1 解线性方程组.pdf

51 第三章 线性方程组 1 消元法 A 组 一 判断题 1 初等变换是方程组变为同解的方程组 2 如一方程组有无穷多解 则方程组的解的自由未知量有方程组自身唯一确定 3 方程组 0 356 197 5 0 101 98 1000 3 2 1 3 2 1 x x x x x x 一定有非零解 二 解答题 1 解线性方程组 8 4 2 4 5 2 4 1 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x 27 4 10 3 18 2 7 2 8 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x 27 4 10 3 18 2 7 2 8 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x 2 取何值时 方程组 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 x x x x x x x x x 有唯一解 无解 有无穷多解 B 组 1 b a 为何值时 线性方程组 b x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5 4 3 2 1 5 4 3 2 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 3 3 4 5 3 6 2 2 3 2 3 1 有解 解时 求一般解 2 讨论a 为何值时 线性方程组 2 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ax x x x ax x a x x ax 有解 有唯一解 有无穷多 解 有解时 求一般解 3 证明线性方程组 1 2 1 a x x 2 3 2 a x x 3 4 3 a x x 4 5 4 a x x 5 6 5 a x x 616 xxa 有解的充分必要条件是 0 6 1 i i a 52 1 消元法 达标训练解答 A 组 一 判断题 1 T 2 T 二 解答题 1 解线性方程组 解 对增广矩阵进行初等行变换 9 0 0 0 2 1 0 0 1 3 1 2 7 1 0 0 2 1 0 0 1 3 1 2 8 4 1 2 4 5 2 4 1 3 1 2 A 2 3 A r A r 所以方程组无解 对增广矩阵进行初等行变换 1 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 2 0 1 0 7 0 3 1 1 1 0 0 2 0 1 0 8 1 3 1 3 1 1 0 2 0 1 0 8 1 3 1 27 4 10 3 18 2 7 2 8 1 3 1 A 3 3 A r A r 方程组有唯一解 1 2 1 3 2 1 x x x 对增广矩阵进行初等行变换 0 0 0 0 2 0 1 0 2 1 0 1 0 0 0 0 2 0 1 0 8 1 3 1 2 0 1 0 2 0 1 0 8 1 3 1 26 3 10 3 18 2 7 2 8 1 3 1 A 2 2 A r A r 方程组有无穷多解 P k k x x k x 2 2 3 2 1 2 解 对增广矩阵进行初等行变换 2 3 2 2 2 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 当 1 时 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 A 方程组有无穷多解 3 2 3 3 2 2 3 2 1 1 x x x x x x x x x 为自由未知量 当 1 时 53 2 2 2 2 2 1 2 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 当 1 但 2 时 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 A 方程组无解 当 1 且 2 时 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 2 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 A 2 1 1 0 0 2 1 0 1 0 2 1 0 0 1 2 1 1 0 0 2 1 0 1 0 1 0 1 2 2 3 2 2 2 2 方程组有唯一解 3 2 1 2 2 2 3 1 2 1 2 1 2 x x x B 组 1 解 对增广矩阵做初等行变换 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 6 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 5 6 2 2 1 0 3 6 2 2 1 0 3 6 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 3 3 4 5 3 6 2 2 1 0 3 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 a b a a b a b a A 所以当 2 0 b a 时方程组有解 有无穷多解 这时 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 6 2 2 1 0 2 5 1 1 0 1 1 3 3 4 5 3 6 2 2 1 0 3 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 b a A 方程组的一般解为 5 5 4 4 3 3 5 4 3 2 5 4 3 1 6 2 2 3 5 2 x x x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵做初等行变换 0 1 1 0 1 3 1 1 0 2 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 1 2 a a a a a a a a a a A 当 1 a 时 3 1 则 r 2 1 线性相关 10 等价的两个向量组的秩相等 二 解答题 1 将 1 3 2 1 表示为 4 3 2 1 的线性组合 其中 1 1 1 1 1 1 0 1 0 2 0 0 1 0 2 1 4 3 2 1 2 求向量组 5 4 3 2 1 的一个极大无关组 其中 6 5 1 2 0 2 1 1 4 7 0 3 2 1 3 0 4 2 1 1 5 4 3 2 1 3 设 3 1 3 2 2 1 线性相关 则 3 2 1 线性相关 4 设向量 可由 r 2 1 线性表示 但不能由 1 2 1 r 线性表示 证明向 量组 r 2 1 与 1 2 1 r 等价 5 设向量组 r 2 1 线性无关 任取数域P 中 1 r 个数 1 2 1 r k k k 证明向量 组 r r r k k 1 1 2 1 1 2 1 1 线性无关 6 向量组 r 2 1 线性无关 并且可由 r 2 1 线性表示 证明 r 2 1 线性无关 并且与 r 2 1 等价 B 组 1 2 1 m 为 1 m 个 向 量 且 2 2 1 m m 则 1 2 m 线性无关的冲要条件是 m 2 1 线性无关 2 对 1 m 位读者供他们读 m 种小册子 假定每位读者都读了一些小册子 至 少一本 试证这 1 m 位读者中必可找到甲乙两组人 这两组人所读过的小册子种类相同 2 3 n维向量空间 线性相关性 达标训练解答 A 组 一 判断题 1 F 2 T 3 F 4 T 5 F 6 F 7 T 8 T 9 T 10 T 二 解答题 1 解 令 1 1 1 1 1 1 0 1 0 2 0 0 1 0 2 1 0 3 2 1 4 3 2 1 k k k k 得到一线性方程 57 组 1 3 2 2 2 1 4 3 1 4 3 2 4 1 4 3 1 k k k k k k k k k k k 容易求出该方程组的解为 k x k x k x k x 4 3 2 1 2 1 4 1 2 3 2 1 1 取 0 k 得到方程组的一组解 0 0 2 3 1 4 3 2 1 k k k k 所以 4 3 2 1 0 0 2 3 2 解 以 5 4 3 2 1 为行作一矩阵 A 4 0 1 2 4 0 0 1 10 0 1 3 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 3 2 4 0 0 1 8 1 3 3 2 1 3 0 0 0 0 1 6 5 1 2 0 2 1 1 4 7 0 3 2 1 3 0 4 2 1 1 A 3 2 1 4 2 1 5 2 1 4 3 2 5 3 2 等都是极大无关组 3 证明 利用反证法证明 若 3 2 1 线性无关 令 3 2 2 2 1 1 k k 3 1 3 k 0 则 0 3 3 2 2 2 1 1 3 1 k k k k k k 由 3 2 1 线性无关 所 以 0 0 0 3 2 2 1 3 1 k k k k k k 容 易 求 出 0 3 2 1 k k k 故 3 1 3 2 2 1 线性无关 与已知矛盾 所以 3 2 1 线性相关 4 证明 因为 r r r r k k k k 1 1 2 2 1 1 显然 0 r k 否则 可由 1 2 1 r 线性表示 从而 r 可由 1 2 1 r 线性表示 即 r 2 1 可 由 1 2 1 r 线性表示 同理可证 1 2 1 r 可由 r 2 1 线性表示 故 r 2 1 与 1 2 1 r 等价 5 证明 若 0 2 2 1 1 r r x x x 则 1 1 1 2 1 r r k x k x x 2 2 x 0 r r x 因为 r 2 1 线性无关 所以 0 1 1 2 1 r r k x k x x 0 2 x 0 r x 进而 0 1 x 58 故 r r r k k 1 1 2 1 1 2 1 1 线性无关 6 证明 因为向量组 r 2 1 可由 r 2 1 线性表示 所以 r 2 1 的 秩不大于 r 2 1 的秩 而 r 2 1 的秩等于r 所以 r 2 1 的秩大于等于 r 故 r 2 1 的秩等于r 所以 r 2 1 线性无关 B 组 1 证明 必要性 首先 1 2 m 可以由 m 2 1 线性表示 其 次 容 易 证 明 i i k k i m 2 所 以 m 2 1 可 以 由 1 2 m 线性表示 故 1 2 m 与 m 2 1 等 价 所以 1 2 m 线性无关的充要条件是 m 2 1 线性无关 2 证明 用 1 0 2 1 ij im i i a a a a 表示第 i 个读者读小册子的情况 由题意每个向 量都不是零 显然它们线性相关 则存在不全为零的数 1 2 1 m m k k k k 这些数为 0 1 或 1 它们中至少有两个不是 0 使 0 1 1 2 2 1 1 m m m m k k k k 把系数是 1 的那些分为甲组 系数为 1 的分为乙组 则这两组人所读过的小册子种类相同 4 矩阵的秩 A 组 一 填空题 1 所谓矩阵的行秩是指 矩阵的列秩是指 它们 统称为矩阵的 2 矩阵 nn ij a A 的行列式为 0 的充要条件是 3 齐次线性方程组 0 0 1 1 1 1 1 11 n s s n n x a x a x a x a 只有零解的充要条件是 4 矩阵 0 0 0 0 1 2 1 0 3 1 2 0 6 5 4 1 A 位于前三行的所有三级子式为 二 解答题 59 1 求矩阵A的秩 其中 3 17 7 1 17 40 18 10 7 18 8 4 1 10 4 0 A 2 求向量组 4 3 2 1 的极大无关组 其中 15 13 7 6 1 1 1 4 14 12 6 2 7 6 3 1 4 3 2 1 3 设矩阵 mn m n a a a a A 1 1 11 ms m s b b b b B 1 1 11 其秩分别是 2 1 r r 则矩阵 ms m mn m s n b b a a b b a a C 1 1 1 11 1 11 的秩 2 1 r r 4 设 ij a A 为实数域上的n级矩阵 试证 如果 2 1 n i a a i j ij ii 则 5 设 nn ij a A 为非零矩阵 且A的元素 2 1 n j i a ij 全为实数 证明 若 A 的 每个元素 2 1 n j i a ij 都等于它自己的代数余子式 则秩 n A B 组 1 设 A是一个m 行的矩阵 秩 r A 从 A中任意取s 行 r m s 则 0 A 4 矩阵的秩 达标训练解答 A 组 一 填空题 1 矩阵的行向量组的秩 矩阵的列向量组的秩 秩 2 矩阵的秩小于 n 3 系数矩 阵的秩等于 n 4 非零数 二 解答题 1 解 对矩阵进行初等变换 60 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10 4 0 3 17 7 1 1 10 4 0 1 10 4 0 1 10 4 0 3 17 7 1 1 10 4 0 13 130 52 0 5 50 20 0 3 17 7 1 1 10 4 0 17 40 18 10 7 18 8 4 3 17 7 1 3 17 7 1 17 40 18 10 7 18 8 4 1 10 4 0 A 所以 2 A r 2 解 以 4 3 2 1 为行作矩阵 然后对其进行初等行变换 0 0 0 0 27 23 11 0 0 0 0 0 7 6 3 1 27 23 11 0 27 23 11 0 0 0 0 0 7 6 3 1 15 13 7 6 1 1 1 4 14 12 6 2 7 6 3 1 A 所以 3 1 是 4 3 2 1 的一个极大无关组 3 证明 在C 中任取 1 2 1 r r 个列向量 如果其中含有A的列向量的个数大于 1 r 那 么在C 中所取的 1 2 1 r r 个列向量一定线性相关 否则 其中含有B 的列向量个数大于 2 r 同样地可知 这 1 2 1 r r 列向量线性相关 故 ms m mn m s n b b a a b b a a C 1 1 1 11 1 11 的秩 2 1 r r 4 证明 用反证法 若 0 A 则A的列向量组 n 2 1 线性相关 故存在不全 为零的实数 n k k k 2 1 使 0 2 2 1 1 n kn k k 于是有 0 0 0 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 n nn n n n n n n k a k a k a k a k a k a k a k a k a 不妨设 1 k 是 2 1 n i k i 中最大者 当然 0 1 k 于是由上面的第一个等式可得 n n n n k a k a k a k a k a 1 1 12 1 2 12 1 11 进而有 n a a a 1 12 11 显然与 已知 2 1 n i a a i j ij ii 矛盾 故 0 A 5 证明 显然存在 0 ik a 由行列式的展开定理及题设 0 2 2 2 1 in ik i a a a A 故秩 n A B 组 61 1 证明 如果 r m s 结论显然成立 设 r m s 则 0 t r m s 这时无 论s 行如何取 至少要在线性无关的r 行中取t行 故秩 m s r t B 2 证明 用数学归纳法 1 n 显然成立 假设 1 n 成立 往证对n成立 设矩阵 0 A 不妨设 0 11 a 否则通过消法变换一定能把该元素化为非零的元素 首先把第一行的 11 1 a a i 倍加到第i行 这样把第一列除 11 a 外的元素全变为零 然后把第一列 的 11 1 a a j 倍加到第 j 列 这样把第一行除 11 a 外的元素全变为零 即矩阵A经过消法变换化成 如下形式的矩阵 nn n n b b b b a 2 2 22 11 0 0 0 0 令 nn n n b b b b B 2 2 22 是一个 1 n 级的矩阵 有 归纳假设 通过消法变换B 可以化成对角形矩阵 从而矩阵A化成了对角形矩阵 3 证明 令 nn n n n n a x a x a x a a x a x a x a a B 2 1 2 22 21 1 12 11 则 B x f 是一个实系数多项式 从而当 1 0 i j ij i j ij i j ij ii x a a x a a 由本节 A 组第四题知对任意 1 0 x 都有 0 B 特别地 当 1 x 时有 0 A 如果 0 A 即 0 1 nn nn a a a a a a f 故根据连续函数性质 存在 1 0 0 0 A 5 6 线性方程组有解的判定定理 与线性方程组的解的结构 A 组 一 判断题 1 若含有 n 个未知量 m 个方程的线性方程组的系数矩阵的秩为 n 则方程组有解 2 若含有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组的增广矩阵的秩为 n 则方程组一定有无穷多 解 3 任一线性方程组如只有有限个解 则此线性方程组解的个数必是唯一解 4 若一齐次线性方程组有非零解 系数矩阵的秩为r 则基础解系含r 个解向量 62 5 若一个齐次线性方程组有非零解 则它的基础解系是唯一的 二 解答题 1 求齐次线性方程组的基础解系 0 4 3 6 2 4 0 2 0 3 5 4 3 2 1 4 4 2 1 5 4 2 1 x x x x x x x x x x x x x 2 求线性方程组的全部解 1234 12345 1234 3541 3221 261082 xxxx xxxxx xxxx 3 证明线性方程组 1 2 1 a x x 2 3 2 a x x 1 1 n n n a x x 1 n n a x x 有解的充分必要条件 是 0 1 n i i a 4 设 k 2 1 是某齐次线性方程组的一个基础解系 试证若 k 为偶数 则 1 3 2 2 1 k 也是这个齐次线性方程组的基础解系 5 设线性方程组 n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 证明方程组只有一个解的充分必要 条件是它的导出组只有零解 B 组 1 当 b a 取何值时 方程组 4 2 3 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x bx x x bx x x x ax 有唯一解 无解 有无穷多组解 2 设方程组 m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 有解 其系数矩阵的秩为 1 r 方程 m n mn m m n n n n d x c x c x c d x c x c x c d x c x c x c 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 无解 其系数矩阵的秩为 2 r 令 63 m m mn m mn m n n n n d b c c a a d b c c a a d b c c a a C 1 1 2 2 2 21 2 21 1 1 1 11 1 11 证明 秩 1 2 1 r r C 3 设 行 列 式 0 2 1 2 22 21 1 12 11 nn n n n n a a a a a a a a a 而 ij A 是 元 素 的 代 数 余 子 式 证 明 矩 阵 nn n n n n A A A A A A A A A A 2 1 2 22 12 1 21 11 的秩 1 5 6 线性方程组有解的判定定理与线性方程组的解的结构 达标训练解答 A 组 一 判断题 1 F 2 T 3 F 4 F 5 F 二 二 解答题解答题 1 解 对齐次线性方程组系数矩阵做初等行变换 3 2 1 0 0 0 3 5 0 1 1 0 3 0 0 1 1 3 2 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 3 0 1 1 6 9 0 0 0 1 1 1 1 0 1 3 0 1 1 0 15 6 6 0 2 2 2 2 0 1 3 0 1 1 4 3 6 2 4 0 1 2 1 1 1 3 0 1 1 A 原方程组化为 5 5 5 4 3 3 5 3 2 5 3 1 3 2 3 5 3 4 x x x x x x x x x x x x 分 别 取 0 1 5 3 x x 与 1 0 5 3 x x 则 得 到 该 方 程 组 的 基 础 解 系 64 1 3 2 0 3 5 3 4 0 0 1 1 1 2 1 2 解 解 对增广矩阵做初等行变换 135401135401 132211003212 2610802000000 57 2 130 135401 333 212212 001001 333333 000000000000 因此相应的齐次线性方程组的基础解系为 123 5 221 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3333 而非齐次线性方程组的一个特解为 75 0 0 0 33 所以方程组的全部解为 112233 kkk 3 解 对增广矩阵做初等行变换 n i i n n n a a a a a a a a a a A 1 1 3 2 1 1 3 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 当且仅当 0 1 n i i a 时 A r A r 所以线性方程组 1 2 1 a x x 2 3 2 a x x 1 1 n n n a x x 1 nn xxa 有 解 的 充 分 必 要 条 件 是 0 1 n i i a 在 有 解 时 方 程 组 的 解 为 k x k a x k a a x k a a a x k a a a x n n n n n n 1 1 1 3 3 1 3 2 2 1 2 1 1 其中 P k 4 证明 首先 1 3 2 2 1 k 是该齐次线性方程组的 k 个解 往证它们线 性无关 事实上若 65 0 1 3 2 2 2 1 1 k k x x x 则有 0 0 0 1 3 2 2 1 x x x x x x k 因为 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 k D 所以当 k 为偶数时 1 3 2 2 1 k 也是这个齐次线性方程组的基础解系 5 证明 方程组有唯一解 系数矩阵的秩 增广矩阵的秩 n 线性方程组的导出齐 次线性方程组只有零解 B 组 1 解 a a ab b a a ab b b b b a A 4 4 1 2 1 0 1 0 0 2 1 0 1 4 4 1 2 1 0 1 0 0 3 1 1 4 1 2 1 3 1 1 4 1 1 显然当 0 b 或 1 0 2 1 a b 方程组无解 当 1 0 a b 方程组有唯一解 当 1 0 a b 方程组有无穷多组解 2 证明 又题设知 m mn m m n n b a a a b a a a b a a a A 2 1 2 2 22 21 1 1 12 11 的秩等于 1 r m mn m m n n d c c c d c c c d c c c B 2 1 2 2 22 21 1 1 12 11 的秩 等于 1 2 r 再由本章 4 的 A 组第 4 题不难得到秩 1 2 1 r r C 3 证明 容易证明 A 的列向量是齐次线性方程组 0 AX 的解向量 当秩 1 n A 时 显然存在齐次线性方程组 0 AX 基础解系只有一个向量 因此 A 的列向量组的极大无关组 至多含一个向量 所以秩 1 A 对于秩 1 s s 线性相关的充要条件是 A s 2 1 中的每一个向量都可以有其余向量线性表示 B s 2 1 中有一个向量是 s 2 1 的线性组合 C s 2 1 中至少有一个向量是其余向量的线性组合 D s 2 1 至多有一个向量是其余向量的线性组合 2 n维向量 1 2 1 s s 线性无关的充要条件是 A 有全为零是一组数 s k k k 2 1 使得 0 2 2 1 1 s s k k k B 对任意一组不全为零的数 s k k k 2 1 使得 0 2 2 1 1 s s k k k C s 2 1 任一向量都不是其余向量的线性组合 D 若 0 2 2 1 1 s s k k k 则 0 2 1 s k k k 3 下列命题正确的是 A 一个向量组极大无关组唯一时 该向量组线性无关 B 一个向量组线性无关时 该向量组极大无关组不唯一 C 一个向量组极大无关组不唯一时 该向量组一定线性相关 D 等价的向量组秩相等 二 解答题 1 求方程组 12 5 9 2 4 2 3 2 1 4 2 5 3 2 4 3 2 1 4 3 2 1 4 2 1 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解 2 设向量 可由 r 2 1 线性表示 但不能由 1 2 1 r 线性表示 证明 r 不能由 1 2 1 r 线性表示 r 能由 1 2 1 r 线性表示 3 设矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 2 22 21 1 12 11 mn m m n n b b b b b b b b b B 2 1 2 22 21 1 12 11 mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a C 2 2 1 1 2 2 22 22 21 21 1 1 12 12 11 11 的秩分别是 r r r 2 1 证明 2 1 r r r 67 4 设 s 2 1 是某齐次线性方程组的基础解系 证明 s 2 2 1 也是这个 方程组的基础解系 5 设 t 2 1 为线性方程组 m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 的 t 个解向量 问 在怎样的情况下 t 2 1 的线性组合仍是方程组的解向量 B 卷 一 计算题 1 当 c b a 为何值时 线性方程组 c cz y x b z by x a z y ax 有解 并求其解 2 求方程组 0 12 7 11 6 0 3 2 2 2 x y xy y x y y x 的解 三 证明题 1 设 A为mn矩阵 B 为ns 矩阵 证明 min B r A r AB r 2 为 3 个n维向量 且 线性无关 0 则 和 中至少有一个 线性无关 3 证明方程组 m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 有解的充分必要条件是线性方程组 0 0 0 2 2 1 1 2 2 22 1 12 1 2 21 1 11 m mn n n m m m m y a x a x a y a y a y a y a y a y a 的每个解 2 1 m c c c 都适合方程 0 2 2 1 1 m m b c b c b c 4 设 齐 次 线 性 方 程 组 0 0 0 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的 系 数 矩 阵 的 秩 为 r r n 2 1 为方程组的 r n 个解 并且方程组的任一解都是 r n 2 1 的线性 组合 证明 r n 2 1 是方程组的基础解系 68 5 设 A 为 n 级方阵 A 为 A 的伴随矩阵 试根据 A 的秩讨论 A 的秩 测试题 A 卷 一 多项选择 1 C 2 C D 3 C D 二 解答题 1 解 17 6 12 4 0 9 3 6 0 0 9 3 6 0 0 5 1 3 2 1 12 5 9 2 1 4 2 3 2 1 1 1 0 4 2 5 1 3 2 1 A 0 0 0 0 0 3 1 2 0 0 2 1 0 0 2 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 3 1 2 0 0 2 17 3 6 2 0 5 1 3 2 1 2 17 3 6 2 0 0 0 0 0 0 3 1 2 0 0 5 1 3 2 1 所以方程组的全部解为 k x k x x k x 4 3 2 1 2 1 2 3 4 1 2 1 1 2 证明 若 r 能由 1 2 1 r 线性表示 而 可由 r 2 1 线性表示 由 线性表示的传递性知 可由 1 2 1 r 线性表示 得出矛盾 由题设知存在 r k k k 2 1 0 2 2 1 1 r r r k k k k 从而 r 能由 1 2 1 r 线性表示 3 证明 设 2 2 1 1 1 2 1 r r j j j i i i 分别是矩阵 B A 的行向量组的极大无关组 显然矩阵C 的任一行都能由 2 2 1 1 1 2 1 r r j j j i i i 线性表示 对应于矩阵C 的行 向量 2 2 1 1 1 2 1 r r j j j i i i 则矩阵 C 的行向量能由 2 2 1 1 1 2 1 r r j j j i i i 线性表示 故 2 1 r r r 4 证明 显然 s 2 2 1 是该方程组的s 个解向量 往证它们线性无关 事实上 若 0 2 2 2 1 1 s s k k k 则 0 2 2 1 1 1 s s k k k k 有题设容易 得出 0 2 1 s k k k 故 s 2 2 1 线性无关 是齐次线性方程组的基础解系 5 解 容易证明 t 2 1 的线性组合 t t k k k 2 2 1 1 仍是解向量的充要条 69 件是 1 1 t i i k B 卷 一 计算题 1 解 当 c b a D 1 1 1 1 1 1 0 2 abc c b a 时 方程组有唯一解 这时 对增广矩阵进行初等行变换 ac a ac a c b c b c c c c b b a a 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 当 ac c a b 1 1 1 1 即 0 2 abc c b a 时 方 程 组 有 唯 一 解 这 时 ac a ac a c b c b c c c c b b a a 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 当 1 c b a 时 方程组