是相同的，虽然这些值做短滑移期间略有不同和滑动阶段当和分别。这是通过展示的区别，通过放大十倍的点划曲线显示更清晰。该图还示出了角速度仍然是积极的，当粒子到达顶部。角加速度的曲线基本上是斜对称，为正而和颗粒向下移动，因而提供围绕接触点的正扭矩，并成为负当和粒子移动 向上。角速度显然在，角加速度变化从正到负，达到最大值。3.2滚动曲线在图2（a）的附加虚曲线示出了比为轧制；也就是，将如果箍尚未开始打滑曲线;该曲线将被称为滚动曲线。滚动曲线显然是具有独立的摩擦系数，这是理解许多箍的行为等方面的基础。滚动曲线是从（13）和（7）中被分析的形式提供。这里所示的所有结果通过直接数值计算被然而得到，用（7）和（11）至（13）。如清楚地看到图图2（a）中，滚动曲线具有四个极值。如清楚地看到图图2（a）中，滚动曲线具有四个极值；只要这些极端值保持水平带内和，箍将滚动到。只有在滚动曲线离开这个水平带才发生打滑。四极值是成对出现的，与第一个最大和第二最小是相同的幅度，所以也中间两个极值。我们第二区以便稍后分类阳离子区的前两个极值为摩擦系数的临界值，如下有用： ； （17）该标识是指轻，重粒子分别对摩擦力;的影响将在稍后讨论。示于图不同的初始速度的影响。 图3保持，可以看出，增加导致的降低和增加。有了这个偏心，。实际上为零（使用），由水平虚线所示。另外显示的是在图2（a）中，由曲线所示标记的0.5，及曲线标记在0.7和1.对于，在，它可以表明。示于图3（b）降低偏心的影响。这种情况下。对于这个偏心率有三种可能性：（1） 初始速度小，例如；（2） ，；（3） ，例如0.7和1。曲线再次表明，这可以从（13）得出。在图2图表一个显着特点，在滑动运动变回滚动点在力的不连续性和角加速度。这类似于大小的在F和的不连续性时发现一个同心箍滑动。随着加载箍的F / N曲线降回下一个滚动阶段的滚动曲线后开始轧制，并且不连续的幅值几乎可以从零到2有所不同。在任何滑动阶段有能量的损失;因此打滑阶段之后的滚动曲线是前一次略有不同。但是，两个滚动曲线之间的差在此例在刻度相区分被使用。3.3运动的各个阶段在图2所示的例子中。它到达顶部，也就是滚抗滑滚动环区分的五个阶段前2个。这些阶段从滚动曲线如图事实产生。图2（a）在两个位置超过水平带-和+之间，造成了滑移和纺丝阶段。除了这两个滑动相由三个滚动阶段穿插。由此可以看出，最完整的相序列由九个阶段的滚抗滑滚动附物圆环，发生当滚动曲线附近超过-和+之间的域其极值的所有四个。为了方便区分下面运动，定义一些标签，R轧辊；S代表自旋和D防滑。这些符号将被用作在需要的地方，显示不存在一个特定的相位的占位。该网络最终条件被标记为：Z零角速度；T代表登顶，和H。空间中的网络连接最终标签从休息分离。用这种标签制度，上面的例子中被标记RDRSR- T，这意味着该最终打滑和侧倾消失。另一例子为RS-DRS-D-Z，这意味着有三个滚动阶段被错过，并且分析所述粒子已达到顶端之前具有零角速度结束。在*代表一个“外卡”，并指出任何相序或网络连接的最终状态。注意，当F / N-图中的不连续性被限制为2和自旋的变化而没有中间滚动阶段打滑序列* S-D*发生在旋转阶段结束。类似的情况被发现从防滑到旋转瞬间的变化，标有* D-S*。4. 相图数值试验表明，相组合的一个惊人的数字是可能的。为了理解这一品种的全部范围，我们利用两种类型的相图的。4.1在空间相图首先，在空间相图可以得出，每个用于一个固定的参数对。这六个示于图4;注意，第一个四个是用于与减小摩擦力相同偏心。各图是通过计算为一系列值的数值解获得。对于每一个解决方案，其中的相变记录的值，并且这些点被标绘在面。因此，单个运动的点位于上纵坐标一条水平线。它变得清晰，这些点描述域的边界在面为每个可能的阶段。除了散布滚动阶段中，有四个滑动阶段，即第一个旋转阶段，第一个阶段滑移，二旋转阶段，第二阶段滑移。其中旋转时域被标记分别和，并且图形为浅灰色，并且其中滑移发生域分别标为和，并且图形为暗灰色。其中，滚动出现的域名是未标记和FI对角线填充图案。相位和形成一对和上升为驼峰形状从具有降低图的底部。其极大值具有相同的值（例如图4的（b），除非在其中最大本来的点由较早阶段遮蔽那些情况下（例如图4（a）。同样和形成一对从顶部以降低下拉及其最小值具有相同的值（例如图4（a）的时除外遮挡由较早阶段防止了这种（例如图4（D）。这也是有用以显示运动的最终条件。点在面的右边界，即形式的曲线。零线标记为Z，为值较低;顶线，这是在垂直线;与合曲线，标有H，为的更高值。从（14）得出运动的结构域在顶部为界由水平线。在每个图中的图案为的特定值可以通过从左至右以及没有通过此线通过域以下的水平线而获得。例如，在3.1节所描述的情况在图中指示。图4（a），壳体（3），通过以= 0.5的水平线;标签DRESS- T的容易识别。在两个隆起重叠对应于其中的不连续性需要的情况下的区域被限制为，从而避免中间轧制阶段。例（13） - 图（20）。 4（d）所有说明这种现象。总共二十阶段的五个不同的图案显示在图六图。4（d）是在十个不同的模式，其中只有八个新的显示显着，被发现为这一个对。图4（e）和4（f）是用于较小的偏心率，并显示新图案。在这些情况下，总有在上下隆起之间有明显的间隙。4.2在空间相图第二次性能类型相图，提供了各种可能的相位的一个更新图，如图5所示。在这里，空间为的一个固定值时，表示在特定的滑动阶段发生，但对于抑制滚动阶段的信息和为每个特定阶段的时间间隔的域。为了避免图混乱，决定只包括阶段和，以及在那里跳和零发生域，在图图5（a） - （c）所示。 图。图5（d）是图左下角的放大图。 5（b）中，示出所有四个滑动阶段。图5是由数值计算的最大值S1的以及最小D1的，既作为用于的一个固定值的函数产生的。跳跃曲线的最小和最大的零曲线进行类似数值计算。该域重叠在相图中显着，以允许认可不同领域的重叠。所有在该图中存在于任何坐标域表示滑动阶段，这是主要的，以及将要遇到的的阶段的最终条件。在和结构域的边界一致正好与和作为由（17）定义的曲线，并表明有精确三种可能的情况下在相第一个变化。第一个可能性是，在这种情况下，第一个滚动相位变化到旋转。这是反映到相图4（b）至图4（d），例（6），（7），（9）至（20），该撞驼峰，并标示为RS*。这种类型的运动是划为轻摩。接下来可能是，即最大值和最小值在滚动曲线落在频带内，使得箍通过充分滚动。这项是划为重的摩擦力。在图图4（a），这是反映到所有隆起线，壳体（4）;这种类型的运动也被认为在带图的上部和下部隆起之间。 4（e）和4（f）所示。由于滚动曲线的对称性，示于图的唯一的另一种可能性。图2（a），即。在这种情况下，箍停止滚动，并开始滑移时这是反映到，例如，相图图4（a）为例（1） - （3），其击中D1驼峰第一个。这是划为中等摩擦和标RD*。*图5（a） - （c）示出增加的偏心的影响。除其他外，重摩擦力的区域急剧减小为偏心的增加，与相应的，但较小，增加亮的摩擦区域。注意立即上方和点的图48的右方（0.25,0.5）培养基摩擦力的小的子区域。图5（d）。这包括，和的区域，在该区错过但区域被击中这是不寻常。可以显示在这个区域点的全模式RDRS-DR T.这不是在任何图相图4的发现,并且被列为nr.3在表1中。5. 可能还存在异议的地方表1包含了三十六个可能的动作的列表，这包括在图二十五中显示的4个模式以及其他参数的十一个更多的发现。只有一个值，为每一个运动的的的的的的和，清楚地有更多的是可能的。在每一种情况下，给出了相应的初始速度范围内，以最低的和最高的价值栏所示6。列7指图4中的相图重模式，中型和轻型摩擦单独列出，并冠以型高频、中频和低频分别。介质和光的摩擦图案按数量的缺相