线性代数与解析几何（一）考试复习资料.doc

答 疑 题 库线性代数与解析几何（一）1、计算n 阶行列式分析 由定义知，n阶行列式共有n!项，每一项的一般形式为若某一项n阶元素的乘积中有零因子，则该项为零，由于本 行列式中零元素较多，因而为零的项就较多，故只须找出那些不为零的项就可求得该行列式的值。解 所给行列式中，第一行元素除了（即）以外其余都为零，而第二行元素中除了（即）以外其余都为零，继续分析第三行、第四行第n行，可知在n!项中只一项不为零，且它的列标排列2 3n 1的逆序数为n1，于是2、计算n阶行列式解 当时，当时，当时，综上可得注 （1）由该例可见，对一般的n阶列式，其值可能随价数n的改变而变化，应注意讨论。3、计算解 显而易见，当，即时，中第一、二行对应元素相等，此时，即有因子。当即时，中第三、四行对应元素相等，因此还有因子又根据行列式定义知，为的4次多项式，所以现只要求出的系数即可，令，可算出，于是，故注 该题方法称为析因子法，即运用行列式性质找出的全部因子，最后再确定最高次项系数。4、计算下面n阶行列式（1） （2）分析 这两个行列式中，每行元素的和均相等，因此可把第列都加到第1列上去。解 （1）105、计算5阶行列式解 注（1）和降价法计算行列式时，一般应先利用行列式的性质，将某一行或某一列化得零元素较多后，再按该行或该列展开。（2）行列式按某一行或某一列展开时，一定要会正确确定展开式中各项的正负号。（3）读者对2，3阶行列式的计算一定要非常熟悉。6、计算n阶对角行列式解 （即为递推公式）因为由以上关系或得于是 注（1）例题还可以按如下方法求解：由递推公式可得，由该方程组解得。（2）一般地，若导出的递推关系式，可先将其转化为，进行递推得其中为一元二次方程的两根，然后，再利用依次递推求出。7、证明其中证 当时，结论成立。假设时结论成立，即，那么，当时，将按最后一列拆开，有所以时结论亦成立。原命题得证。8、计算阶行列式分析 该行列式与范德蒙行列式的形式不同，但若把最后一行依次与前面各行交换到第一行，新的最后一行再依次与前面各行交换到第二行，这样继续下去，共经过交换次后可得一范德蒙行列式。解 由上述分析有9、已知，求解 注 （1）矩阵乘法一般不满足交换律，如本例中，A与B可乘，但B与A不可乘，AC、CA虽然都存在，可阶数不同，无法比较，即使A.B都为同阶方阵，一般也不满足交换律。（2）该题中B和C都不是零矩阵，可它们的乘积为零矩阵，换句话说，仅由AB=0，一般推不出A=0或B=0，由此导致消去律一般也不成立，即由AB=AC不能得到B=C。10、设,求（为自然数。）解法1 由于与H可交换，且于是解法2 因为 观察这些矩阵的规律，可推测此结论是否正确，还须用数学归纳法证明，为此，假设时成立，即当时，故时结论亦成立，于是上述结果正确。11、设A和B均为n阶方阵，且满足证明。证 由已知于是 上式分别左乘A和右乘A，得此二式相减得 代入（*）式即得 注 （1）因矩阵乘法一般不满足交换律，故由得证是错误的。（2）在矩阵等式两边乘一个矩阵时，必须指明并严格区分是左乘还是右乘。（3）若把该例条件换成时，结论仍然成立，请读者试之。（4）若方阵A满足，则称A为幂等矩阵。12、设均为4维列向量，且，则 。（a）7 （b）241 (c)245 (d)56解 因为故应选（D）。13、求矩阵的逆矩阵。解 令则因为，所以注 除以上介绍的求逆阵方法外，还可利用哈密尔顿-凯莱定理求逆矩阵。14、求下列矩阵的秩（1）解 （1）用定义法求解 因为而3阶子式所以（2）用初等变换求秩。显见 注 可见，一般情况下用初等变换求秩较为简便，且只要把矩阵用初等行（或列）变换化为梯矩阵，则阶梯矩阵中不为零的行（或列）数就是原矩阵的秩。15、已知, 求。解 注 虽然矩阵乘法一般不满足交换律，但结合律、分配律等是成立的。运算中充分利用运算规则，可简化运算（如本例中利用了结合律），另外，在矩阵运算中，对运算结果是多少行多少列的矩阵，心中应非常清楚，如该例中是数。16、设，则有 。（a） （b） (c) (d)解 显然B是由A进行两次初等行变换得的，第一次初等行变换为，第二次初等行变换为，而这样的两个初等变换对应的初等方阵分别是与，故根据初等方阵的性质有，于是应选（C）。17、证明任何一个秩为的矩阵都可以表示个秩为非奇异的矩阵之和。证人 设A是秩为的矩阵，则A与其标准形等价，于是存在阶可逆矩阵和n阶可逆矩阵Q，使得其中为r阶单位矩阵，若记为第行第列元素为1，其余元素为零的矩阵，显然有于是其中，而由和知命题得证。注 该例证明过程中引用了“矩阵乘积的秩不超过各个因子的秩”这一结论。18、讨论向量组的线性相关性。解 构造矩阵由可得：时，向量组线性无关；时，向量组线性相关。注 讨论n个n维向量的线性相关性时，可将其排成n阶方阵，通过计算该方阵的行列式，即可判别向量组的线性相关性，这是用矩阵子式判别的特殊情形。19、设向量组线性相关，向量组线性无关，问：（1）能否由线性表示？说明理由；（2）能否由线性表示？说明理由。解 （1）能由线性表示，因为线性无关，所以线性无关。又线性相关，所以线性无关，又线性相关，所以可由线性表示。（2）不能由线性表示，用反证法：若可由，线性表示，即存在数组使，根据（1）的结论，可设，则有 即可由线性表示，从而线性相关，这与题设予盾，故不能由线性表示。20、求向量组的最大无关组及秩。解 取故线性无关，添加，易知线性无关，再添加，由于所以线性相关，改添加，易知线性无关，再添加，由于，所以线性相关，故是该向量组的一个最大无关组，从而向量组的秩为3。注 按照逐个选录法求向量组的最大无关组及秩时，运算量较大，因此较少采用。21、求下列向量组的秩和最大无关组。（1）（2）解 （1）对以为行构成的矩阵A进行初等列变换则，又的第1,2,4行是的行向量组的一个最大无关组，故是所级向量组的一个最大无关组。（2）对以为列构成的矩阵B时行初等行变换则又的第1,3列是的列向量组的一个最大无关组，故是所级向量组的一个最大无关组。注 利用矩阵的初等变换方法注向量组的最大无关组时，对以行向量组按行构成的矩阵只能进行初等列变换，对以列向量组按列构成的矩阵只能进行初等行变换。22、设矩阵求（1）A的零空间的基与维数；（2）A的列向量生成的向量空间的基与维数。分析 因为由齐次线性方程组的全体解向量构成，所以的基就是的基础解系。向量空间中的所有向量都可由向量组线性表示，从而都可由该向量组的一个最大无关组线性表示，故向量组的秩和任一最大地关组分别是的维数和基。解 对矩阵A作初等行变换（1）当时，可求得的基础解系，也就是的基为从而它的维数为2。当时，可求得的基础解系，也就是的基为，从而它的维数为1。（2）当时，且矩阵B的第1，2列线性无关，故是的一组基，它的维数为2。23、在中，求在基下的坐标。分析 求向量在某基下的坐标，通常采用待定系数法，或者利用坐标变换公式。解法1 设，由向量相等的定义得 解此线性方程组，得惟一解，故在给定基下的坐标为解法2 向量的4个分量可以理解为在的基下的坐标，容易求出由基到基的过渡矩阵设在基下的坐标为则由坐标变换公式求得24、设的两组基为（）： （）：求曲基（）到基（）的过渡矩阵。分析 求过渡矩阵通常采用待定法和中介基法。解 采用中介基法求过渡矩阵C，引进的标准基，并写出由它到基（）的过渡矩阵A，及到基（）的过渡矩阵B。即有于是得，故由基（I）到基（）的过渡矩阵为25、设的两组基为（） （）（1）求由基（）到基（）的过渡矩阵；（2）求向量在基（）下的坐标。分析 采用中介基法求过渡矩阵比较方便，已经知道在基（）下的坐标，可利用坐标变换公式求出在基（）下的坐标。解 （1）引进的标准基，并写出由它到基（）的过渡矩阵A，及到基（）的过渡矩阵B：即有 于是得故由基（）到基（）的过渡矩阵（2）在基（I）下的坐标为注 该例中与都是行向量，它们在基下的坐标写成列向量时，才能作为过渡矩阵A或B的列。26、已知方阵，3阶方阵满足，试求的值。分析 由知，B的列向量都是齐次线性方程组的解向量，而表明B中至少有一个非零列向量，故有非零解。解 将B按列分块为，则等价于由知有非零解，故必有,由此解得27、设求方程组的基础解系，并用基础解系表示方程组的通解。解 由于所以基础解系中含个解向量，同解向方程组为 （*）方法1 先求通解，再从中找出基础解系。由式（*）得出通解或向量形式 基础解系为方法2 先求基础解系，再写出通解在式（*）中依次令可求得组合成基础解系通解为 28、设，且方程组的解空间的维数为2，求的通解。分析 由于解空间的维数等于的基础解系中含解向量的个数，所以，即，故先要确定c，使。解 欲使，只有，可得，此时，同解方程组为通解为 。注 A为含参数的n 阶方阵时，如果，则，但是，由得到的参数值能否满足，还需要检验。29、设与是非齐次线性方程组的两个不同的解，与是对应的齐次线性方程组的基础解系，与是任意常数，则的通解为 。（a） (b) (c) (d) 解 答案为（b），因为是的解，而与都是的解。且线性无关，故构成基础解系，从而（b）是的通解。（d）中与虽然都是的解，但不能保证两者线性无关。（a）中的表达式仅是的解，（c）中的表达式不定是的解（比如）。30、取何值时，线性方程组有解？并求其通解。解 对方程的增广矩阵进行初等行变换，可得易见，当或时，方程组有解。时通解为，为任意常数。时通解为，为任意常数。注 方程组的系数矩阵不含参数，而右端项含有参数时，一般只能用初等行变换法讨论并求解。测 试 题解析几何与线性代数（一）一 判断题(对的写“Y”错的写“N”)1、是数域。 （ ）2、全体正实数集合R+是数域。 ( )3、的整数倍的全体都构成数域。 ( )4、所有可以表示成形式的数组为一数域。 （ ）其中n，m为任意非负整数， ，（i=0，n；j=0，m）是整数。5、常数是零次多项式。 （ ）6、零多项式次数为0。 （ ）7、已知与的最高次项系数相等，则。 （ ）8、如，则必有或。 （ ）9、用Px表示数域P上的一元多项环，若都属于Px。 ( )10、如，则。 （ ）11、如。 （ ） 12、一个多项式若只有零次多项式作它的因式，则它也是零次多项式。 （ ）13、零多项式的因式有无穷多个。 （ ）14、常数C与任一多项式的最大公因式为此常数C。 （ ）15、零多项式与零多项式的最大公因式为零多项式。 （ ）16、如分别是与的最大公因式，且，则。 （ ）17、零多项式与零次多项式互素。 （ ）18、若两多项式互素，则它们的次数都大于或等于零。 （ ）19、两零多项式不互素。 （ ）20、若不整除，不整除，那么=1。 （ ）21、可约多项式的次数一定大于1，对吗？ （ ）22、判断f(x)是否整除g(x) （ ） 。23 、px中每个n次多项式都在P中有n个根，对吗？ （ ）24 、零次多项式有零个根，即没有根，这个结论对吗？ （ ）25 、A与B都是32矩阵，则A与B的乘积也是32矩阵。 （ ）26 、A是32矩阵，B是23矩阵，则A与B，B与A都可以相乘。 （ ）27、A是矩阵，B是矩阵，则AB是矩阵。 ( ）28、设，则 。 （ ）29、设，则 。 （ ）30、设，则 。（ ）31、A与B等价吗？ （ ）32、设,A与B等价。 （ ）33、是不是初等矩阵？ （ ）34 、 （ ）35、设，A是不是可逆矩阵？ （ ）36、若矩阵A所有r阶子式全为0 ， 能否说 秩A=r-1 （ ）37、设n阶矩阵A满足，问秩A=n吗？ （ ）38、设V是欧氏空间，那么，任意， （ ）二 选择题1、 ( )A、可约 B、不可约 C、不谈可约不约 2、 （ ）A、可约 B、不可约 C、不谈可约不约3、使多项式在Px上可约的域P是 （ ）A、有理数域 B、实数域 C、复数域4、在复数域上的分解式为 （ ）A、 B、 C、5、如，则 是的一次因式 （ ）A、 B、 C、6、若，用除，余数为，则 （ ）A、 B、 C、7、若用除余数为，则 （ ）A、 B、 C、8、 以下说法正确的是 （ ）A、；B、C、，是非负整数，则D、，m是非负常数，则9、以下说法正确的是 ( )A、 B、C、 D、10、A与B都是数域P上的矩阵，并且A等价于B，以下说法正确的是 （ ）A、A与B的行数，列数分别相同 B、A与B的标准形相同；C、A与B等价于同一个矩阵； D、11设是3阶对角矩阵，以下说法错误的的是 （ ）。 A设,因为AB=BA=E，所以A是可逆矩阵。B因为是初等矩阵之积，所以A是可逆矩阵。C如果n阶对角矩阵的主对角线元系都不等于零是可逆矩阵，A不是这样的矩阵，所以A不是可逆矩阵。12、设，的解都是的解吗？以下情况正确的是 （ ）A 的解都是的解。 B 的解都是的解。C 的解不都是的解D 的解不都是的解。13、设， 的解都是的解吗？以下说法正确的是 （ ）A 当T是可逆方阵时，的解都是的解。B 的解都是的解。C 当T是可逆方阵时，与同解。D 的解不是的解。14、线性方程组中自由未知量可以取为 （ ）A B C D没有自由未知量15、设是齐次线性方程组的解，以下说法正确的是（ ）A 是的向量。 B 是的基础解系。C 线性无关。 D 的任一个解可以由线性表出。16、设，的基础解系是 （ ）.A B C 17、设是的一个解，是的解，那么以下说法错误的是 （ ）。A 是的解。 B 是的解C 是的解。 D 都是的解。18、若，以下说法正确的是 （ ）A B是A的（1，2）逆， B B是A的（1）逆C B是A的逆， D B是A的M-P逆19、，则 （ ）A B是A的（2）逆 B B是A的（1，2）逆C B是A的（1）逆 D B是A的M-P逆20、方程组的系数矩阵A是数域P上的矩阵，并且的向量表示式是，那么以下说法正确的是 （ ）A 依次为A的列向量。 B C D 都是A的列向量。21、设与都是含n个未知量的线性方程组，和解空间的交为0, 那么 （ ）A 秩A+秩 B 秩A+秩 C 秩A+秩22、设与都是含n个未知量的线性方程组，分别是和 的解空间，那么 （ ）A 秩A+秩 B 秩A+秩C 秩A+秩 D 秩23、设分别是和的解空间，以下说法正确的是（ ）A. B. C. D. 24、设，以下说法错误的是 （ ）A. B. C.25、设是数域P上线性空间V的子空间,，那么以下说法正确是 （ ）A. B.C. D.26. 设是线性空间V的子空间，则 ( )A. B.C. D.27、 （ ） A.8 B.10 C.12 D. 1528、如果 ，则下列结论错误的是 （ ）A. 互素 B. 互素C. 互素 D. 互素29、 的逆矩阵是 （ ）A. B. C. D. 30、 （ ） A.1 B.-1 C.2 D. -231、线性方程组 只有零解的条件是 （ ）A B. C. . D. 32、设（ ） A. B . C. D. 三 填空题1、设如果A=B，则x= y=2、设A=的充要条件是： 3、设A与B可以等价的条件是：4、设则A+B= 5、设，则A+B=6、设则 -A= 7、设，且，则X= 8、设，则 9、设，则AB= 10、 ABC=11、设，那么 12、设那么 13、设则B=14、设，则x= y= 15、，那么（A，B）=16、设，D是可逆矩阵的条件是（ ）。 17、行列式=18、行列式=19、阶行列式有 项，其中带负号的有 项。 21、按定义计算行列式的值，并填在横线上。 22、 时间、速度、长度、力、位移、面积中，矢量有 23、设a和b是失量，的充要条件是 24、 共起点O的所有单位矢量的终点构成的图形是 25、 26、 27、 点（2，3，1）关于坐标轴Z的对称点坐标是 28、设矢量A（2,3,1），B（1,2,3）则 29、已知点的距离为 30、 当W是V的真子空间时，它们的维数满足 31、写出矩阵方程对应的线性方程组32、设，秩则的解空间W的维数等于 33、设，秩则的解空间W的维数等于 34、若，A的（1）逆是（ ）行（ ）列的矩阵。35、设，A的列向量组的秩为r,则秩A= 36、设，秩，秩，秩，分别是与 的解空间，则37、表明是多项式的 重根。38、设 ，则， 。39、设是3阶矩阵，且，则 .40、则秩 。41、线性方程组 有唯一解的充要条件为 四 计算题1、适合什么条例时，有2、如都是与的最大公因式，则3、用辗转框除法求，其中4、设求5、求的最大公因式，6、用定义求多项式在的值。7、a,b为什么数时，能被整除？8、求d值，使有重根。9、如果求A、B10、求一个2次多项式，使它在处与有相同的值。11、求一个次数的多项式，它满足12、求多项式在实数域上的标准分解式。13 求下列多项式的有理根14 设求15、设求16、，写出对矩阵B作的初等变换。17、用公式法解方程组 18、利用行列式求解线性方程组19、按定义求的值。20、按定义求的值。2