2007年第18届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题与解答.pdf

第十八届北京市大学生数学竞赛本科甲 乙组试题解答 2007 年 10 月 14 日 下午 2 30 5 00 注意注意 本考卷共九题 本考卷共九题 甲组九题全做甲组九题全做 乙组只做前七题 乙组只做前七题 一 一 填空题 每小题填空题 每小题 2 分 共分 共 20 分 分 3 1 1 1 1 1 1 m m x x x m x m 解 则 的等价无穷小 是 时 设当 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 n n f f n x x x n x x x x f n 解 则 设 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 0 1 3 e n f n f y x f y n n n n 解 则 轴上的截距为 处的切线在 在点 已知曲线 1 lim 4 1 1 e e n k n k n k n 原式 解 4 d cos 1 sin 5 2 2 2 2 原式 解 x x x x 0 2 3 2 为 处的切平面 0 1 在点 则曲面 其中 3 2 1 1 且 微 的某邻 1 0 在点 设函数 6 2 2 z y x y x f z y x o y x y x f y x f z 切平面方程为 解 方程 域内可 1 旋转转曲面方程 为 轴旋转的旋转曲面方程 绕 1 1 1 1 0 1 线 7 2 2 2 z y x z z y x 解 直 0 d cos d 1 8 2 2 原式 解 的正向一周 则 为封闭曲线 设 L y y x x y x y x x L 3 22 div 1 2 2 2 1 1 div 2 9 2 2 2 2 3 原式 解 的方向导数 方向 处沿 在点 则其散度 设向量场 M M z y x z y x z y x A l l A k j i A 14 1 10 2 2 2 2 2 2 2 解 则 的一个特解 方程 是二阶常系数线性微分 设 x x x e y y y e x e y 0 0 0 0 0 0 0 10 件是 点处可微的充分必要条 在 试证明函数 的一个邻域内连续 在点 其中 设二元函数 分 二 y x f y x y x y x y x f 0 0 0 lim 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim 0 0 0 lim 0 lim 0 0 0 lim 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 点处可微 在 由定义 所以 又 因为 则可知 若 充分性 故有 且 由于 存在 则 点处可微 在 设 必要性 证 y x f y x y x y x y x y y x x y x y x y x y x y x y x y f x f f y x f f f x x x x x x x x x x f x f f f f y x f y x y x y x x x x x x y x 0 2 1 1 6 1 1 1 1 10 f f f f x f 使得 存在实数 证明 上三次可微 在区间 设 分 三 0 2 1 1 6 2 1 6 1 0 2 1 1 3 2 0 0 0 1 3 2 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 于是 使得 实数 由导数的介值性知存在 证 d 1 1 10 2 2 D y y x v y x u D y v x v y u x u y x y x u y x v y x y x D y x v y x u g f j i g j i f 求 的边界上有 且在 又 上有一阶连续偏导数 在闭区域 设函数 分 四 1 d cos sin sin d d d d d d 2 2 2 0 2 正向 解 y x L y y x y y uv x uv y uv x uv y uv x uv y v u y u v x v u x u v y v x v u y u x u v L L D D g f g f 1 1 4 1 1 d d d d d d 10 2 2 2 2 2 2 取外侧 其中 计算 分 五 y z y x y x z x z y z y x 3 25 2 3 19 3 19 d sin 3 2 sin sin 4 1 sin cos 4 1 d 4 d sin 2 sin sin sin cos 2 d d 2 d 2 d 2 2 d d 1 4 1 1 0 2 2 0 1 0 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 原式 则原式 左侧 设 解 r r r r v y x v z y x x z z x D y V V D 3 25 2 3 11 3 8 2 4 1 6 11 d 2 2 d d d d 1 2 4 1 3 4 d 2 d d d d 2 d 2 d 2 2 d d 1 4 1 1 2 2 2 2 0 2 2 1 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 0 0 0 原式 故原式 则原式 左侧 设 另解 y y z x D y y y y x z x y v y y x x z y D x x x x z y x x v x v z y x v z y x x z z x D y y D V x D V V V D y x 1 2 2 2 lim 1 10 1 2 1 2 1 1 n n n n n n n n na a a n na a a S a 试求 且和为 收敛 设正项级数 分 六 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 0 2 lim 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n a n na a a n na a a n na a a n na a a n n na a a S S n na a a n n n S S S S n S S S S n S S S S S S S n na a a 解 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 S a a b n n na a a a b b n n na a a n na a a b n n n n n n n n n n n n 则 记 10 2 2 2 2 0 需的时间 求飞机从着陆到停止所 千克 机的质量为 设飞 米 秒 千克 为 在垂直方向的比例系数 米 秒 千克 平方向的比例系数为 在水 正比 的阻力与速度的平方成 且飞机运动时所受空气 为 飞机与地面的摩擦系数 秒 米 水平速度为 速度 在着陆时刻已失去垂直 陆 飞机在机场开始滑行着 分 七 m k k v y x arctan arctan 1 0 arctan 1 arctan 1 arctan 1 0 arctan 1 d d 0 d d 0 d d d d 0 0 d d d d 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 秒 时 当 得 代入初始条件 积分得 分离变量得 即 于是有 根据题意知 记 由牛顿第二定律 有 摩擦力 垂直方向的阻力 水平方向的阻力 解 v g m k k g k k m v B A AB t v v B A AB v B A AB t v B A AB C v v t C t v B A AB t B Av v B Av t v B t s A t s A g B m k k A g t s m k k t s R mg W v k R v k R y x y x y x y x y y x y x 以下两题乙组考生不做以下两题乙组考生不做 1 sin 10 是无理数 证明 分 八 1 sin 1 2 2 cos 1 1 2 1 cos cos 1 2 2 1 cos 1 2 2 1 1 2 1 7 1 5 1 3 1 1 1 2 1 2 1 2 cos 1 2 1 1 2 1 7 1 5 1 3 1 1 sin 1 sin 1 sin 1 1 是无理数 所以 矛盾 不可能是整数 故 然而 两个整数之差仍是整数 是整数 知 由 的展开式有 根据 是互素的正整数 是有理数 则 设 证 n n n n n n n n n q p n q n n n q p x q p q p n n n n n n sin tan tan sin 2 0 10 论 的大小 并证明你的结 与 试比较函数 内 在区间 分 九 x x sin tan tan sin 2 0 0 2 2 arctan 1 tan tan sin 1 1 sin 4 4 4 4 1 2 2 arctan tan 1 2 arctan tan 2 sin arctan 1 sin 2 sin arctan 2 2 arctan 0 0 0 0 2 arctan 0 cos sin cos cos tan cos 3 sin 2 tan cos 3 sin 2 tan 0 2 sin 4 tan 3 cos 2 sec 3 sin 2 tan 3 sin 2 tan cos cos sin 2 cos tan 3 1 sin cos cos tan 2 0 2 sin 0 2 tan 0 2 arctan 0 cos sin cos sin cos cos tan cos sec cos tan cos sin sec 则 sin tan tan sin 设 解