2013年高中数学教学论文 柯西不等式在解题中的几点应用 新人教版.pdf

柯西不等式在解题中的几点柯西不等式在解题中的几点应用 应用 摘要 摘要 本文利用怎样运用柯西不等式解题的技巧 介绍了柯西不等式在解等式 不等 式 极值 三角问题等方面的应用 关键词 关键词 柯西不等式 技巧 应用 一 引言 人民教育出版社高中 代数 下册 不等式 一章的习题中有这样一道题 P 15 练习 第 2 题 求证 ac bd 22 ba 22 dc 这题用比较法是很容易证明的 这里用比值的方法来 证明 证明 当 a b c 或 c d 0 时 显然成立 假设 0 且 0 则 2 a 2 b 2 c 2 d 2222 dcba bdac 2222 dcba bdac 22222222 dcba bd dcba ac 22 2 22 2 22 2 22 2 dc d ba b dc c ba a 22 2 22 2 22 2 22 2 2 1 2 1 dc d ba b dc c ba a 1 故 ac bd 2222 dcbabdacbdac 1 式就是著名的柯西不等式的一个简单特例 柯西不等式的一般形式为 对任意的实数 有及 nn bbbaaa 2121 2 或 1 2 1 2 1 n i i n i i n i ii baba 3 1 2 1 2 2 1 n i i n i i n ii ii baba 其中等号当且仅当 n n b a b a b a 2 2 1 1 时成立 当0 k b时 认为 1 0nkak 柯西不等式有许多证明方法 这里就不作证明 仅就如何利用柯西不等式解题作一些介绍 一 柯西不等式在解题中的应用 1 利用柯西不等式证明恒等式 用心 爱心 专心 1 利用柯西不等式来证明恒等式 主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的 或者 是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证 例 已知 111 22 abba求证 1 22 ba 证明 由柯西不等式 得 11111 222222 bbaaabba 当且仅当 a b a b 2 2 1 1 时 上式取等号 11 22 baab 11 2222 baba 于是 1 22 ba 2 利用柯西不等式解无理方程 或方程组 用柯西不等式解无理方程 是先把方程的 含有无理式的 运用柯西不等式化为不等式 然后结合原方程把不等式又化成等式 在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性 得 到与原方程同解的且比原方程简单的无理方程 进而得到简单的整式方程 从而求得原方程 的解 例 解方程 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 xx x x x x 解 2 2 2 2 1 1 1 1 x x x x 2 22 2 1 1 11 x xx x 由柯西不等式知 x x x x x xx x 1 1 1 1 11 2 22 2 即 x 1 1 2 1 1 11 2 22 2 xx x xx x 用心 爱心 专心 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 xx x x x x 当上式取等号时有 1 1 1 xx xx成立 即 01 2 xx 无实根 或 即 01 2 xx 2 51 x 经检验 原方程的根为 2 51 x 用柯西不等式解方程组 也同样是利用柯西不等式取等号的条件 从而求得方程组的解 例 解方程组 486 6 9 22222224 wywwzyxx wx zyx 解 原方程组可化为 486 6 9 22222 wxzyx wx zyx 运用柯西不等式得 27 3 9 2 222 zyx 18 2 62 22 wx 两式相乘 得 486 22222 wxzyx 当且仅当 x y z w 3 时取等号 故原方程组的解为 x y z w 3 3 柯西不等式证明不等式 很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出 而利用柯西不等式的技巧有很多 如常 数的巧拆 结构的巧变 巧设数组等 下面略举一 二说明怎样利用柯西不等式证明不等式 例 设 a b c 为正数且不相等到 求证 cbaaccbba 9222 分 析 我 们 利 用9与2这 两 个 常 数 进 行 巧 拆 9 2 111 用心 爱心 专心 3 accbbacba 2 这样就给我们利用柯西不等式提供了条件 证明 2 cbaaccbba ac ac cb cb ba ba accbba accbba accbba accbba accbba cba 9222 9111 111 111 111 111 2 2 222 222 a b c 各不相等 等号不可能成立 从而原不等式成立 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件 但是我们只要改变一下多项式的形态结 构 认清其内在的结构特征 就可以达到利用柯西不等式解题的目的 下面略举一例加 以说明 例 设求证 121 nn aaaa 0 1111 1113221 aaaaaaaa nnn 分析 这道题初看似乎无法使用柯西不等式 但改变其结构 我们不妨改为证 1 111 13221 11 nn n aaaaaa aa 证明 为了运用柯西不等式 我们将 11 n aa写成 1322111 nnn aaaaaaaa 于是 1 111 2 13221 13221 n aaaaaa aaaaaa nn nn 用心 爱心 专心 4 即 1111 1 111 1113221 13221 11 nnn nn n aaaaaaaa aaaaaa aa 故 0 1111 1113221 aaaaaaaa nnn 我们进一步观察柯西不等式 可以发现其特点是 不等式左边是两个因式这和 其中 每一个因式都是项平方和 右边是左边中对立的两两乘积之和的平方 证题时 只要能将原 题凑成此种形式 就可以引用柯西不等式来证明 例 求证 2 22 2 11 2 2 2 1 2 2 2 1 yxyxyyxx 证明 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2yyxxyyxxyyxx 由柯西不等式得 2 2211 2 2 2 1 2 2 2 1 yxyxyyxx 其中等号当且仅当 11 kyx 22 kyx 时成立 2211 2 2 2 1 2 2 2 1 yxyxyyxx 2 2 22 2 11 2 2 2 1 2 2 2 1 2 22 2 11 2211 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 yxyxyyxx yxyx yxyxyyxxyyxx 其中等号当且仅当 11 kyx 22 kyx 时成立 4 用柯西不等式证明条件不等式 柯西不等式中有三个因式 而一般题目中只有一个或两个 因式 为了运用柯西不等式 我们需要设法嵌入一个因式 嵌入的因式之和往往是定值 这也是利用柯西不等式的技巧之一 又柯西不等式中诸量 具有广泛的选择余地 任意两个元素 或 的交换 可以得到不同的不等式 因此在证题 时根据需要重新安排各量的位置 这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便 这 种变换也是运用柯西不等式的一种技巧 下面我们简单举例说明怎样利用上述技巧运用柯西 不等式来证明条件不等式 n i i a 1 2 i b j b n i i b 1 2 n i iib a 1 i a i b i a j a 例 已知 a b R a b 1 21 Rxx 求证 212121 xxaxbxbxax 用心 爱心 专心 5 分析 如果对不等式左端用柯西不等式 就得不到所要证明的结论 若把第二个小括 号内的前后项对调一下 情况就不同了 证明 2121 axbxbxax 1221 bxaxbxax 2 2121 xxbxxa 2121 2 xxxxba 例 设求证 21 Rxxx n n n n xxx x x x x x x x x 21 1 2 32 2 1 1984 年全国高中数学联赛题 证明 在不等式的左端嵌乘以因式 132 xxxx n 也即嵌以因式 n xxx 21 由柯西不等式 得 132 1 2 32 2 1 xxxx x x x x x x x x n n n 2 21 1 1 1 3 3 2 2 2 1 2 1 22 3 2 2 2 1 2 1 2 3 2 2 2 1 n n n n n n n n n xxx x x x x x x x x x x x x xxxx x x x x x x x x 于是 n n n xxx x x x x x x x x 21 1 2 32 2 1 5 利用柯西不等式求函数的极值 有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式 但只要适当添加上常数项或和为常数 的各项 就可以应用柯西不等式来解 这也是运用柯西不等式解题的技巧 而有些极值问题 的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的 但在运用过程中 每运用一次前后等号成立 的条件必须一致 不能自相矛盾 否则就会出现错误 这多次反复运用柯西不等式的方法也 是常用技巧之一 下面略举例加以说明怎样利用柯西不等式来求解一些极值问题 例 设非负实数 n 21 满足 1 21 n 求 用心 爱心 专心 6 1213 1 2 2 1 11 1 n n nn 的最小值 1982 年西德数学奥林匹克度题 解 易验证 n 2 1 1 1 11 21 2 2 2 1 n 同理可得 n 31 1 1 1 2 2 2 12 1 n n 1 n 2 2 令 1213 1 2 2 1 11 1 n n nn y 故 1 2 2 ny 2 2 2 n 2 2 为了利用柯西不等式 注意到 12 2 2 2 2 2121 naaanaaa nn 12 n 1 2 1 2 2 1 2 1 n 2 2 2 21n aaa 1 2 1 2 2 1 2 1 n 1212 2 12 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 22 2 2 2 2 1 1 n n n n n y n n ny n a a a a a a n n 等号当且公当 n aaa n 1 21 时成立 从而y有最小值 12 n n 例 设都是正数 且求证 n xxx 21 2 n 1 1 n i i x 1 1 1 1 n x x x n i i n i i i 1989 年全国数学冬令营试题 证明 令 2 1 1nixy ii 由柯西不等式 得 用心 爱心 专心 7 1 2 1 nxnx n i i n i i 即 1 nx n i i 同理 得 1 1 11 2 1 nnxnyny n i i n i i n i i 即 1 1 nny n i i 又由柯西不等式 得 22 4 1 4 11 1 1 n y y y y i n i i n i i n i i 故 1 11 2 1 2 1 nn n y n y n i i n i i 从而 11 1 1 11 1 1 1111 n x n n nn n nn y yy y x x n i i n i i n i i n i i i n i i i 6 利用柯西不等式解三角问题 三角问题包括三角不等式 三角方程 三角极值等到 对于一些三角问题 我们为了 给运用柯西不等式创造条件 经常引进一些待定的参数 其值的确定由题设或者由等号成 立的充要条件共同确定 也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决 例 在中 求证 ABC 40 3201 2012198 sin5sinsin CBA 证明 CBAsin5sinsin 2 sin51 2 cos2 2 sin5 2 cos 2 cos2 2 cos 2 sin10 2 cos 2 sin2 CC CBAC CCBABA 当且仅当 A B 时等号成立 用心 爱心 专心 8 令 2 0 sin51 cos xxxy 于是引进参求 0 t 222 sin51 cosxxy 的最值 由柯西不等式 2 2 2 22 sin 5 1 cos25sin51cos xxxxy 2 2 2 sin 5 1cos 25 xt t x sincos 125 sin 5 1cos 25 222 2 2 222 2 2 2 xtx t t xtt t x 又由平均值不等式 4 2 ba ab 得 2 222 2 2 2 2 sincos125 xtx t t y 4 1125 2 2 22 t tt 1 当且仅当 2 cos x 22 sint x时等号成立 例 已知 a b 为正常数 且 0 x 2 求 x b x a y cossin 的最小值 解 利用柯西不等式 得 2 33 2232323232 cossin cossin xbxa xxbaba 等号成立的当且仅当 33 cossin b x a x 时 即 3 b a arctgx 时 于是 xbxabacossin 333232 再由