中学数学思想方法教学问题的思考_(数学通报).pdf

中学数学思想方法教学问题的思考 程 华 咸阳师范学院数学与信息科学学院 关注数学思想方法教学已成为我国数学教育 的重要特色 在新课程改革中 中学数学内容在 要求和处理上都力图体现出对数学思想方法的注 重 而教师制定教学目标通常都会设有 体现或 渗透某种数学思想方法 这也成为新课程改革以 来的重要变化 然而 教学一线的反馈显示 数学 课堂虽不乏思想方法内容 但一些学生在运用时 一旦面临新的情境依然会不知所措 数学思想方 法还没能被一些学生所内化 中学数学思想 方法教学还存在怎样的问题 原因何在 该如何 提高思想方法教学的成效 笔者结合在陕西省教 育厅校地共建中小学校本研修实验区的工作经 历 对此做了一定的分析思考 中学数学思想方法教学的一些突出问题及其 分析 中学教师从已具备思想方法的教学意识到教 学行为有效还存在着怎样的差距 调研中笔者观 察并感受到 思想方法教学在其内容与方式上 存 在着以下较为突出的问题 重数学方法教学而忽略数学思想的提升 从 数学思想的高度审视数学解法 方法不够 教育部最新颁布的 义务教育数学课程标准 版 中 已将 基本的数学思想 列入了 四 基 与实验稿显著的区别之一是 基本的数学思 想 而非 基本的数学思想方法 其意图正是想要 更加地突出 数学思想 然而调研中 笔者的感受 却是 一些中学教师更重视数学方法教学 从数学 思想的高度提升数学方法的意识与能力还明显欠 缺或不足 以下我们以高中的函数值域为例 案例 求下列函数值域 教师常会引导学生先观察函数结构的特点 针对特点分析 总结出分别运用了判别式法 有界 性法和逆求法 随后针对性练习 学生顺利解答 后 便完成了教学任务 案例 求解下列函数值域 令 则 值域 令 则 值域 槡 令 槡 则 值域 教师一般将重点落在如何 换元 求值域上 反复提醒学生 引入 中间变量 必须先确定范 围 访谈中教师表示 这组习题主要是让学生掌 握 换元法 求值域的步骤 以上案例 显现出一个共同的缺憾 即教学都 欠缺了让学生从掌握方法到领悟方法之上的数学 思想的立意 案例 中 判别式法 有界性法 逆 求法这些方法背后的共同实质是什么 教师不 予追问 其实 从函数与方程思想的高度来思考 函数关系式可以视为 的方程 若方程有解 则 需满足什么条件 便可求得值域 函数与方程思想 便能把这些解法都统领 而案例 中 为什么这些 不同形式的问题都需要 换元 这里 换元法 只是解决问题的途径而已 位于 换元法 之上的 数学通报 年 第 卷 第 期 基金项目 陕西省教育厅专项科研计划项目 基于实证的中学数学思想方法教与学的研究 项目编号 陕西省科技 厅自然科学基金项目 是更深刻的实质 化归思想 化归原则 从复杂 到简单 从高次到低次 把问题分解为简单的基本 函数的思维程序 隐匿在 换元法 里的 化归思 想 没有被教师所揭示 教师不揭示用初等方法求值域 其实质就是 化归及函数与方程思想 学生没有悟得思想 想起 求值域 就会只记起配方法 换元法等 对号入座 地用 短期内可能对解题很有效 但若教学长期都 欠缺从数学思想的高度审视数学解法 方法 会对 学生有序的思维程序和完整关联的知识结构形成 极其不利 较之数学方法 数学思想才更具迁移 性 普适性 为何一些教师更重视数学方法而对数学思想 有意无意的忽略 结合观察与访谈 笔者以为 其 原因即有教师认知的局限 也与数学思想 方法的 特点密切相关 其一 一些教师对数学思想对学生 思维程序形成的作用认识还不充分 对数学解法 方法的本质认识不深刻 比如 若教师对值域解法 的实质 分离常量法 等的指导思想并不清楚 就 会只讲解法不讲思想 其二 教师对一些数学思想 与数学方法概念模糊 数学思想方法 一词常一 起使用 是指对数学内容的本质认识 是数学的指 导思想和一般方法 手段和途径 一些教辅资料 中 数学思想方法 常以具体解题方法呈现 而有 些词如 数形结合 有时称 数形结合思想 有时 又叫 数形结合方法 使教师很容易将思想与方 法混淆 教学中意识不到其只讲了方法并未上升 至思想 其实 在强调指导思想时是数学思想 在 强调具体操作时则是数学方法 数学思想是指对 数学知识的本质和数学规律的理性认识 是从某 些数学内容和对数学认识过程中提炼上升的数学 观点 而数学方法则是从数学的角度提出问题 解 决问题的过程中所采用的各种方式 手段 途径 等 其三 是数学思想 数学方法的层次性特点 数学思想作为数学的观念 是普遍性的 内涵丰 富 而数学方法则是在用数学思想解决具体问题 时 逐渐形成的程序化操作 操作性更强 比如 求 值域总的指导思想是 化归思想 而实现化归的 途径 这里用到了程序化的 换元法 有的则可 能需要一般化与特殊化途径 或合情推理如归纳 类比等途径 显然 数学思想较之数学方法的教学 更具难度 同时又紧密相连 知识形成过程中 数学思想方法的立意突出 不够 渗透 提炼不充分 新课程改革中 力求教学能体现出数学学习 中的一般思考方式 如观察 实验 归纳 类比等方 法 以及一般逻辑推理 证明的方法 和化归 递 推 等价转换 字母表示数的思想等 然而 实践 中在知识形成过程里 对思想方法立意突出仍不 够充 分 笔 者 以 在 咸 阳 市 某 县 听 评 的 一 节 课 为例 案例 相似多边形的性质 二 北师大 版八年级 由镇级中学和西安市某中学两教师同 课异构教学 内容是探究相似三角形周长比 面积 比与其相似比的关系 进而探讨相似多边形的周 长比 面积比 最后 应用性质解决问题 三角形周 长比 用到等比性质 若 则 三角形 面积比问题则要转化为探讨两三角形高之比 相 似多边形的周长比类比三角形 相似多边形的面 积比问题是进行分割 转化为三角形面积之和之 比 再次运用等比性质 关于探究相似多边形面积比 两位教师均以 习题方式 给出 相似比为 的两个相似四边形 求其面积比 引导学生将之先分割为三角形 研 究 相 似 四 边 形 中 与 与 的关系 再利 用 等 比 性 质 由四边形拓展到多边形 获 得 相似多边形面积比等于相似比的平方 城乡教师教学差别很大 但其中一个共性引 起笔者的注意 即思想方法的渗透 提炼不够充 分 而对与考题相关的知识总结不遗余力 比如 对 相似多边形面积比问题 该如何整体思考 你 联想到什么 是怎样研究的 这个问题该如何解 决 还能研究什么 小结中都没有从方法上梳 理 没有指出先求相似四边形面积比的意图 是在 渗透从特殊到一般的化归策略 城市教师对将四 边形 多边形分割为三角形 仅用 转化 一词一带 而过 虽也插问 多边形内角和问题我们是怎样 年 第 卷 第 期 数学通报 解决的 但此核心问题并没有被教师有意突出 便自问自答 可以用类比的方法 而镇中教师 只强调 分割法 甚至没提 化归 两位教师对 分割 的实质是运用化归思想都没有进一步阐 述 但是 教师若不用 类比 先特殊再一般的化 归策略 分解与组合策略 等词提炼出其中的思 维程序 学生自己很难悟得 然而 教师对与中考相关的知识总结却扎扎 实实 尤其城市教师总结出 相似多边形被对角 线分割成的对应三角形相似 其相似比等于相似 多边形的相似比 等结论 并及时对接中考原题 令观摩的镇中教师赞叹 总结了方法 与中考联 系紧 确实教得好 访谈中两位教师表示 没有想到那么多 我们从初一就与中考对接 一节课经常有二三十 道题 其他的都没时间 类似这样对思想方法突 显不足的现象并非个别 笔者在华东师大举办的 中学数学研讨会 圆的周长 一课中看到 合作 交 流 探究都有声有色 然而教师让学生分组测量 从数据归纳出周长公式 这一过程实际蕴含着从 局部推断整体的统计思想 与 动态变化蕴含着 函数 却未被教师指出 初中的调研中笔者发现 课程改革以来 数学课堂的表现形式日趋丰富化 了 但教师对数学内容所涵含的思想方法的思考 却深入不足 而这才是对数学课更为本质的理解 实践显示 中学教师虽不乏思想方法教学的 意识 但却没有切实在教学中突显 考试重压下的 教师效率观 以及教师本身对内隐思想方法认识 的局限 影响到知识形成过程中对思想方法的渗 透与提炼 数学思想方法教学侧重数学解题中的应用 存在习题化倾向 一些教师对课程标准中 体会和运用数学思 想与方法 在理解与实践上还存在着偏差 侧重 将解题作为思想方法学习的途径 内容习题化 笔 者在文献检索中也发现 中学教师研究思想方法 的文章 以数学思想 方法解题功能探讨的最为多 见 精彩的思想方法教学案例少 高质量的个案研 究则更少 教师研究的兴趣点从中可见一斑 将解题教学作为数学思想方法学习的重要途 径 无疑是正确的 学生的解题水平与其数学思想 方法的掌握状况联系很紧密 逻辑思维能力和空 间想象能力需要借助抽象概括 类比猜想 归纳 演绎这些思想方法来指导 而较高层次的运算能 力其实就表现为善于寻求运算途径 而选择途径 又需要化归来导向 问题是 一些教师过多倚重解 题这一途径 而减少了其他的领悟渠道 思想方法教学的习题化现象与考试有着密切 的关系 对思想方法的考察是以试题的形式呈现 怎么考就怎么教 教师偏爱以解题传授思想方 法就极其自然 而这种教法 在短期内甚至立竿见 影 但是 减少了领悟的渠道 又减缩了思维程序 的领悟过程 学生自己数学思想支配下的思维能 力很难强大 教师输入学生头脑的思想与方法 有 时并非是真正的思维程序 可能只是具体情境下 的解题方法而已 一旦 认模式 解题无效后 学生 就 面临新情境时不知所措了 尤其容易忽略的 是 有时学生会解题并非就理解了思想方法的实 质 比如 学生会用数学归纳法作题 未必就真正 理解了 递推 两步骤模式 结构的本质 所以 以解题学习数学思想方法是重要的 但不能偏颇 学生数学思想与方法建构的渠道需要多样化 数学思想方法教学存在注入式 标签式简单 化教法 教师设定教学目标基本都有 体现或渗透某 种数学思想方法 但在落实途径上 教法简单化 问题依然存在 其表现为数学思想方法 例子的 方式教学 在概念 公式学习之后的总结 在解题 教学后的反思中 贴标签式指明该概念 公式获得 以及解题的过程里蕴含怎样的思想方法 比如 案例 在 揭示规律 小试身手 环节 给出习题 已知甲 乙两个多边形相似 其相似比 若两个多边形面积之和为 则多边形甲 的面积为多少 教师随即指出 这是最典型的 方程思想 大家试着做一下 仅此一句而已 随后 学生列方程 解答 教师纠错 便忙于下一题 而其 后有三道练习都涉及方程思想 但是 教师并未提 醒 这些问题其思想方法上的共性是 都体现了方 程思想 拉关系 找已知与未知的联系 隐喻性的数学思想方法 却何以用标签式的 教学 笔者以为 一是教师自身能力有局限 欠缺 有效揭示或渗透的方法 一些教师还未形成结合 具体问题的分析 把某种思想方法融入其中的意 识与能力 二是教师大容量 高密度的教学效率观 数学通报 年 第 卷 第 期 下 师生疲于在习题间奔波 而标签式教学最快 捷 但是 教师悟得的 方程思想 怎么能移植入学 生的头脑 来指导学生的思考过程呢 方程思想 只能是在教师启发下 学生在过程中自悟建构的 标签式 讲授 注入的思想与方法很难内化为学 生的思维程序 数学思想方法教学还存在诸多问题 不再一 一赘述 总之 这些问题归结起来 从内因看 是教 师的素质 而从外因看 既有考试因素的影响又与 数学思想方法自身的特点密切相关 中学数学思想方法教学的几点建议 基于以上分析 笔者仅就中学教师的教学给 出几点建议 第一 思想方法教学要有计划 依规律 受考 试影响三年内容往往要两年教完 而思想方法教 学又长期而分散 因此 首先 教师先要对初中 高 中 教材 本册教材 本节课所要涉及哪些思想方 法 要达到何种层次 学生之前该数学思想方法的 状况 一节课涉及多种思想方法时 哪些是渗透 介绍和突出 一节课其思想方法的线索等等 要先 明确再计划 新课标中对此虽都有涉及 但教师一 定要把课标的分析化为自己内心的认识 其次 教 师要掌握并灵活运用不同教学阶段 教学内容下 思想方法的教学规律 比如 在知识形成阶段 常 用观察 实验 比较 抽象 概括等抽象化 模型化 思想方法 函数 方程 统计等思想方法 在知识结 论推导阶段和解题教学中 会用分类讨论 化归 特殊化与一般化 类比等思想方法 而在知识总结 阶段 宜用公理化 结构化等思想方法等 第二 将思想方法目标与教学环节设计切实 相对应 教师要有思想方法设计的观念与意识 把 思想方法目标与教学流程的设计匹配 一节课涉 及的多种思想方法 怎样详略得当 通过怎样的载 体 怎样的过程与方式 是介绍 渗透或突出何种 思想方法 具体到 设计怎样的师生活动 情境创 设 问题 习题 小结等 预设如何突出运用某种 思想方法的必然性 比如 为什么会采用这个思想 方法 怎么用和什么时候用 应让学生思辨悟到而 不是贴标签地简单告知 第三 教师要探索多渠道的学生思想方法建 构的途径 首先 在概念 公式形成过程中实施局 部探究 是建构的基本渠道 如案例 中探究问题 为 相似三角形重要的特征是相似比 其周长 比 面积比与相似比会有怎样的关系 三角形 面积比问题可以转化为求高之比 相似三角形高 线 中线 角平分线之比与相似比又存在什么关 系 研究了三角形周长比 面积比 如何研究相 似多边形的周长比 面积比 最好启发学生自己 提出 检索类比物 教师要珍视概念形成过程中学 生每一次思想方法学习的机会 比如 等差数列后 研究等比数列时 体会如何运用类比法 获得等比 数列的概念 性质 其次 教师可尝试如课题学习 问题解决 研究性学习甚至数学游戏等思想方法 学习的新途径 诸如引入微软招聘试题 请估算 一下上海东方明珠电视塔的质量 类问题 以感受 思想方法对思维程序的意义 再次 教师要把对思 想方法的思维示范 与学生独立概括相结合 比 如 可以先让学生做阅读批注 先自行提炼思想方 法 教师再概括等 虽然 我们无法回避应试 但是 教师一定要超越应试 一旦拥有从思想方法高度 审视教学素材的意识 其途径与方法就会日趋 多样 第四 中学教师应当拓展思想方法的研究面 教育研究表明 教师所具有的学科深度决定了其 教学高度 教师的数学素养要在研习中提高 除解 题研究外 如对中学生某种数学思想方法形成的 心理过程 分学段或领域初中 高中数学思想方法 教学的分段目标以及教学衔接 目标与落实途径 落实效果的整合等问题 都应尝试 这些问题的思 考对改 善 教 师 经 验 化 的 思 想 方 法 教 学 会 大 有 裨益 结束语 在中学阶段 数学的知识虽然初等 但是初等 数学中蕴含的数学思想和方法一样的丰富和深 刻 如何把这些内隐的思想方法用适宜的教学显 化 如何让学生从掌握数学方法到领悟数学思想 并能成为其思维程序 不仅对中学教师提出了很 高的要求 同时 对师范院校的职前教育与职后培 训 其内容与形式也都需要反思 如何从学术形态 的数学思想方法研究到教育形态的思想方法研 究 如何从思想方法的角度研究教师教学方式 学 生学习方式 以及有示范价值的思想方法教学案 例开发 等等问题都迫切需要数学教育的研究者 和一线的教师共同携手 下转第 页 年 第 卷 第 期 数学通报 地方发现疑义 这才是长进 教师要抛出有针对性 的学习检测问题 如 为什么这样做 问题都解决 了吗 等 以此来激发学生提出学习问题 问惑 学习疑惑的产生说明学生的思维被激活了 其中 为什么 一旦被提出 一些学习疑惑可 自 明 但也有一些学习疑惑需要教师继续引导学生 思考 此时 教师不要急于揭开这些学习疑惑的 面纱 而要 问惑 包括给学生思考问题的线索 和时间 思考问题的线索 首先 教师要注意进行 反问 和 追问 学生 的回答就是其学习疑惑的相关反映 所以 教师需 抓住学生回答中的关键点或矛盾点 采取 反问 和 追问 等教学策略来提供他们继续深入思考问 题的线索 其次 教师要注意进行 方法性提问 方法 性提问 可帮助学生明确思考方向 使其疑惑在 体会 辨析 修正 检验 中逐渐得到解决 其中 教师须依据学生的思维情况采取 由远及近 的元 认知提示语 即提问不直接指向具体的研究内容 其目的在于激发学生的元认知调控 从运用 较多元认知成分到较少元认知成分直到最后运用 认知提问 思考问题的时间 首先 教师要有等待意识 疑惑的解决需要一 个过程 而且学生在该过程中还会遇到新的疑惑 这就需要教师耐心 需要教师具有等待意识 要留 给学生思考问题的必要时间 而不是急于说出问 题的结论 其次 教师要提供学生表达想法的机会 疑惑 的解决终究要靠学生自己 教师只是一个帮助者 引导者 如果教师自行进行解答 不提供学生表达 想法的机会 那么教师的讲解不易 对症下药 一 般说来 教师提供学生表达想法的机会体现在两 方面 在学生合作交流的基础上分组发表意见 在 学生独立思考的基础上学生个人发表意见 其中 教师应注意表扬