05年哈尔滨工业大学概率论与数理统计试题2.pdf

概率论与数理统计试题 2005 注 需用到的t 分布表 标准正态分布表见第四页 一 填空题 每题 3 分 共计 15 分 1 设事件A B满足 1 3 P B AP B AP AP B 则 P AB X的概率密度为 2 2 0 0 0 x X ex fx x 则 2 1 x Y的概率密 e 2 设随机变量 度为 Y fy 3 设 2 3 XBpYBp 若 5 1 9 P X 则 1 P Y 4 已知一批零件长度 4 XN 从中随机地抽取 9 个零件 得样本均值20 x 则 的置信度为 0 95 的置信区间是 5 设随机变量X服从参数为 4 的泊松分布 且 4 4 YN 1 2 XY 根据 切比晓夫不等式有 4 PXY 二 单项选择题 每题 3 分 共计 15 分 1 设 A B C 为随机试验 E 中的三个事件 则与事件 中不多于两个发生 不 等价的是 A B C A ABC B ABACBC C ABC D SABC 2 设随机变量 X Y分布列为 Y X 10 1 0 0 070 180 15 1 0 080 320 20 则 2 X和的协方差为 2 Y A 0 B 0 02 C 0 02 D 1 3 如下四个函数 不能作为随机变量分布函数的是 1 A 2 0 1 1 0 x x Fxx x B 3 1 0 0 x ex F x x 0 C 12 2 5 7 F xF x F x 其中分别为随机变量 12 FxFx 1 2 XX的分布函 数 D 0 1 57 11 1616 1 1 x F xxx x 4 某校数学考试时有四道选择题 每题附 4 个答案 其中一个正确 一个考生随意 地选择每题答案 则他至少答对三道题的概率为 A 81 256 B 4 256 C 13 256 D 12 256 5 设 1 n XX 是总体X的样本 2 EXDXX 是样本均值 是样本 方差 则 2 S A 2 XN n B 为 2 S 2 的极大似然估计 C 是 2 S 2 的无偏估计 D 2 2 2 1 1 nS n 三 9 分 已知某袋中有 7 件产品 其中次品 3 件 正品 4 件 从中不放回地取 3 件产品 求 1 3 件产品中取到至少有一个次品的概率 2 若取到至少一个次品条件下 3 件 产品中有 1 个正品 2 个次品的概率 2 四 9 分 已知X服从参数为 2 指数分布 且 0 1 YUX与Y独立 ZXY 求 Z的概率密度 Z fz X的概率密度为 2 2 0 0 X x x fx 其它 五 9 分 已知 求 1 的概率密度sinY X Y fy 2 2 EY X的概率密度为 1 0 0 x f x 其它 0 六 14 分 设总体 3 求 1 未知参数 的矩估计和极大似然估计 2 它们是否为无偏估计 为什么 七 9 分 将个考生录取通知书分别装入个信封 然后在每个信封上随意填上一个考 生的地址发出 以 nn X表示个考生中收到自己录取通知书的人数 求和 nEXDX 0 0250 050 050 025 8 2 3060 8 1 8595 9 1 8331 9 2 2622tttt 975 096 1 95 0645 1 4 概率论与数理统计试题解答 2005 填空3分 共15分 1 一题 每题 1 9 3 19 27 2 1 01 0 y 其它 223 4 201 96 201 96 20 33 1 306 20 1 306 18 694 21 306 5 4 B 2 C 3 A 4 C 5 C 二 选择题 每题3分 共15分 1 3 34 3 7 3 33 34 3 11 7 0 1 2 3 0 1 2 3 2 1 81 213 1 4 3 53 53 52 5 i ii i ii i ii Aii CC Pi C CC PAPAPA C 3 i i 0 3 i i 1 三 解 设表 示 取 到件 次 品 分 1 设 A 表 示 至 少 取 到 一 个 次 品 AS A 03 34 0 3 7 3 2 12 2 232 34 3 2 7 3 1 1 1 2 5 4 2 1 2 3 1 3 1 3 5 i i CC PAPAPA C PAA PAA PAA PAPA CC PA C PA 3 i i 1 分 或 分 3 分 5 四 解 利用卷积公式 2 0 0 1 3 0 0 2 01 2 ZXY XY z x Z fzfx fzx dx x fx fzxzx zx z edxz fz x 0 使不为0的区域 即 0 z x 1 分 2 222 2 1 0 0 1 01 1 1 6 z zz z x z z ez eez edx z 分 6 2 2 0 sin 2 01 1 sin 2 01 1 xyx y y xyx y y 1 1 2 2 五 解 1 1 公式法 当时是严格单调增加的函数 其反函数为x h y arcsiny 1 x h y 当时是严格单调递减的函数 其反函数为x h y arcsiny 1 x h y 2 3 21 011 0 4 yy 2 YXii i 1 分 利用公式 f y f h y h y 其它 分 2 令 0 Y YY Y YY YYYY 2 Y sinX的d fF y 当y时F y 0 y1时F y 1 o y 1 F y P Yy P sinXy P Xarcsiny X arcsiny F arcsiny 1 F arcsiny 3分 1 f y F y f arcsiny f arcs 1 y 2 2 2 11 1 222 0 200 0 21 1 21 01 41 0 212 1arcsin 1 22 1 cos2 2 y y y EYydyy dyy y t dt 2 Y 1 iny 1 y 于是f y 分 其它 2 222 0 222 000 00 2 1 sin 2 42 212111 sin 1 cos2 sin2 222 111111 sin2 cos2 22222 yt xx EYxdxxdxxxdx xxx 作变换分 2分 或 7 1 2 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 2 2 2 4 i n n n x n xx n x dx x L xx x 0 其它 其它 2 1 六 解 矩估计EX x 矩估计为分 似然估计 似然函数 由定义知的似然估计为 1 1 2 1 4 2 22 2 4 0 0 0 nZ n n Zni i n EE x xdfFz FzP ZzP xzP XzFz z z z 分 为 的无偏估计分 令z的 1 1 1 0 2 1 0 0 1 1 n n ZZ n n z nz z fzFz nzn EEZdz n n n n 其它 而为渐进无偏估计 而非 的无偏估计 2分 8 2 2 2 11 1 0 1 11111 ii iii i P XP X nn n EXEXDX nnnnn i n i i 1 七解 令X 表示第 个考生收到自己被录取通知书的人数 i 1 2 3 n X X 1 11 4 1 1 3 cov 1 1 1 n i i nn iiij iiij ijij EXEXn n DXDXDXXX EE X XXX ijijij 分 分