湖北省巴东一中高中数学 直线、平面平行的判定及其性质教案 新人教版必修2.docVIP

2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定一、教材分析 空间里直线与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用较多，而且是学习平面与平面平行的基础.空间中直线与平面平行的定义是以否定形式给出的用起来不方便，要求学生在回忆直线与平面平行的定义的基础上探究直线与平面平行的判定定理.本节重点是直线与平面平行的判定定理的应用.二、教学目标1知识与技能（1）理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；2过程与方法学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理.3情感、态度与价值观（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想.三、教学重点与难点 如何判定直线与平面平行.四、课时安排 1课时五、教学设计（一）复习 复习直线与平面平行的定义：如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.（二）导入新课思路1.(情境导入) 将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘ab所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？思路2.(事例导入) 观察长方体（图1），你能发现长方体abcdabcd中，线段ab所在的直线与长方体abcdabcd的侧面cddc所在平面的位置关系吗？图1（三）推进新课、新知探究、提出问题回忆空间直线与平面的位置关系.若平面外一条直线平行平面内一条直线，探究平面外的直线与平面的位置关系.用三种语言描述直线与平面平行的判定定理.试证明直线与平面平行的判定定理.活动：问题引导学生回忆直线与平面的位置关系.问题借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题引导学生进行语言转换.问题引导学生用反证法证明.讨论结果：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.直线a在平面外，是不是能够断定a呢？不能！直线a在平面外包含两种情形：一是a与相交，二是a与平行，因此，由直线a在平面外，不能断定a.若平面外一条直线平行平面内一条直线，那么平面外的直线与平面的位置关系可能相交吗？既然不可能相交，则该直线与平面平行.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.符号语言为：.图形语言为：如图2.图2证明：ab，a、b确定一个平面，设为.a，b.a，a，和是两个不同平面.b且b，=b.假设a与有公共点p,则p=b，即点p是a与b的公共点，这与已知ab矛盾.假设错误.故a.（四）应用示例思路1例1 求证空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.已知空间四边形abcd中，e、f分别是ab、ad的中点.求证：ef面bcd.活动：先让学生思考或讨论，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.证明：如图3,连接bd,图3ef面bcd.所以,ef面bcd.变式训练 如图4,在abc所在平面外有一点p，m、n分别是pc和ac上的点，过mn作平面平行于bc，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法.图4画法：过点n在面abc内作nebc交ab于e，过点m在面pbc内作mfbc交pb于f，连接ef，则平面mnef为所求，其中mn、ne、ef、mf分别为平面mnef与各面的交线.证明：如图5,图5.所以,bc平面mnef.点评：“见中点，找中点”是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明线线平行.例2 如图6，已知ab、bc、cd是不在同一平面内的三条线段，e、f、g分别为ab、bc、cd的中点.图6求证：ac平面efg，bd平面efg.证明：连接ac、bd、ef、fg、eg.在abc中，e、f分别是ab、bc的中点,acef.又ef面efg，ac面efg,ac面efg.同理可证bd面efg.变式训练 已知m、n分别是adb和adc的重心，a点不在平面内，b、d、c在平面内，求证：mn.证明：如图7,连接am、an并延长分别交bd、cd于p、q，连接pq.图7m、n分别是adb、adc的重心，=2.mnpq.又pq，mn,mn.点评：利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.思路2例题 设p、q是边长为a的正方体ac1的面aa1d1d、面a1b1c1d1的中心,如图8,（1）证明pq平面aa1b1b；（2）求线段pq的长.图8(1)证法一：取aa1,a1b1的中点m,n,连接mn,nq,mp,mpad,mp=,nqa1d1,nq=,mpnd且mp=nd.四边形pqnm为平行四边形.pqmn.mn面aa1b1b,pq面aa1b1b,pq面aa1b1b.证法二：连接ad1,ab1,在ab1d1中,显然p,q分别是ad1,d1b1的中点,pqab1,且pq=.pq面aa1b1b,ab1面aa1b1b,pq面aa1b1b.(2)解:方法一:pq=mn=.方法二：pq=.变式训练 如图9，正方体abcda1b1c1d1中，e在ab1上，f在bd上，且b1e=bf.图9求证：ef平面bb1c1c.证明：连接af并延长交bc于m，连接b1m.adbc,afdmfb.又bd=b1a，b1e=bf,df=ae.efb1m，b1m平面bb1c1c.ef平面bb1c1c.（五）知能训练 已知四棱锥pabcd的底面为平行四边形,m为pc的中点,求证:pa平面mbd.证明：如图10,连接ac、bd交于o点,连接mo,图10o为ac的中点,m为pc的中点,mo为pac的中位线.pamo.pa平面mbd,mo平面mbd,pa平面mbd.（六）拓展提升 如图11，已知平行四边形abcd和平行四边形acef所在的平面相交于ac,m是线段ef的中点.图11求证:am平面bde.证明：设acbd=o，连接oe，o、m分别是ac、ef的中点，acef是平行四边形，四边形aoem是平行四边形.amoe.oe平面bde，am平面bde，am平面bde.（七）课堂小结知识总结：利用线面平行的判定定理证明线面平行.方法总结：利用平面几何中的平行线截比例线段定理，三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.（八）作业 课本习题2.2 a组3、4.2.2.3 直线与平面平行的性质一、教材分析 上节课已学习了直线与平面平行的判定定理,这节课将通过例题让学生体会应用线面平行的性质定理的难度，进而明确告诉学生：线面平行的性质定理是高考考查的重点，也是最难应用的两个定理之一.本节重点是直线与平面平行的性质定理的应用.二、教学目标1知识与技能掌握直线与平面平行的性质定理及其应用.2过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型性质及其应用.3情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力.（2）进一步体会类比的作用.（3）进一步渗透等价转化的思想.三、教学重点与难点教学重点：直线与平面平行的性质定理.教学难点：直线与平面平行的性质定理的应用.四、课时安排1课时五、教学设计（一）复习 回忆直线与平面平行的判定定理：（1）文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（2）符号语言为：（3）图形语言为：如图1.图1（二）导入新课思路1.(情境导入) 教室内日光灯管所在的直线与地面平行，是不是地面内的所有直线都与日光灯管所在的直线平行？思路2.(事例导入) 观察长方体（图2），可以发现长方体abcdabcd中，线段ab所在的直线与长方体abcdabcd的侧面cddc所在平面平行，你能在侧面cddc所在平面内作一条直线与ab平行吗？图2（三）推进新课、新知探究、提出问题回忆空间两直线的位置关系.若一条直线与一个平面平行，探究这条直线与平面内直线的位置关系.用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.试证明直线与平面平行的性质定理.应用线面平行的性质定理的关键是什么？总结应用线面平行性质定理的要诀.活动:问题引导学生回忆两直线的位置关系.问题借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题引导学生进行语言转换.问题引导学生用排除法.问题引导学生找出应用的难点.问题鼓励学生总结，教师归纳.讨论结果：空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面.若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交（可用反证法证明）,所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种，即平行或异面. 怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢（排除异面的情况）？经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 这个定理用符号语言可表示为：这个定理用图形语言可表示为：如图3.图3已知a，a，=b.求证：ab.证明：应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面.应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”.（四）应用示例思路1例1 如图4所示的一块木料中，棱bc平行于面ac.图4(1)要经过面ac内的一点p和棱bc将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与面ac是什么位置关系？活动:先让学生思考、讨论再回答，然后教师加以引导.分析：经过木料表面ac内的一点p和棱bc将木料锯开,实际上是经过bc及bc外一点p作截面,也就是找出平面与平面的交线.我们可以由线面平行的性质定理和公理4、公理2作出.解：（1）如图5，在平面ac内，过点p作直线ef,使efbc，图5并分别交棱ab、cd于点e、f.连接be、cf.则ef、be、cf就是应画的线.(2)因为棱bc平行于面ac，平面bc与平面ac交于bc，所以bcbc.由（1）知，efbc，所以efbc.因此be、cf显然都与平面ac相交.变式训练 如图6，a,a是另一侧的点，b、c、da，线段ab、ac、ad交于e、f、g点，若bd=4，cf=4，af=5，求eg.图6解：aa，a、a确定一个平面，设为.ba，b.又a，ab.同理ac，ad.点a与直线a在的异侧,与相交.面abd与面相交，交线为eg.bd，bd面bad，面bad=eg,bdeg.aegabd.(相似三角形对应线段成比例)eg=.点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，直线与交线平行，如果再需要过已知点，这个平面是确定的.例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.如图7.图7已知直线a,b,平面,且ab,a,a,b都在平面外.求证：b.证明：过a作平面,使它与平面相交,交线为c.a,a,=c,ac.ab,bc.c,b,b.变式训练 如图8,e、h分别是空间四边形abcd的边ab、ad的中点，平面过eh分别交bc、cd于f、g.求证：ehfg.图8证明：连接eh.e、h分别是ab、ad的中点,ehbd.又bd面bcd，eh面bcd,eh面bcd.又eh、面bcd=fg,ehfg.点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，则直线与交线平行.思路2例1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.如图9.图9已知ab,a，b，=c.求证：cab.证明：变式训练 求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.图10已知：如图10,a,a,=b，求证：ab.证明：如图10，过a作平面、，使得=c，=d，那么有点评：本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路.例2 如图11，平行四边形efgh的四个顶点分别在空间四边形abcd的边ab、bc、cd、da上，求证：bd面efgh，ac面efgh.图11证明：efgh是平行四边形变式训练 如图12，平面efgh分别平行于cd、ab，e、f、g、h分别在bd、bc、ac、ad上，且cd=a，ab=b，cdab.图12（1）求证：efgh是矩形；（2）设de=m,eb=n,求矩形efgh的面积.(1)证明：cd平面efgh，而平面efgh平面bcd=ef,cdef.同理hgcd,efhg.同理hegf，四边形efgh为平行四边形.由cdef，heab，hef为cd和ab所成的角.又cdab，heef.四边形efgh为矩形.（2）解：由（1）可知在bcd中efcd，de=m，eb=n,.又cd=a,ef=.由heab,.又ab=b,he=.又四边形efgh为矩形,s矩形efgh=heef=.点评：线面平行问题是平行问题的重点，有着广泛应用.（五）知能训练求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.已知：a、b是异面直线.求证：过b有且只有一个平面与a平行.证明：(1)存在性.如图13，图13在直线b上任取一点a，显然aa.过a与a作平面,在平面内过点a作直线aa,则a与b是相交直线，它们确定一个平面，设为,b，a与b异面，a.又aa，a，a.过b有一个平面与a平行.(2)唯一性.假设平面是过b且与a平行的另一个平面,则b.ab，a.又a，与相交，设交线为a，则aa.a，a，=a,aa.又aa，aa.这与aa=a矛盾.假设错误，故过b且与a平行的平面只有一个.综上所述，过b有且只有一个平面与a平行.变式训练 已知：a，a，ab，且ba.求证：b.证明：假设b，如图14，图14设经过点a和直线a的平面为，=b, a，ab(线面平行则线线平行).又ab，bb,这与bb=a矛盾.假设错误.故b.（六）拓展提升 已知：a,b为异面直线,a,b,a,b,求证:.证明：如图15，在b上任取一点p，由点p和直线a确定的平面与平面交于直线c，则c与b相交于点p.图15变式训练 已知ab、cd为异面线段，e、f分别为ac、bd中点，过e、f作平面ab.（1）求证：cd;（2）若ab=4，ef=，cd=2，求ab与cd所成角的大小.（1）证明：如图16，连接ad交于g，连接gf,图16ab，面adb=gfabgf.又f为bd中点,g为ad中点.又ac、ad相交，确定的平面acd=eg,e为ac中点，g为ad中点,egcd.（2）解：由（1）证明可知：ab=4,gf=2,cd=2,eg=1,ef=.在egf中，由勾股定理,得egf=90,即ab与cd所成角的大小为90.（七）课堂小结 知识总结:利用线面平行的性质定理将直线与平面平行转化为直线与直线平行. 方法总结:应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面,是最难应用的定理之一;应让学生熟记:“过直线作平面，把线面平行转化为线线平行”.（八）作业 课本习题2.2 a组5、6.2.2.2 平面与平面平行的判定2.2.4 平面与平面平行的性质一、教材分析 空间中平面与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法；面面平行的性质定理又给出了由面面平行转化为线线平行的方法，所以本节在立体几何中占有重要地位.本节重点是平面与平面平行的判定定理及其性质定理的应用.二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握平面与平面平行的判定定理；（2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用（3）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；2、过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型理解及其应用3、情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；（2）进一步体会类比的作用；（3）进一步渗透等价转化的思想。三、教学重点与难点教学重点:平面与平面平行的判定与性质.教学难点:平面与平面平行的判定.四、课时安排 1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.(情境导入) 大家都见过蜻蜓和直升飞机在天空飞翔，蜻蜓的翅膀可以看作两条平行直线，当蜻蜓的翅膀与地面平行时，蜻蜓所在的平面是否与地面平行？直升飞机的所有螺旋桨与地面平行时，能否判定螺旋桨所在的平面与地面平行？由此请大家探究两平面平行的条件.思路2.(事例导入) 三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在的平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？下面我们讨论平面与平面平行的判定问题.（二）推进新课、新知探究、提出问题回忆空间两平面的位置关系.欲证线面平行可转化为线线平行，欲判定面面平行可如何转化？找出恰当空间模型加以说明.用三种语言描述平面与平面平行的判定定理.应用面面平行的判定定理应注意什么？利用空间模型探究：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？回忆线面平行的性质定理，结合模型探究面面平行的性质定理.用三种语言描述平面与平面平行的性质定理.应用面面平行的性质定理的难点在哪里？应用面面平行的性质定理口诀是什么？活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.问题引导学生回忆两平面的位置关系.问题面面平行可转化为线面平行.问题借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题引导学生进行语言转换.问题引导学生找出应用平面与平面平行的判定定理容易忽视哪个条件.问题引导学生画图探究，注意考虑问题的全面性.问题注意平行与异面的区别.问题引导学生进行语言转换.问题作辅助面.问题引导学生自己总结，把握面面平行的性质.讨论结果：如果两个平面没有公共点，则两平面平行若=,则.如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若=ab,则与相交.两平面平行与相交的图形表示如图1.图1由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行.这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点，那么这两个平面就不可能平行了. 另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则，这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面. 由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多少条直线（且直线与直线应具备什么位置关系）与另一面平行，才能判定两个平面平行呢？如图2,如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行，两个平面不一定平行.图2例如：aa平面aadd,aa平面dccd;但是,平面aadd平面dccd=dd.如图3,如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，两个平面也不一定平行.图3例如：aa平面aadd,ef平面aadd,aa平面dccd,ef平面dccd;但是,平面aadd平面dccd=dd.如图4,如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面一定平行.图4例如：ac平面abcd,bd平面abcd,ac平面abcd,bd平面abcd;直线ac与直线bd相交.可以判定,平面abcd平面abcd.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.以上是两个平面平行的文字语言，另外面面平行的判定定理的符号语言为：若a，b，ab=a,且a,b，则.图形语言为：如图5,图5利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：()有两条直线平行于另一个平面;()这两条直线必须相交.尤其是第二条学生容易忽视，应特别强调.如图6,借助长方体模型，我们看到，bd所在的平面ac与平面ac平行，所以bd与平面ac没有公共点.也就是说，bd与平面ac内的所有直线没有公共点.因此，直线bd与平面ac内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线.图6直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.因为，直线bd与平面ac内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线，只要过bd作平面bddb与平面ac相交于直线bd，那么直线bd与直线bd平行. 如图7.图7两个平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.两个平面平行的性质定理用符号语言表示为：ab.两个平面平行的性质定理用图形语言表示为：如图8.图8应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.应用线面平行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线.”（三）应用示例思路1例1 已知正方体abcda1b1c1d1，如图9,求证：平面ab1d1平面bdc1.图9活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价.证明：abcda1b1c1d1为正方体，d1c1a1b1,d1c1=a1b1.又aba1