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初 二 数 学 预 习 提 纲 第十一章 全等三角形 11 1 全等三角形 知识点一 全等形的概念及性质 1 两个能够完全重合的图形叫做 全等形 2 全等图形的形状和大小都相同 详解 1 只有当两个图形的形状和大小都相等时 这两个图形才是全等形 与它们所在 的位置没有关系 看两个图形是否全等 只要把他们叠合在一起 看是否重合 重合即为 全等形 2 两个全等形周长相等 面积相等 知识点二 全等三角形及其有关概念 1 能够完全重合的两个三角形叫做 全等三角形 2 两个三角形全等 互相重合的顶点叫做对应顶点 互相重合的面边作对应边 互相重合 的角叫做对应角 3 全等 用符号 表示 读作 全等于 其中 表示形状相同 表示大小相等 合起来就是形状相同 大小相等 这就是全等 详解 1 记两个全等三角形时 通常把对应顶点的字母写在对应的位置上 这样对应的 两个字母为端点的线段是对应边 对应的三个字母是对应角 2 在寻找全等三角形的对 应边和对应角时 常用的方法有 全等三角形对应角所对的边是对应边 两个对应角所 夹的边是对应边 全等三角形对应边所对的角是对应角 两条对应边所夹的角是对应 角 公共边一定是对应边 公共角一定是对应角 对顶角一定是对应角 全等三角形 中一对最短的边 或最小的角 是对应边 或对应角 一对最长的边 或最大的角 是对应边 或对应角 3 全等形可以看作是一种变换 变换前后重合的元素即为对应元素 知识点三 全等三角形的性质 1 全等三角形的对应边相等 2 全等三角形的对应角相等 详解 1 在应用全等三角形的性质时要确定两个三角形全等并找出对应关系 2 全等三 角形是证明线段相等或角相等的依据 3 全等三角形的周长相等 面积相等 对应边上 的中线相等 对应角的角平分线相等 对应边上的高相等 知识点四 全等变换 1 只改变图形的位置 而不改变其形状 大小的图形变换叫做 全等变换 详解 1 平移变换 把图形沿某条直线平行移动 这种变换叫做 平移变换 2 翻折变 换 将图形沿直线翻折180 这种变换叫做 翻折变换 3 旋转变换 将图形绕某点旋 转一定的角度到另一个位置 这种变换叫做 旋转变换 4 经过图形变化 图形的一些 性质改变了 但形状 大小不发生改变 5 变换前后的图形全等 6 翻折 平移 旋转是 全等的基本变换方式 11 2 三角形全等的判定 知识点一 边边边公理 1 三边对应相等的两个三角形全等 简写成 边边边 或 SSS 详解 1 要用 SSS 判断两个三角形全等 应设法确定这两个三角形的三条对应边对应相 等 2 判断两个三角形全等的推理过程 叫做证明三角形全等 3 在列举两个三角形全 等时 把三个条件按顺序排列 并用大括号将它们括起来 知识点二 边角边公理 1 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 简写成 边角边 或 SAS 详解 1 SAS 指判定两个三角形全等的条件是两条边及这两条边的夹角对应相等 2 在列举两个三角形全等的条件时 要把夹角相等写在中间 知识点三 角边角公理 1 两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等 简写成 角边角 或 ASA 详解 1 用 ASA 定理来判断两个三角形全等 一定要证明这两个三角形有两个角以及这 两个角的夹边对应相等 2 在书写两个三角形全等时 一定要把夹边写在中间 知识点四 角角边定理 1 两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 简写成 角角边 或 AAS 详解 1 用 AAS 定理来判断两个三角形全等 要注意边是其中一角的对应边 三个条件 一定要对应 按角边顺序列出全等的三个条件时要有顺序的对应 知识点五 直角三角形全等的条件 1 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 简写成 直角边 或 HL 详解 1 这句话的前半部分包含了三个元素 即一条斜边 一条直角边和一个直角对应相 等 2 应用 斜边 直角边 判定两个直角三角形全等的过程中必须在两个三角形前加上 RT 知识点六 两个三角形不一定全等 详解 1 在两个三角形中三对边和三对角对应相等这六个元素中满足其中一个或两个对 应相等 那么这两个三角形不一定全等 2 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三 角形不一定全等 3 有三个内角分别对应相等的两个三角形不一定全等 11 3角的平分线的性质知识点一 角平分线的画法 详解 1 通过运用平分角的仪器平分已知角 是运用仪器的特征 三边对应相等的两个三 角形全等和全等三角形的对应角相等 来平分角 知识点二 角的平分线的性质 1 角的平分线上的点到角两边的距离相等 知识点三 角的平分线的判定 1 角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上 知识点四 文字命题的证明 详解 一般情况下 我们要证明一个几何中的命题时 会按照以下的步骤进行 1 明确 命题中的已知和求证 2 根据题意 画出几何图形 并用数学符号表示已知和求证 3 经过分析 找出由已知推出求证的途径 写出证明过程 知识点五 三角形角平分线的性质 详解 1 三角形三条角分线交于一点 这一点到三边的距离相等 2 三角形两个外角的 平分线也交于一点 这一点到三边所在的直线的距离相等 3 三角形外角平分线交点共 有三个 所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个 第十二章 轴对称 12 1 轴对称 知识点一 轴对称图形与对称轴 1 如果一个图形沿一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 这个图形就叫做 轴对 称图形 2 如果一个图形沿某一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 这条直线就是这个图 形的 对称轴 详解 1 轴对称图形指的是一个特定的图形 它被对称轴分成的两部分互相重合 2 对 称轴是一条直线 不是线段 射线 它可以是一条 也可以是多条 甚至是无数条 知识点二 轴对称 1 对于两个图形 如果沿一条直线对折后 它们能够完全重合 那么这两个图形形成 轴 对称 2 对称点 两个图形折叠后重合的点是 对应点 叫做关于这条直线的 对称点 详解 1 轴对称的前提是存在两个图形 一条直线 即两个图形关于这条直线对称 这 两个图形不仅全等 而且具有一种特殊的位置关系 2 轴对称与轴对称图形的区别于联 系 区别 轴对称涉及两个图形 而轴对称图形是对一个图形而言 轴对称描述的 是两个图形的位置关系 而轴对称图形是一个具有特殊形状的图形 轴对称图形反映的 是这个图形自身的对称性 他至少有一条对称轴 联系 都有沿某条直线折叠后重合这 一条件 这条直线称为对称轴 一个轴对称图形被对称轴分成轴对称的两个图形 把轴 对称图形的两个图形看做一个整体时 就成为一个轴对称图形 知识点三 线段的垂直平分线的定义 1 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 叫做这条线段的 垂直平分线 也叫这条线 段的 中垂线 详解 1 线段是轴对称图形 其对称轴是它本身所在的直线和它的垂直平分线 2 线段 的垂直平分线与线段垂直 3 线段的垂直平分线经过线段的中点 即平分线段 知识点四 轴对称 轴对称图形的性质 1 轴对称及轴对称图形的性质 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 2 如果两个 图形关于某条直线对称 那么对策海南州是对应点连线的垂直平分线 3 如果两个图形 的对应点连线被同一条直线垂直平分 那么这两个图形关于这条直线成轴对称 详解 1 如果两个图形关于某条直线对称 那么对称轴是是任何一对对应点所连线段的 垂直平分线 即对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点 并且垂直于这条线段 类似 的 轴对称图形的对称轴 是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 2 无论是轴对称 图形还是两个图形成轴对称 对折后两部分是完全重合的 即对应线段相等 对应角相 等 所以成轴对称的两个图形全等 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形 那么 这两个图形全等 并且这两个图形成轴对称 知识点五 线段垂直平分线的性质 1 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个短点的距离相等 知识点六 线段的垂直平分线的判定 1 线段的垂直平分线的判定 与一条线段和两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平 分线上 详解 1 直线上有两个 与一条线段两个端点距离相等 的点 即可判断直线在线段的垂 直平分线上 2 线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点的距离相等的所有点的集 合 3 线段垂直平分线的性质与判定互为逆定理 知识点七 对称轴的画法 1 如果两个图形形成轴对称 其对称轴就是任何一对对应点所在线段的垂直平分线 2 作对称轴的前提是两个图形成轴对称或一个图形是轴对称图形 12 2 作轴对称图形 知识点一 轴对称变换 1 由一个平面图形得到它轴对称图形叫做 轴对称变换 2 轴对称变换的实质时图形的翻折 由翻折得到的图形是 全等图形 详解 1 轴对称变换的性质 对称轴位置发生变化是 得到的图形的位置也会发生 变化 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L对称的图形 这个图形与原图形的形 状 大小完全一样 新图形上的每一点 都是原图形上的某一点关于直线小写L的对称 点 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 2 成轴对称的两个图形中的任何 一个图形都可以可以看作由另一个图形经过轴对称变换得到的 知识点二 作轴对称图形 详解 1 几何图形可以看做是由点组成的 分别作出这些点关于对称轴的对应点 连接 这些对应点 得到原图形的轴对称图形 2 由直线 线段或射线组成的图形 作出图形 中一些特殊点的对称点 连接这些对称点 得到原图形的轴对称图形 3 将平移和轴对 称结合起来 可以设计出更美丽的图案 知识点三 用坐标表示轴对称 详解 1 关于x轴对称点的坐标特征是 横坐标相同 纵坐标互为相反数 2 关于y轴 对称点的坐标特征是 横坐标互为相反数 纵坐标相同 知识点四 画关于轴对称的几何图形 详解 1 利用平面直角坐标系中与已知关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律 可以在平 面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形 2 具体做法 先求出已知图 形中的一些能确定图形的特殊点的对称点的坐标 描出并连接这些点 就可以得到这个图 形的轴对称图形 知识点五 画关于直线x m或y n m n为常数 对称的图形 详解 1 点 a b 关于直线x m对称的点坐标为 2m a b 即对称点两横坐标的平均值为 m 纵坐标不变 2 点 a b 关于直线y n对称的点坐标为 a 2n b 即对称点横坐标不 变 两纵坐标的平均值为n 12 3 等腰三角形 知识点一 等腰三角形的定义 1 有两条边相等的三角形叫做 等腰三角形 2 等腰三角形中 相等的两条边叫做 腰 另一条边叫做 底边 3 等腰三角形中 两腰夹角叫做 顶角 底边与腰的夹角叫做 底角 详解 1 等腰三角形是特殊的三角形 它有关边角的名称是以相等的边为腰 第三边为 底 两腰夹角为顶角等 与三角形的摆放位置无关 不是最底下的边是底边 知识点二 等腰三角形的性质1 1 等腰三角形的两个底角相等 可简写成 等边对等角 详解 1 等边对等角 是指在同一个三角形中 边相等则对角相等 它是证明角相等的 重要定理 知识点三 等腰三角形的性质2 1 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 可简写成 三线合一 知识点四 等腰三角形的判定 1 利用定义来判定 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 2 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 简称 等角对等边 详解 1 等腰三角形的定义既体现了等腰三角形的性质也可以作为等腰三角形的判定 2 等腰三角形的性质 等边对等角 与等腰三角形的判定 等角对等边 互为逆定理 知识点五 等边三角形的概念 1 三边都相等的三角形叫做 等边三角形 详解 1 由定义可知 等边三角形是一种特殊的等腰三角形 也就是说等腰三角形包括 等边三角形 因而等边三角形具有等腰三角形的一切性质 2 等边三角形有三条对称 轴 故三边上均有 三线合一 的性质 其三条中线交于一点 称其为 中心 知识点六 等边三角形的性质 1 等边三角形的三个内角都相等 并且每一个角都等于60 详解 1 等边三角形具有等腰三角形的所有性质 2 等边三角形的三个都相等 知识点七 等边三角形的判定 1 三条边都相等的三角形是等边三角形 2 三个角都相等的三角形是等边三角形 3 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形 知识点八 含30 角的直角三角形 1 在直角三角形中 如果一个锐角等于30 那么它所对的直角边是斜边的一半 详解 1 两个含30 角的直角三角形将长直角边拼接 可得到一个等边三角形 第十三章 实数 13 1 平方根 知识点一 算术平方根 1 如果一个正数x的平方等于a 即x2 a 那么这个正数x叫做a的 算术平方根 a的算术 平方根记作 a 读作 根号a a叫做 被开方数 详解 1 正数的算术平方根是正数 零的算术平方根是零 负数没有算术平方根 也就 是说 当式子 a有意义时 a一定表示一个非负数 知识点二 平方根 1 如果一个数的平方等于a 那么这个数叫做a的 平方根 或 二次方根 详解 1 平方根与平方数是两种互逆运算的结果 2 只有非负数 正数和零 才有平方 根 负数没有平方根 正数的平方根是互为相反数的两个数 记作 a 零的平方根 就是零 3 a 是算数平方根专用的记号 它表示两个意思 一是对根号内的非负数 a进行开方运算 是一种运算符号 二是表示非负数a开平方所得的平方根中的算数平方 根 又是性质符号 知识点三 开平方 1 求一个数a a 0 的平方根的运算叫 开平方 详解 1 开平方与平方互为逆运算 知识点四 用计算器求一个正数的算数平方根 详解 1 在求某些数的算数平方根时 有些数据比较大或很小或很不易求出时 可以利 用计算器求算术平方根 直接快速地求出这个数的算数平方根 13 2 立方根 知识点一 立方根 1 如果一个数的立方等于a 那么 这个数就叫做a的 立方根 或 三次方根 详解 1 立方与开立方互为逆运算 2 平方根与立方根的联系 都与相应的乘方运算 互为逆运算 0的平方根和立方根都是0 知识点二 开立方 1 求一个数的立方根的运算 叫做 开立方 详解 1 由于负数也有立方根 因而求a的相反数的立方根也可以转化为求a的立方根的 相反数 知识点三 用计算器求立方根 详解 1 在求某个数的立方根时 有时因为这个数比较复杂 或者难于求出时 可以借 助计算器 13 3 实数 知识点一 有理数与无理数 1 有限小数和无限循环小数都称为 有理数 2 无限不循环小数称为 无理数 详解 1 无理数的特征 无理数的小数部分位数无限 无理数的小数部分不循环 不能表示成分数形式 2 常见的无理数有三类 含 类 看似循环而实质不循环的 数 带有根号的数 但根号下的数字开不尽方 知识点二 实数 1 有理数和无理数统称为 实数 详解 1 实数的分类 按定义分类 实数 有理数正有理数 有限小数或无限循环小数零负有理数无理数正无理数无限不循环小数负无理数 按大小分 类 实数 正实数正有理数正整数正分数 正无理数 零 负实数负有理数负整数负分数 负无理数 2 实数与数轴上的点是一一对应的 即任何 一个实数在数轴上都有唯一的一个点与它对应 反之 数轴上任何一个点都对应着一个实 数 知识点三 实数大小的比较 详解 1 在数轴上对应的两个数 右边的总比左边的大 2 正实数大于0 负实数小于 0 两个负数 绝对值大的反而小 知识点四 实数的运算 详解 1 有理数的大小比较法则在实数范围内仍然成立 2 对于实数a b 有如下性 质 若a与b互为相反数 则a b 0 若a与b互为倒数 则ab 1 任何实数的绝对值 都是非负数 即 a 0 互为相反数的两个数的绝对值相等 即 a a 正数的倒 数是正数 负数的倒数是负数 零没有倒数 3 实数的混合运算顺序与有理数的运算 顺序基本相同 先乘方 开方 再乘除 最后算加减 同级运算按从左到右的顺序进行 有括号先算括号里的 第十四章 一次函数 14 1 变量与函数 知识点一 常量与变量 1 在一个变化过程中 数值始终不变一些量 称为 常量 2 在一个变化过程中 数值发生变化的量 称为 变量 详解 1 常量与变量是相对的 对不同的研究过程而言 其中的变量和常量是不相同 的 是可以相互转换的 2 区分常量与变量 就是看在某个变化过程中 该量的值是否 可以改变 知识点二 函数与自变量的概念 1 在一个变化过程中 如果有两个变量与y 并且对于x的每一个确定的值 y都有唯一确 定的值与其对应 那么就说x是 自变量 y是x的 函数 详解 1 函数研究的对象是两个变量 它们都有各自的取值范围 2 一个变量的值随着 另一个变量的值的确定而确定 即两个变量是互相联系的 3 对于自变量x的每一个取 值 变量y都有唯一确定的一个值与其对应 4 函数不是数 它是指在一个变化过程中两 个变量之间的关系 知识点三 函数自变量的取值范围 1 在一个函数关系式中 自变量的取值必须使函数解析式有意义 这就是 函数自变量的 取值范围 详解 1 从关系式看 自变量的取值要使关系式有意义 当自变量以整式形式出现 时 自变量的取值范围是全体实数 当自变量以分式形式出现时 自变量的取值范围是 使分母不为零的数 当自变量以偶次方根出现时 自变量的取值范围是使被开方数为非 负数 当自变量出现在零次幂的底数中时 自变量的取值范围是使底数不为零的实数 当一个函数关系式中出现以上两种情况时 其自变量的取值范围是同时满足两种情况的 自变量取值范围的公共部分 2 具有实际意义或几何意义的函数 自变量的取值范围是 除应使函数解析式有意义外 必须符合实际意义或几何意义 知识点四 函数关系式 1 用来表示函数关系的等式叫 函数关系式 也称 函数解析式 详解 1 函数关系式是等式 是含有一对变量的等式 2 函数关系式指明了自变量与函 数 等式的右边是含自变量的代数式 等式的左边是一个字母表示关于自变量的函数 3 用代数式表示函数的方法叫做 解析法 知识点五 函数值 1 在自变量的取值范围内 当自变量x a时 y b 那么b叫做当自变量的值为a时的 函数 值 详解 1 当已知函数解析式时 求函数值就是求代数式的值 2 一个自变量对应的函数 值是唯一的 但函数值所对应的自变量可以是多个 知识点六 函数的图形及画法 1 一般地 对于一个函数 如果把自变量和函数的每对对应值分别作为点的横 纵坐标 那么坐标平面内由这些点所组成的图形就是这个函数的 图像 详解 1 函数图像上的任意点 x y 中x y满足函数关系式 2 满足函数关系式的任意 一对 x y 的值 所对应的点一定在函数的图像上 3 画函数图象的一般步骤 列表 描点 连线 知识点七 函数的表示方法 1 表示函数的三种方法分别为 列表法 解析法和图象法 表示函数关系时 要根据具体 情况选择适当的方法 有时为了全面地认识问题 需要几种方法同时使用 详解 1 解析法及其优缺点 两个变量间的函数关系 有时可以用一个含有这两个变量 及数学运算符号的等式表示 这种表示法叫做 解析法 解析法简单明了 能准确地反映 整个变化过程中自变量与函数的相依关系 但求出对应值时 往往要经过比较复杂的计 算 而且在实际问题中 有的函数关系 不一定能用解析式表达出来 2 列表法及其优 缺点 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表 这种表示法叫做 列表法 列 表法一目了然 表格中已有的自变量的每一个值 不需计算就可以直接查处与它对应的函 数值 使用起来方便 但列表法有局限性 因为列出的对应值是有限的 而且在表格中也 不容易看出自变量与函数之间的对应规律 3 图象法及其优缺点 用图象表示函数关系 的方法叫做 图象法 图象法形象 直观 通过函数的图象 可以直接 形象地把函数关 系表示出来 能够直观地研究函数的一些性质 函数图象是研究函数性质的有力工具 但 是 由图象观察只能得到近似的数量关系 14 2 一次函数 知识点一 正比例函数 1 一般地 形如y kx k是常数 k 0 的函数 叫做 正比例函数 其中k叫做 比例函数 详解 1 在正比例函数中自变量x的指数是 1 次且比例系数k 0 当k 0时 y 0 函数 图象是x轴 它不具备正比例函数的一般性质 2 正比例函数中自变量的关系式是一个一 次单项式 知识点二 正比例函数的图象及性质 1 正比例函数y kx k 0 的图象是一条经过原点的直线 2 当k 0时 直线y kx经过第一 三象限 图象从左向右上升 即y随x的增大而增大 3 当k 0时 直线y kx经过第二 四象限 图象从左向右下降 即y随x的增大而减小 详解 1 由常数k的正负性 可确定直线在坐标系中的位置 2 画正比例函数的图象只 需要确定两个点 因为两点确定一条直线 而正比例函数的图象是一条直线 所以画图 象时 除了原点 0 0 外 只需另取一点 如 1 k 将它们相连所得的直线即为正比例函 数的图象 3 有些图象根据自变量的取值范围的不同而有所变化 知识点三 求正比例函数的解析式 详解 1 由待定系数法求正比例函数的解析式 其步骤是 设出含有待定系数的解析 式y kx 把已知条件 自变量与函数的对应值 代入解析式 得到关于待定系数的方程 解方程 求出待定系数k 将求得的待定系数的值代回所设的解析式 知识点四 一次函数的定义 1 一般的 形如y kx b k b是常数 k 0 的函数 叫做 一次函数 详解 1 自变量x的指数是一次且比例系数k 0 kx b是关于x的一次二项式 2 当 b 0时 y kx b即y kx 所以说正比例函数是特殊的一次函数 一次函数包含正比例函 数 3 一次函数自变量的取值范围是全体实数 但在实际问题中要根据函数的实际意义 来确定 知识点五 一次函数的图象 1 一次函数y kx b k 0 图象是一条直线 经过 0 b 和 k b 0 两点 因此一次函数 y kx b的图象也称为直线y kx b 详解 1 直线y kx b k 0 中的k和b决定着直线的位置 当k 0 b 0时直线经过第 一 二 三象限 当k 0 b 0时直线经过第一 三 四象限 当k 0 b 0时直线 经过第一 二 四象限 当k 0 b 0时直线经过第二 三 四象限 2 由于两点确 定一条直线 所以在平面直角坐标系中 画一次函数和正比例函数的图象时 先描出适合 关系式的两点 再连成直线即可 3 一次函数y kx b k 0 的图象是一条直线 知识点六 正比例函数与一次函数的关系 详解 1 正比例函数是特殊的一种一次函数 即当b 0时 一次函数y kx b即为y kx 2 一次函数与正比例函数在k相同时所表示的两条直线是互相平行的 3 正比例函数 y kx中只有一个k需要待定 而一次函数y kx b中有两个k和b待定 4 正比例函数是经过 原点的直线 经过两个象限 而一般的一次函数经过三个象限 知识点七 一次函数的性质 1 当k 0时 y随x的增大而增大 2 当k 0时 y随x 的减小而减小 详解 1 由k的正负性 可得到函数的增减性 2 若自变量x的取值范围出现上 下限 图象为一条线段 时 则y存在最大值与最小值 3 k 的大小决定直线的倾斜程度 即 k 越大直线与x轴相交的锐角度数越大 直线陡 k 越小 直线与x轴相交的锐角度数越 小 直线缓 4