CH3薄膜波导和带状波导的模式理论.doc

第三章 薄膜波导和带状波导的模式理论在第二章的前两节中，我们用几何光学理论分析了薄膜波导中光的传播特性。由于几何光学理论本身的局限性，如果波导的横向尺寸与光的波长相当时，利用几何光学理论就无法得到正确的结果。本章采用经典电磁理论分析薄膜波导和带状波导中光波的传播问题，也就是所谓的光波导的模式理论。 3.1 均匀薄膜波导均匀薄膜波导的结构如图3-1所示。它由三层均匀介质构成，三层介质的折射率分别为,，而且大于和和。这种结构的光波导中光传播的几何光学理论这里不再详述。本节将从麦克斯韦方程出发分析光波的传播特性。由于均匀薄膜波导在y轴方向是无限延伸的，所以电磁场量不是y的函数，因而波导中的电磁场方程具有较 图3-1 均匀薄膜波导的结构简洁的形式。对于角频率为的正弦电磁场，麦克斯韦方程组中的第一、第二个方程分别为 （3.1-1）在直角坐标系中将上面的两个矢量方程写成标量形式，得到由于波导结构在方向是无限的，因而场量与无关，假设波沿轴方向传播，则所有的场分量都可以写成因而必有，。于是上面的六个方程可以分成两组 （3.1-2a） （3.1-2b） （3.1-2c） （3.1-3a） （3.1-3b） （3.1-3c）在（3.1-2）式的三个方程只含有，三个电磁场分量，电场强度与波的传播方向垂直，但是磁场强度与波的传播方向不垂直，因而它就是沿方向传播的TE波（或TE模）场方程。在（3.1-3）式的三个方程中只含有、三个电磁场分量，磁场强度与波的传播方向垂直，但是电场强度与波的传播方向不垂直，因而它就是沿方向的TM模场方程。下面讨论薄膜波导中这两种波型的特点。3.1.1 TE模将（3.1-2b）式两边对求导，并将（3.1-2）式的其余两个方程代入，可以得到 （3.1-4）式中。构成波导三层介质折射率分别为, , ，而且大于和，为了保证电磁波能量主要集中在波导芯层（折射率为）中传播，方程（3.1-4）在芯层、衬底（折射率为）、敷层（折射率为）中的解可以分别写成 （3.1-5a） （3.1-5b） （3.1-5c）式中,是场量的特征常数，,是三个积分常数。是芯层中场量在方向的相位常数，、分别是衬底和敷层中场量沿方向的衰减常数。将（3.1-4）式的解写成上式就意味着在芯层中场量在x方向呈驻波分布，解式中的和共同决定驻波场场量的波腹和波节位置，则决定了两个波节间的距离。在衬底和敷层中场量随离开界面的距离按指数规律迅速衰减，而和则决定了场量衰减的快慢。这样的场结构可保证场能量集中在波导芯层及芯层与衬底及敷层的界面附近的薄层中，并沿着轴方向传播。这就是波导中的传播模式或导波模式。对比（3.1-4）式和（3.1-5）式，很容易得到场量的特征参量、与各层介质的折射率、之间的关系，即 （3.1-6a） （3.1-6b） （3.1-6c）将（3.1-5）式中的代入（31-2a）及（3.1-2b）式，即可得到三个区域的磁场分量、及、，即 （3.1-7a） （3.1-7b）（3.1-5）式中的三个积分常数，也就是场量的振幅值,由面上的电磁场边界条件及激励条件决定。在两种不同介质的分界面上，电磁场边界条件是电场强度和磁场强度的切向分量连续。对图3-1所示的薄膜波导，则具体化为在面： 在面： 将（3.1-5）式中的、和（3.1-7）式中的、代入上述边界条件，得到 （3.1-8a） （3.1-8b） （3.1-8c） （3.1-8d）这些方程规定了、之间的关系，它们的完全确定还有赖于波导的激励条件，即输入功率。从（3.1-8）式中消去、，可以得到 （3.1-9a） （3.1-9b）（3.1-9）式又可以写成式中p = 0, 1, 2, ；q = 0, 1, 2, 。将上两式分别相加和相减，即可得到 （3.1-10a） （3.1-10b）式中是波导芯层的厚度，m = p + q = 0, 1, 2, ，n = p q = , -2, -1, 0, 1, 2, ，但实际上n只取0和1两个数即可。从（3.1-5a）式可以看到当n取0, 1之外的其它任何正负整数时，都不会给出新的结果。而且在m = p + q取偶数时，n取零，芯层内的场量在方向按余玄函数分布；当m = p + q为奇数时，n取1，芯层内场量在方向按正弦函数分布。也就是说，可以将芯层内的场量写成 （3.1-11a）和 （3.1-11b）式中这时（3.1-11a）式所给出的场解对应（3.1-10a）式中的m取偶数，而（3.1-11b）式给出的场解对应（3.1-10a）中的m取奇数。（3.1-10a）式成为均匀薄模波导的特征方程，将它和（3.1-6）式中的三个方程联立求解，即可求得场量的四个特征参量,。有时也把这四个方程统称为特征方程。求出,和以后即可由（3.1-10b）式求得，从而得到TE模的场量。在方程（3.1-10a）式中，m从零开始每取定一个值，都可解的一组,值。将其代进（3.1-5）式和（3.1-7）式即可得到一组电磁场量，场量的幅度值,由激励条件及边界条件（3.1-8）式决定。我们称由这一组电磁场量所构成的电磁波为一个沿方向传播的TE电磁场模式。由于（3.1-10a）式中的每一个m值都对应着一个TE模式，所以将其记为TEm模，脚标m即为（3.1-10a）式中的m值。稍后我们将看到模式序号m的物理含义。3.1.2 TM模采用类似的方法，可以求得（3.1-3）式在波导中的解，也就是TM模式的电磁场分量，其横向磁场的表达式为 （3.1-12a） （3.1-12b） （3.1-12c）式中，与各层介质折射率的关系仍由（3.1-6）式给出。利用（3.1-3）式还可求得各区域的电场分量,及,，并利用面上的电磁场边界条件，推得TM模式的特征方程为 （3.1-13a） （3.1-13b）式中m=0,1,2,。与TE模类似，在（3.1-12a）式中取上面的函数时，m取偶数，取下面的函数时，m取奇数。每取定一个m值，可以将（3.1-13a）与（3.1-6）式联立解得一组TM场解，我们称为一个TM模式，记为TMm模。3.1.3 传播模和辐射模在特征方程（3.1-10a）式和（3.1-13a）式中，模式序数m都可以取0,1,2,等一系列的整数。这就意味着在波导中存在一系列的TE模和TM模，但并不是m取任何整数所对应的模式都可以在波导中传播。如果特征参量和都是正实数，则衬底和敷层中的场随离开芯层表面的距离按指数规律迅速衰减。在和都是正实数的条件下，方向的相位常数必是正实数，这表明场量在轴方向呈无衰减的正弦行波特性。满足这些条件时，我们就称这样的模式为传播模式或导波模式。如果和中有一个是虚数，或者两个都是虚数，则衬底或敷层中的场在轴方向将呈行波特性，这就是说电磁波能量在向轴方向传播的同时又在衬底或敷层中形成沿轴方向的辐射。显然这样的模式不可能沿轴方向长距离传播，这种模式就称为辐射模式。由（3.1-6）式可以看到： 如果n2 n3，在同样的，k0值条件下，首先是可能成为虚数，即首先出现衬底辐射。而,都是正实数的条件则是 （3.1-14）这就是传播模式或导波模式相位常数的取值范围。这与用几何光学理论得到的束缚光线条件是完全一致的。如果，由（3.1-6）式可以看到成为虚数，这时电磁场即成为辐射模。即辐射条件为 （3.1-15）需要说明的是，对辐射模，可以在（3.1-6）式范围内连续取值，即辐射模谱是连续的。导波模的在（3.1-14）式所规定的范围内只能取离散的值，,等脚标对应特征程（3.1-10a）式和（3.1-13a）式中的m的取值，即传播模或导波模谱是离散的。后面我们将看到，在波导结构参量a,和工作波长l = 2p / k0确定的条件下，一个序号为m的模式能否传播将完全取决于m的大小。m较小的模式称为低阶模， m较大的模式称为高阶模。在确定的波导中，低阶模容易满足传播条件而高阶模则往往不能传播。假设在一个确定的波导中有m个TE模和m个TM模满足传播条件，则波导中的电磁波总可以表示为 （3.1-16）上式表明，波导中的任何可以存在的电磁场总可以表示为若干个TE模式和TM模式以及具有连续谱的辐射模的叠加。当然不排除展开式中的al, b1, a（）, b（）中某些展开系数为零。例如在单模波导中，除了在激励端可能存在多个模式以外，在稳定状态下就只有一个模式，即（3.1-16）式中只有一个最低阶模的系数不为零。3.1.4截止参数如果波导中某个模式开始出现衬底辐射，我们称这个模式截止。显然，某个模式截止的条件即将上述截止条件代入（3.1-6）式，可得截止状态的其它特征参数将其代入TE模式的特征方程（3.1-10a）式，可得截止状态时的特征方程注意到，将某个模式截止时的波长记为，则模的截止波长为 （3.1-17）显然，当时，也就是TE0模式，其截止波长是最长的，其值为 （3.1-18）将截止条件，代入模的特征方程（3.1-13a）式，得到TMm模的截止波长则为 （3.1-19）TM0模的截止波长则为 （3.1-20）比较（3.1-20）式和（3.1-18）式，由于，所以必有 （3.1-21）这说明TE0模是截止波长最长，或截止频率最低的模式。在波导理论中，称截止波长最长的模式为波导中的主模式。这就是说，对于衬底和敷层折射率不同的非对称薄膜波导，其主模式为TE0模。如果n2 = n3，即衬底和敷层为同一种介质构成，则TE0模和TM0模的截止波长都是无限长，即它们不截止，同为波导的主模。从（3.1-17）式和（3.1-19）式可以看到，当波导的结构参量a, , , 确定以后，每一个TE模和TM模的截止波长是完全确定的。不同的模式截止波长不同，模式序号m越大，截止波长越短，或者说截止频率越高。只有工作波长比截止波长 c短的那些模式才可能在波导中传播。这是因为当工作波长刚好与截止波长c相等时，a2 = 0，而当 c，则，该模式将成为辐射模。3.1.5 单模传输和模数量由上面的讨论，可以得到这样的结论，如果工作波长比主模式（TE0模）的截止波长要短，但比次最低阶模式（截止波长仅比主模式短，但比其余所有模式的截止波长要长）的截止波长要长，则在此波导中只有主模才能传播，其余所有的模式都是截止的。这就是波导中的单模传输条件。单模传输是波导理论中的一个极为重要的概念。对于n2 n3的非对称薄膜波导，主模式为TE0模，而次最低阶模是TM0模。因而非对称薄膜波导中严格的单模传输条件为 （3.1-22）实际的光波导, , 相差不大，因而 c （ TE0 ）与 c （ TM0 ）的差别也不会太大，严格满足（3.l-22）式的条件将导致单模传输的频带很窄，因而并无太大的意义。在工程实际中，可以认为TE0模和TM0模的截止波长近似相等,而将单模传输条件放宽为 （3.1-23）此种条件下TE0模和TM0模都可以传播。对于给定的波导，如果工作波长缩短，则波导中可以传播的模式数量将增加。如果波导中有多个模式可以传播，则估算波导中可传播的模式数量是必要的。波导中可以传播的模式数量可以从截止时的特征方程，及传播条件 C得到。对TE模.由可以看到，可传播的TE模的模式序号 m 必须满足 （3.1-24a）对于TM模，则其模式序号 m 应满足 （3.1-24b）假设上两式右边的式子计算出的数字的整数部分为m和m，则波导中，TE0, TE1, ,TEm-1, 和TM0, TM1, , TMm-1, TMm等模式都可以传播，因而可以传播的模式总量为 （3.1-25a）作为一粗略的估计，一个多模传播的光波导中传播的模式总量为 （3.1-25b）对于结构参数a, , , 确定的波导，可传播的模式数近似与工作波长成反比。在工作波长确定的条件下（光通信系统中工作波长一般为0. 85, 1.31 或1.55），传播模数量主要决定于波导的厚度和芯层衬底折射率差。波导越厚，折射率差越大，则可传播的模数量就越多。3.1.6 导波场分布一个传播模式或导波模式场量的空间分布规律可以从（3.1-5）式、（3.1-7）式和（3.1-12）式得到。这里以TE模为例，对电场分Ey的分布特点给予定性的讨论，以加深对电磁场模式概念的理解。首先讨论TE0模，在波导中，其Ey分量在x方向的分布函数具有特点由特征方程（3.1-10）式，在m = 0时有其中，显然这里的都是小于的角度。的分布函数则为有上式可知，当时，；当时，；当，即时达到最大，而且只有一个极大点，没有场量为零的点。在条件下，这时，这说明场量Ey的最大值出现在x 0，即靠近衬底一侧。对于TE1模，其场分量Ey的分布函数为由上式可知，在范围内，场量的相位变化为。在时场量的相位因子为，在时场量的相位因子为，而，所以在区域，场量在时达到极大。这说明在x方向上场量Ey有两个极大点。在0时场量为零，也就是说场量在x轴方向有一个零点。对于TE2模，其场分量Ey的分布函数为采用类似的方法，可以看到场量Ey在- a x n3，场量在敷层中衰减比在衬底中要快。都随工作波长变化，短，k0大，则大，波在敷层和衬底中就衰减得更快。一个极端的情形是，当时,，电磁能量完全集中在 芯层中，这就是几何光学情形。几个低阶TE模的横向电场Ey（或横向磁场Hx）沿x轴方向的分布如图3-2所示。TMm模式的场量Hy（或Ex）沿x轴的分布规律与TEm模的Ey完全类似。这里不再重复。3.1.7 导波的传输功率和有效厚度由于波导在y方向上无限延伸，波导中传输的总功是发散的。只有讨论沿y轴方向单位宽度内传输的功率才有意义。我们知道，单位面积上传输的电磁功率等于沿此面积的法线方向上的坡印亭矢量的实部。在图3-3中带阴影窄带条长为1，宽为dx，通过此带条传输的功率为 单位宽度内传输的总功率为 （3.1-26）利用边界条件（3.1-8）式及特征方程（3.1-10）式可得如下关系将这些表达式带入（3.1-26）式，可得 （3.1-27）式中是衬底中的场量从芯层表面上的值衰减到的距离，是敷层中的场量从芯层表面的值衰减到的距离。定义波导的芯层的几何厚度与上述两个距离, 之和为波导的有效厚度，如图3-4所示。即 （3.1-28）显然，对不同的传播模式，由于,不一样，有效厚度也不一样。如果某模式的截止波长c比工作波长大得多时，对应的deff与其几何厚度2a十分接近，反之如果其截止波长c已接近于工作波长，则对应的有效厚度deff趋于无限大。同一波导中的某一特定模式，当工作波长变化时，deff也不一样。当工作波长变短时，变大，deff减小，极端情形时，这就是几何光学所描述的情形。引进有效厚度以后，波导截面单位宽度内传输的功率可以写成 图3-4 薄膜波导的有效厚度 （3.1-29）从场量的表达式可以看到，是波导芯层中场量取最大值处的单位面积上的功率，场量在x方向呈驻波分布，其波导截面内单位面积上传输的平均功率则为。因而有效厚度的意义则是将本来弥散至无穷远处的电磁功率完全束缚于一个有限区域中，在这个区域中，场量呈驻波分布，就像金属波导内的情形一样，只不过把波导芯层的边界往外 图3-5 光线在等效反射面上的反射分别推了和，用几何光学解释，就 好象光线不是在芯层表面反射，而是在往外推了和的两个面上反射一样，如图3-5所示。3.1.8 对称薄膜波导如果衬底和敷层由同一种介质构成，从而n2 = n3，则称这种波导为对称薄膜波导。由于波导的结构相对于x = 0的平面是对称的，必然有a3 = a2 = a，因而其TE模和TM模场量表达式中的初相位因子 = 0，/2。所有各模式场量必然对x = 0平面呈偶对称或奇对称两种对称分布，以TE模的Ey分量为例，其场 量表达式分别为偶对称分布 （3.1-30a）奇对称分布 （3.1-30b）利用x = +a面上的边界条件，可以得到上面两种分布所对应的特征方程分别为偶对称 （3.1-31a）奇对称 （3.1-31b）（3.1-31）式又可以写成 式中p = 0, 1, 2,，将这两个表达式合并起来，可得 （3.1-32）式中m = 0, 1, 2,，d = 2a是波导芯层厚度。（3.1-32）实际上就是（3.1-10a）式中取a2 = a3 = a所得的结果。采用类似的方法可得TM膜的特征方程 （3.1-33）式中m = 0, 1, 2,。薄膜波导的特征方程都是超越方程，一般只能用数值方法求解。对称波导的特征方程可以用图解法求得近似解。下面以TE模特征方程（3.1-31）式为例，说明求解过程。令。于是可以将（3.1-31）式改写成或者以U为横轴，W为纵轴作上面两个方程的图线。方程左边为和的曲线，方程右边则是以坐标原点为中心，以为半径的圆。特征方程的解则是左边的曲线族与右边的圆的交点，如图3-6所示。图3-6表明，波导中可传播的模数量完全由参数V，也就是图中的圆的半径决定。由前面的定义 （3.1-34）图3-6 对称薄膜波导特征方程的图解法可以看到，V由波导结构参量a,和工作波长完全决定，它与波的频率成正比，是个无量纲的量，称为波导的归一化频率。归一化频率V越大，由特征方程右边所作出的圆的半径就越大，它与左边的曲线族交点就越多，可以传播的模式也就越多。波导的截止参数可以由（3.1-17）式和（3.1-19）式中令n2 = n3直接得到，TEm模和TMm 模的截止波长都为 （3.1-35）截止参数也可以从图3-6中得到，显然对于某一个TEm模式，它可以传播的条件是归一化频率V必须大于。否则半径为V的圆与相应的或曲线没有交点。也就是说，可以将TEm模的截止条件确定为 （3.1-36）式中m = 0, 1, 2,，Vc即为TEm模的归一化截止频率。显然，（3.1-36）与（4.1-35）式是完全等价的。TEm模和TMm模有相同的截止参数，但其电磁场结构是不相同的。像这样具有相同截止参数但不同的电磁场结构的模式称为简并模，除了TEm模和TMm模简并以外，对称波导的另一个特点是其主模式TE0模的截止波长，这说明TE0模和TM0模不截止，它们可以以任意低的频率在波导中传播，只是当频率很低时，电磁波能量将不能很好地集中于波导芯层中。对称波导中的次最低阶模是TE1模和TM1模，其截止波长，所以对称波导中TE0模和TM0模单模传输条件是 （3.1-37a）或者用归一化频率表示为 （3.1-37b）3.1.9 本地平面波解释利用平面电磁波在界面上的反射和折射理论，可以解释薄膜波导中的TE模式和TM模式。回顾电磁利用平面电磁波在界面上的反射和折射理论，可以解释薄膜波导中的TE模式和TM模式。回顾电磁理论中均匀平面电磁波在两种介质界面上的反射和折射情形，如图3-7所示，根据入射的线偏振平面波电场强度矢量的取向，可以将其分成水平偏振波和垂直偏振波两类。水平偏振波的电场强度E与入射面垂直，也就是在图中的y轴方向，而磁场强度H则在人射面（x o z平面）内。垂直偏振波的电场强度E在人射面内，而磁场强度则在y轴方向。任意的一种偏振形式的均匀平面电磁波，总可以看成上述两种偏振形态的叠加。图3-7 平面电磁波的反射和折射在图3-1所示的坐标系中，水平偏振波的入射波电场E1、反射波电场E3、折射波电场E2可分别写成垂直偏振波的磁场强度有与上式相同的表达式。利用界面上的电磁场边界条件，可以得到反射波、折射波与入射波之间的方向关系这与几何光学中的反射定律和折射定律完全一致。定义分界面上反射波电场与入射波电场之比为反射系数，记为R，折射波电场与入射波电场之比为折射系数，记为T，即水平偏振波和垂直偏振波的反射系数和折射系数不同，对水平偏振波，其电场强度E的反射系数R和折射系数T分别为 （3.1-38a） （3.1-38b）（3-38）式即为菲涅尔公式。在入射角1大于全反射临界角时，在界面上将发生全反射，由斯涅尔定律，临界角为 （3.1-39）在全反射条件下，即时，所以（3.1- 38）式所确定的反射系数R和折射系数T都将是复数。由于 （3.1- 38a）式的分子、分毋互为共轭复数，所以R是一个模值为1，相角为的复数，即 （3.1-40a）式中的是平面波在界面上发生全反射时，反射波与入射波之间的相位差，按下式计算 （3.1-40b）全反射条件下，其折射系数仍由（3.1一38b）式计算，它也是一个复数，通过复数运算，可以将折射系数写成 3.1-40c）（3.1-40c）中的仍由（3.1-40b）式计算。表明，即使在全反射条件下，介质2中仍有波存在，只不过这时波在与界面垂直的方向上将呈指数衰减规律分布。将（3.l-40c）代进中，注意到cosq 2是虚数，可以得到式中，是场量在介质2中的衰减常数对于图3-1所示的波导，平面波如果在芯层的上下两个表面都满足全反射条件，则在芯层外的衬底和敷层中的场在垂直于界面方向上都按指数规律衰减，其衰减常数，。芯层中的场为入射场和反射场的叠加，形成沿x方向的驻波分布和z轴方向的行波分布。在z轴方向的相位常数则为将芯层中的波矢量k1分解成两个分量，即沿x方向的波在两个界面上反射，入射波和反射波叠加并形成稳定的驻波分布的条件是 （3.1-41）式中m是整数。也就是说，波在芯层内经上下界面两次反射再回到A点，波的相位变化应是的整数倍。式中是波在芯层内传播一个来回的相位滞后，2f 2, 2f 3分别是两个界面上全反射时的附加相位差，由（3.1-40b）式计算。（3.1-41）式的条件称为波的横向谐振条件。注意到又可以将（3.1-41）式写成 （3.1-42）这就是TE模的特征方程（3.1-10a）式。由此可见，TE模的特征方程也可以由水平偏振波在上下两个界面上的全反射，以形成x方向上的驻波分布的横向谐振条件得出。而水平偏振波经分界面多次反射以后仍保持电场在y轴方向，因而它就是沿z方向传播的TE波。用同样的方法分析垂直偏振波在芯层界面上的反射，可以得到沿z方向传播的TM波。利用横向谐振条件也可以得到TM模的特征方程（3.1-13a）式。3.2 渐变薄膜波导在2.2 节中，我们用几何光学理论讨论了折射率渐变的光波导中光线的传播特点。本节将用波动理论分析芯层折射率渐变的光波导的传播特性。一般的渐变波导很难得到解析解，只有极少数例子例外。无界的抛物线型折射率分布的波导就是一个可以求得解析解的特例。3.2.1 无界的抛物线型折射率分布光波导的解析解无界的抛物线型折射率分布可以用函数 （3.2-1）表示。这种折射率分布实际上是不存在的，因为当| x |足够大时，折射率将成为负数。这种分布实际上是 （3.2-2）的一种近似。由于光波能量主要集中在 | x | a 的区域，而在这个区域中上面的两个分布函数给出同样的结果。（3.2-1）式和（3.2-2）式所给出的折射率分布如图3-8所示。在波导的折射率只是x的函数的条件下，与均匀波导类似，其中传播的电磁波仍可以分成以Ey, Hx, Hz为场量的TE模式以及以Hy, Ex, Ez为场量的TM模式。无论是TE模还是TM模，在折射率缓变的条件下，其横向电磁场分量均满足波动方程，即 图3-8 抛物线型的折射率分布 （3.2-3）式中的Y 可以是TE模的Ey，也可以是TM模的Hy。将折射率分布（3.2-1）式代入方程（3.2-3）式，得到即 作变换，则可得到由于与坐标x无关，可以看成是常数，令 （3.2-4）式中m = 0, 1, 2, 。于是可得 （3.2-5）这个方程称为韦伯方程，其解为m阶的抛物线柱函数。这里取m为整数是为了保证方程（3.2-5）的解在所有的区域中都是有界的，如果m取非整数，则当x充分大时抛物线柱函数不收敛。而m取为整数时，抛物线柱函数可以表示为高斯函数与厄米多项式的乘积，因而它在所有的区域收敛，于是有 （3.2-6）式中 （3.2-7）是一个特征参量，对m = 0的情形，它是场量从中心处的最大值降到1/e的距离，可以称为束半径。从（3.2-7）式可以看到它决定于波导的结构及工作波长。波长越短，w 就越小，场量随离开中心处的距离衰减就越快，能量也就更集中于波导芯层中，而Hm（x）则为m阶厄米多项式，由下式定义 （3.2-8）几个低阶厄米多项式的具体表达式为H0（x） = 1 H2（x） = 4x2-2 H1（x） = 2x H3（x） = 8x3-12x （3.2-9）式中脚标m分别对应于TEm模和TMm模的模式序号。场量Y或TE模的Ey, TM模的Hy都随x的变化情形如图3-9所示。从（3.2-8）式及图中都可以看到，场量Y随x的变化在m为0和偶数时呈偶对称分布，而在m为奇数时呈奇对称分布。其特点定性上与上一节中均匀波导中的场量Ey或Hy的分布特点是相似的。TEm模或TMm模的相位常数可以由（3.2-1）式直接得到，即 图3-9 渐变波导中的场量 （3.2-10）由上式计算出的相位常数是个近似结果，这是因为它是以折射率分布（3.2-1）式为前提得到的。如果某模式远离截止状态，则电磁能量主要集中于芯层，即| x | a区域中，上述结果将是一个很好的近似。如果某个模式接近于截止状态，则电磁能量有相当一部分转移到芯层之外的区域，而芯层之外的折射率分布与（3.2-1）式有较大的差别，自然由（3.2-10）式给出的结果也就有相当大的误差。3.2.2 有界的抛物线型折射率分布光波导的解析解如前所述，无界的抛物线型折射率分布光波导的解析解仅是一个比较粗略的近似解。为了考虑更普遍的情形，求得更为精确的解，我们应取波导的折射率分布为 n2（x）= （3.2-11）在波导的芯层中场量满足与（3.2-5）式形式相同的方程，只不过其中的整数m要用一个更一般的待定常数v来代替。即波导芯层中场量满足的波动方程为 （3.2-12）（3.2-12）式是v阶韦伯尔方程的标准形式，在v不为整数的条件下，其通解为 （3.2-13）式中，Dv（X）和Dv（-X）是韦伯尔方程的两个线性无关解，称为抛物线柱函数，Av, Bv是两个积分常数。由于这里抛物线柱函数只在| x | a 范围内取值，所以其阶数为非整数时不会发散。在波导的衬底和敷层中场量满足均匀介质中的波动方程。在这样的波导中，TE模场解可以写成 | x | a x -a （3.2-14） x a式中Av, Bv, Cv, Fv都是待定常数，而b, a 2, a 3则满足方程 （3.2-15）将（3.2-14）代入（3.1-2）式，可以求得三个区域中的磁场。利用面上的电磁场连续的边界条件，可以得到 （3.2-16）其中的上标“”代表对宗量X = x / w 求导，w则由（3.2-7）式定义。从（3.2-16）式中消去Av，Bv，Cv，Fv，可以得到 （3.2-17）（3.2-17）式即为图3-10所示的波导中TE模式的特征方程，它以抛物线柱函数的阶数v为待求量。纵向传播常数b，v的关系则为 （3.2-18）联立求解（3.2-15）式、（3.2-17）式和（3.2-18）式，即可解得这种不对称的抛物线型折射率分布的光波导的传输特性。如果波导是对称的，即n2 = n3，则2 = 3 = ，于是特征方程（3.2-17）式可以分解成两个独立的方程，分别为 （3.2-19）和 （3.2-20）由于结构的对称性，因而场量必然相对于x = 0平面具有对称性。易于证明，由（3.2-19）式所得到的特征参数对应的场解，其Hz具有偶对称性，而Ey具有奇对称性。而由（3.2-20）式所得的特征参数对应的场解其Hz具有奇对称性，而Ey具有偶对称性。利用抛物线柱函数Dv（x）的递推公式 （3.2-21）可以将（3.2-19）式和（3.2-20）分别写成 （3.2-22）和 （3.2-23）以上两个方程中的W是已知量，而待求量 和v之间的关系式 （3.2-24）联立求解（3.2-22）式和（3.2-24），或（3.2-23）式和（3.2-24），即可得到对称的抛物线型折射率分布光波导的传播特性及传播模式的场分布特点。如果则2 = 0。这时衬底及敷层中的波不再具有表面波特性，因而与之对应的模式成为辐射模。如果令 （3.2-25）则可得到第v个模传输的条件是 （3.2-26）或者说第v个模的截止波长为 （3.2-27）利用相同的方法可推得TM模式的特征方程为 （3.2-28）在推导（3.2-28）式时，利用了折射率分布的对称性，即n1（ x = a ） = n1（ x = - a ） = n1（ a ）。如果波导结构是对称的，则有n3 = n2， = = ，并假设芯层边缘折射率与敷层折射率是连续的，即n1（x = a）= n2，则特征方程（3.2-28）式与方程（3.2-19）式和方程（3.2-20）式完全等价。这说明抛物线型折射率分布的对称薄膜光波导，其TEv模和TMv模是一对简并模式。 （3.2-17）式和（3.2-22）式、（3.2-23）式都是以抛物线柱函数的阶数为待求量的超越方程，严格求解比较困难。我们知道，如果光波导折射率按（3.2-1）式分布时，其场解可用整数阶的抛物线柱函数Dm（X）表示。这在传输模式工作于远离载止频率状态时，是一个较好的近似解，因而可以预期，折射率按（3.2-11）式分布的光波导的场解仅是前一种情况的场解的微扰，于是可以将特征方程的解表示为 m = 0, 2, 3, （3.2-29）其中Dvm是第m个解的修正值，而且|Dvm n 0, n 2。这种结构类似于隐埋条形半导体激光器的有源区。图3-10（c）为脊形波导，图3-10（d）为带线加载波导，加载条的折射为n 3。图3-10（e）为矩形波导，周围为同一种介质所包围，例如置于空气中的矩形介质条。带条折射率n 1大于周围介质折射率n 2。条形结构的光波导可以有效地将电磁能量集中于介质带条中，这种结构除了常用做光耦合器、外调制器以外，半导体激光器的有源区实际上也可以看作是一段长度有限的条形波导。3.3.2 分析条形波导的马卡梯里方法条形波导的严格分析是十分困难的，一般只能在一些近似条件下，求得它的近似解。在介质波导分析方法中是一种常用的，但稍嫌粗糙的方法是所谓磁壁法。即近似认为波导带表面是磁壁，在这些面上磁场的切线分量为零，从而求得带条内的电磁场解和特征参数。磁壁近似在介质带条介电常数（或折射率）比周围介质介电常数大得多时是一个可以接受的近似。但对于光波导，往往是带条的介电常数仅仅略大于周围介质的介电常数，在这种条件下磁壁近似是无法接受的。分析介质条形 图3-11 条形波导的横截面波导的另一种近似方法称为马卡梯里（Marcatili）方法，这种方法可以给出比磁壁法更为准确的结果。各种条形波导，不管其结构如何，总可以将其横截面分成如图3-11所示的九个区域。其中I区为介质带条区，其折射率为n1；II, III, IV , V四个区域分别为带条的上、下、左、右四个相邻区域；VI, VII, VIII, IX四个区域为带条的四个角上区域。条形波导中的严格场解应是在这九个区域中分别写出波动方程的可能解，并利