高等数学同步练习 第三章中值定理及与导数应用(答案).pdf

宁波大学理学院 宁波大学理学院 张艺张艺 1 第三章 第三章 中值定理及与导数应用 中值定理及与导数应用 1 微分中值定理微分中值定理 1 解 cos sin 1 2 1 ln 6 5 6 ctgx x x y y y x y sin ln 在区间 6 5 6 上满足罗尔定理的条件 2 2 0 x y 得 令 2 解 1 2 1 0 1 0 1 x f x x f f f f 处连续 在 在区间 3 1 e 上满足拉格朗日定理的条件 又 3 1 1 1 1 1 2 x x x e x x f 而 12 1 3 5559393 1 3 31 939355 3 ff eeeee e fxxx eeeee e 令 解得 11 193 1 5 e xx ee 不于 上 舍去 故取 3 证明 设 F x f x x 由题设知 F x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 又 F a f af b F b ab 由罗尔定理 存在 a b 使 0 F 即 f f 4 证明 内连续可导 在 x f 所以 x f 满足拉格朗日中值定理的条件 对所有 0 x x f x 在 上满足拉格朗日中值定理的条件 有 0 0 x f f x f 0 0 0 b cx x f f b f cx x f c f x 有 记 因此 由于 5 证明 f x 在 a cc b 上满足拉格郎日中值定理 因此 至少分别存在一点 12 a cc b 使得 12 f cf af bf c ff cabc 由 A B C 三点位于同一直线上 因此 12 ff 不妨设 12 在 1 2 上 fx 满足罗尔定理条件 故至少存在一点 12 a b 使得 0 f 宁波大学理学院 宁波大学理学院 张艺张艺 2 6 证明 1 0 1 1 1 ln x x x f x x f 在 则 令 上应用拉格朗日中值定理 得 0 1 1 1 ln 1 ln x x x 1 1 1 1 1 x x x x x 1 ln 1 x x x x 2 2 1 arctan 1 f xxfxa b x 令 则 在 上应用拉格朗日中值定理 得 222 111 arctanarctan 1 111 babaa babab arctanarctan ababab 当 时 显然等号成立 3 2 1 tan cos f xxfx x 令 则 在 上应用拉格朗日中值定理 得 222 2 22 tantan 0 0 coscoscos cos 故 即 则 cos cos cos cos 1 cos 1 cos 1 2 2 2 2 2 2 22 tantan coscos 上应用拉格朗日中值定理 得 111 0 0 0 f aff a ffa aa 即 对 x f 在 b a b 上应用拉格朗 日中值定理 得 2 2 2 b a b f a b f b a f f b b a b f b a f 即 显然 2 1 均在 0 c 上单调下降 0 2 1 c b a b a 0 使对一切 b a x 有 M x f 在 b a 内任取一点 0 0 x f x 为常数 x 为 b a 内任一点 由拉格朗日中 值定理 有 0 0 0 之间 与 介于 x x x x f x f x f 从而有 宁波大学理学院 宁波大学理学院 张艺张艺 3 0 0 0 a b M x f x f x x f x f x f 即 因而 x f 在 b a 内有界 与已知矛盾 因此 x f 在 b a 内无界 2 罗必塔法则罗必塔法则 1 1 解 原式 2 cos lim sin lim cos 1 2 lim 0 0 0 x e e x e e x e e x x x x x x x x x 2 解 原式 1 sin 2 sec sin 2 lim 1 csc 1 1 2 sec 2 lim 2 2 2 1 2 2 1 x x x x x x x x x 2 1 sin lim 1 2 1 sin 2 sin 2 lim 1 2 1 2 2 1 x x x x x x x 3 解 原式 2222222 222222 000 sincostantan lim limlim sintan xxx xxxxxxx xxxxxx 22 3322 0000 tantantansec12tan2 lim 2lim2limlim 333 xxxx xxxxxxxx xxxxx 4 解 原式 1 sin ln lim 2 0 t x t t t t 6 1 6 sin lim 2 sin cos lim sin sin cos lim 3 0 3 0 2 0 t t t t t t t t t t t t t t t 5 解 原式 00 1 lncos lim lncos 11 limlim tan lncos lim1 x tx x t x x t xx x eeee 6 解 原式 1 1 1 lim 2 1 lim 2 ln ln 1 lim 2 2 2 e e e e x x arctgx x x arctgx x x x x 7 解 原式 0 lim cot 1 2 t tttx 00 2 122 limlim tansec 22 tt t tt 8 解 原式 2 2 1 1 1 lim 1 ln lim 1 ln lim 0 2 0 1 0 e x x e x x x e x e x e x x x x 2 解 2 lim 2 lim lim 0 lim 0 lim 0 0 2 0 0 0 x f x x f x x f x f x x f x x x x x 宁波大学理学院 宁波大学理学院 张艺张艺 4 1 lim 1 lim 2 2 0 2 0 1 0 2 e x x f x x f f x x f x f x x x x 3 证明 由已知 g x 连续 且当 0 x 时 2 x x f x f x x g 而 2 00 0 0 1 0 limlim 0 0 2 xx f x f f xxf x gfxg x xx 当 时 显然连续 而 连续 在点 0 0 2 1 lim lim 2 0 0 x x g f x x f x f x x g x x 从 而 x g 在 内是连续函数 3 泰勒公式泰勒公式 3 解 12 24 12 12 6 4 1 2 2 2 3 3 4 x x p x x x p x x x p x x x p 1 0 24 0 5 4 x x p x p 0 1 1 0 1 24 1 12 1 0 1 2 1 0 1 6 5 4 n p p p p p p p p 4 4 3 2 3 4 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 1 1 1 2 x p x p x p x p p x x x p 1 1 2 0 1 2 0 0 4 3 x x x 即 4 3 3 4 1 1 2 1 2 1 2 x x x x x 4 解 3 2 0 0 0 0 1 3 2 0 2 1 x x f x f x f f x f x x x f 1 2 3 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 5 2 3 2 1 x x f x x f x x f 2 5 1 8 3 4 1 0 2 1 0 1 0 x x f f f f 1 0 1 16 8 1 2 1 1 1 2 5 3 2 2 1 x x x x x 5 y 4 2 4 11 4 4 2 x y x 3 2 4 11 4 432 x yx 5 2 4 33 4 8256 x yx 宁波大学理学院 宁波大学理学院 张艺张艺 5 7 4 2 7 15151 1616 yx x 23 1115 2 4 4 4 464512128 xxxx 4 7 2 4 01 4 4 x x 6 解 3 2 0 0 x x x x x x x xe e x f xe e x f xe e x f x xe x f 2 0 1 0 0 0 1 1 f f f xe e n f xe ne x f x x n x x n 1 1 0 3 0 1 x x x n n e x n e x e n x f n f f 1 0 1 1 1 2 1 3 2 n x n x x e n x n n x x x x xe 7 解 3 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 x x f f x x f f x x f 1 2 1 2 1 0 x x x f f 在 处的泰勒公式为 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 3 2 2 2 2 x x x x x x R x R x x x 从而 故 与 2 1 1 1 1 2 1 3 2 x x x x x x a x a a x 1 2 1 2 1 0 1 2 2 x R 比较可得 2 1 1 1 1 3 2 2 1 0 x x R a a a 8 证 阶导数 上具有 在 n b a x f 阶 处展开成 在 将 1 0 n b x x f 泰勒公式 1 2 1 1 2 n n n n b x n f b x n b f b x b f b x b f b f x f 2 2 b a b f b a b f b f a f a x b x 令 之间 与 在 1 1 1 n n n n b a n f b a n b f 0 0 1 b a f b a b f b f b f b f a f n n 9 解 10 5 1 10 3 1 10 10 sin 18 sin 2 5 3 x R n 宁波大学理学院 宁波大学理学院 张艺张艺 6 10 10 1 2 2 1 1 2 10 1 2 1 2 2 1 2 sin 4 1 2 1 2 1 2 1 2 2 x n n n x x n n x x R n n n n n 取 10 10 5 1 5000 128 1 5040 128 1 7 2 1 3 4 5 7 因而 0 0 f xx 而 0 0 f 这证明 f x 在 x 0 处取极小值 即 D 正确 7 0 0 0 0 0 x f x x f x n x e n x x f x n 时 时 为奇数时 为驻点 0 x 为极大值点 极大值为 1 0 x f n为偶数时 函数无极限 8 解 1 3 1 1 e e x f e e x x x f e x 上递增 在 在 时取极大值 题知 由 令 上递减 因而 3 3 9 8 2 2 5 4 3 2 1 3 6 6 f f f f f f f 3 3 3 x 最大项为 9 解 5 6 5 3 0 2 1 3 1 3 3 1 1 3 2 a b b b f b a b a f 3 0 3 5 3 3 的单调减少区间是 所以 时 及 当 x f x f x x f 宁波大学理学院 宁波大学理学院 张艺张艺 7 单调增加区间是 1 0 1 2 2cos2sin22cos 12sin 02 fxxxxxx 令 2 3 6 5 2 6 6 5 6 2 3 2 0 4 3 2 1 当 解得驻点 x x x x x x f 时 0 的单调减少区间是 2 3 6 5 2 6 单调增加区间是 2 2 3 6 5 2 6 0 及 11 解 0 2 2 1 1 0 0 y x x y dx dy y y x y x 曲线在 处的切线方程 为 1 0 0 0 0 0 0 y Y x X x X x y y Y 化简为 它在两坐标轴上的截距分别为 当 三角形面积为 和 2 1 4 1 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 x dx ds s x x y x y x 0 1 4 1 0 4 1 0 0 0 0 0 dx ds x dx ds x 时 时 4 1 4 1 4 1 0 因此所求切点为 取最大值 时 s x 12 令 x x x f x f x x x x f 1 1 1 0 2 1 ln 2 上连续而且 在 则 时 上单调增加 在 因而 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 x x f x x x x x x x 0 2 1 ln 0 0 2 1 ln 0 2 2 x x x x x x x x f x f 因而 所以 证明 令 1 0 1 x x x x f p p 2 1 2 1 1 1 1 0 2 1 0 1 0 1 1 1 p p p f f f x x x p x f 又 解得驻点 即 由 2 1 1 1 0 1 p 最小值为 上的最大值为 在 x f 故有 1 1 0 1 1 2 1 1 p x x x p p p 宁波大学理学院 宁波大学理学院 张艺张艺 8 5 函数图形的凹凸性函数图形的凹凸性 拐点及函数图形的描绘拐点及函数图形的描绘 1 2 9 6 0 0 2 9 6 6 0 6 6 0 6 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 1 0 0 y y x 5 1 1 2 2 y y x x 6 解 0 5 x x f 在 的某一邻域内不变号 0 4 0 5 0 4 1 x x x f x f 在 的某一邻 域内不变号 0 x x 不是极值点 3 1 0 0 0 0 3 0 1 5 x f x x f x x x x x f x f 变号 因而 右边时 左边移到 由 是拐点 7 证明 0 0 1 2 的图形在 因而函数 则 令 x f yy x n n x f x x f n n 上是凹的 即 2 2 y x f y f x f 2 2 n n n y x y x 8 解 由题设知 从而有 84244 1 abcd 10 abcd 2 2 32 yaxbxc 62 yaxb 由 驻 点和 拐 点条 件 可 得 1240 abc 3 620 ab 4 由 1 2 3 4 1 3 24 16 abcd 9 解 1 0 2 为增区间 0 2 为减区间 2 因 4 24 0 y x 故 0 0 凹区间 无拐点 3 因 3 2 0 4 lim x x x a 3 3 4 lim1 x x x b 3 2 4 lim0 x x x x 0 x 为垂直渐近线 y x 为斜渐近线 10 解 x x y ln 的定义域为 ln 1 ln 1 lim 1 0 1 2 1 x x y x x f x 渐近线为 2 1 1 ln ln 2 2 2 3 e e e e e e x x x y 曲线通过 宁波大学理学院 宁波大学理学院 张艺张艺 9 6 曲率曲率 1 K 1 2 K 2 3 2 sin 4 1 t a K 4 K 2 1 1 a 5 解 1 2 2 4 2 A y x y 顶点为 2 1 2 0 1 2 1 0 2 3 2 3 2 R y y K y A A A 6 解 4 1 1 4 4 4 2 8 2 2 A A y y y y y y y A x y 4 10 2 8 1 16 2 2 4 1 1 1 4 1 1 2 3 2 3 2 3 2 C K R y y K A A 曲率中心为 7 解 2 sin cos 2 2 sin 2 cos ctgt t t x y y t t y t x t t 时 当 2 sin 2 sin 1 sin 2 1 3 2 t t t t dt dx dt y d dx dt dt y d dx y d y 33 22 22 2 2 1 0 2 2 2 1 10 A t y yyKRC y 曲率中心 2