湖北省武汉市华中师大一附中高二数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）abcd2若方程x2+y2+xy+m2=0表示圆，则实数m的取值范围是（）abcd3某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查；第二种由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为（）a分层抽样，简单随机抽样b简单随机抽样，分层抽样c分层抽样，系统抽样d简单随机抽样，系统抽样4从数字1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为奇数的概率是（）abcd5直线（t为参数）被圆x2+y2=4截得的弦长等于（）abcd6如图，f1，f2是双曲线c1：x2=1与椭圆c2的公共焦点，点a是c1，c2在第一象限的公共点若|f1f2|=|f1a|，则c2的离心率是（）abcd7下列正确的个数是（）（1）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等（2）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变（3）一个样本的方差是s2=（x13）2+（x23）2+（x203）2，则这组数据等总和等于60（4）数据a1，a2，a3，an的方差为2，则数据2a1，2a2，2a3，2an的方差为42a4b3c2d18计算机是将信息转化为二进制数处理的，二进制即“逢二进一”如1101（2）表示二进制数，将它转化为十进制数为123+122+021+120=13，那么二进制数转化为十进制数为（）a220171b220161c220151d2201419直线与曲线x2y|y|=1的交点个数为（）a0b1c2d310记集合a=（x，y）|x2+y216，集合b=（x，y）|x+y40，（x，y）a表示的平面区域分别为1，2若在区域1内任取一点p（x，y），则点p落在区域2中的概率为（）abcd11正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3，把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面的6个数字为2，0，1，3，0，3的概率为（）abcd12双曲线的左、右焦点分别为f1、f2离心率为e过f2的直线与双曲线的右支交于a、b两点，若f1ab是以a为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（）a1+2b3+2c42d52二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知x与y之间的一组数据：x1234y1357则y与x的线性回归方程为必过点14抛掷两颗质量均匀的骰子各一次，其中恰有一个点数为2的概率为15在极坐标系中，定点a（2，0），点b在直线cos+sin=0上运动，当线段ab最短时，点b的极坐标为16如图是计算+的值的程序框图，其中在判断框中应填入的条件是：i三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，18至22题每题12分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知以点c为圆心的圆经过点a（1，0）和b（3，4），且圆心c在直线x+3y15=0上（1）求圆c的方程；（2）设点p在圆c上，求rtpab的面积18某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：（1）求分数在50，60）的频率及全班人数；（2）求分数在80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中80，90）间的矩形的高（保留四位小数）19随着机动车数量的迅速增加，停车难已是很多小区共同面临的问题某小区甲、乙两车共用一停车位，并且都要在该泊位停靠8小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两车中有一车在停泊位时，另一车必须等待的概率20某高中采取分层抽样的方法从应届高二学生中按照性别抽出20名学生作为样本，其选报文科理科的情况如下表所示性别科目男女文科25理科103（1）若在该样本中从报考文科的男生和报考理科的女生中随机地选出3人召开座谈会，试求3人中既有男生也有女生的概率；（2）用独立性检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关？（参考公式和数据：2=（其中n=a+b+c+d）21三棱锥abcd中，bcd、acd均为边长为2的正三角形，侧棱，现对其四个顶点随机贴上写有数字1至8的8个标签中的4个，并记对应的标号为f（）（取值为a、b、c、d），e为侧棱ab上一点（1）求事件“f（c）+f（d）为偶数”的概率p1；（2）若|be|：|ea|=f（b）：f（a），求二面角ecda的平面角大于的概率p222在平面直角坐标系xoy中，已知点，e为动点，且直线ea与直线eb的斜率之积为（0）（1）求动点e的轨迹方程，若动点e的轨迹和点a、b合并构成曲线c，讨论曲线c的形状；（2）当=时，记曲线c的右焦点为f2，过点f2的直线l1，l2分别交曲线c于点p，q和点m，n（点p、m、q、n按逆时针顺序排列），且l1l2，求四边形pmqn面积的最值2015-2016学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）abcd【考点】确定直线位置的几何要素 【专题】数形结合【分析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除b、d，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除b、d，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选c【点评】本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定2若方程x2+y2+xy+m2=0表示圆，则实数m的取值范围是（）abcd【考点】圆的一般方程 【专题】计算题；规律型；方程思想；直线与圆【分析】由二元二次方程表示圆的条件得到m的不等式，解不等式即可得到结果【解答】解：方程x2+y2+xy+m2=0表示一个圆，则1+14m20，故选：b【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，属基础知识的考查，本题解题的关键是看清楚所表示的二元二次方程的各个系数之间的关系3某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查；第二种由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为（）a分层抽样，简单随机抽样b简单随机抽样，分层抽样c分层抽样，系统抽样d简单随机抽样，系统抽样【考点】简单随机抽样；系统抽样方法 【分析】根据抽样的不同方式，选择合适的名称，第一种是简单随机抽样，第二种编号，选择学号最后一位为3的同学，这种抽样是系统抽样【解答】解：学生会的同学随机对24名同学进行调查，是简单随机抽样，对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，是系统抽样，故选d【点评】抽样包括简单随机抽样、分层抽样、系统抽样，根据条件选择合适的抽样方法，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，4从数字1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为奇数的概率是（）abcd【考点】古典概型及其概率计算公式 【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计【分析】分别求出所有的基本事件个数和符合条件的基本事件个数，使用古典概型的概率计算公式求出概率【解答】解：从5个数字中随机抽取2个不同的数字共有=10种不同的抽取方法，而两数字和为偶数则必然一奇一偶，共有=6种不同的抽取方法，两个数的和为奇数的概率p=故选c【点评】本题考查了古典概型的概率公式，通常使用列举法来计算，有时也可用排列组合公式来解决5直线（t为参数）被圆x2+y2=4截得的弦长等于（）abcd【考点】直线与圆相交的性质 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】直线化为普通方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出弦长【解答】解：直线（t为参数）的普通方程为x2y+3=0，圆心到直线的距离d=，直线（t为参数）被圆x2+y2=4截得的弦长等于2=故选：a【点评】本题考查直线的参数方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础6如图，f1，f2是双曲线c1：x2=1与椭圆c2的公共焦点，点a是c1，c2在第一象限的公共点若|f1f2|=|f1a|，则c2的离心率是（）abcd【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线的定义，可求出|f2a|=2，|f1f2|=4，进而有|f1a|+|f2a|=6，由此可求c2的离心率【解答】解：由题意知，|f1f2|=|f1a|=4，|f1a|f2a|=2，|f2a|=2，|f1a|+|f2a|=6，|f1f2|=4，c2的离心率是=故选b【点评】本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键7下列正确的个数是（）（1）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等（2）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变（3）一个样本的方差是s2=（x13）2+（x23）2+（x203）2，则这组数据等总和等于60（4）数据a1，a2，a3，an的方差为2，则数据2a1，2a2，2a3，2an的方差为42a4b3c2d1【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差 【专题】计算题【分析】根据频率分步直方图中中位数的求法知（1）正确，根据平均数和方差的特点知（2）正确根据方差的公式知（3）正确，根据方差的性质知（4）正确【解答】解：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故（1）正确，如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变，故（2）正确，一个样本的方差是s2=（x13）2+（x23）2+（xn3）2，则这组数据等总和等于203=60，故（3）正确，数据a1，a2，a3，an的方差为2，则数据2a1，2a2，2a3，2an的方差为42故（4）正确综上可知4个命题都正确，故选a【点评】本题考查众数，中位数，平均数和方差，本题解题的关键是理解这几个特征数的特点与求法，本题是一个基础题8计算机是将信息转化为二进制数处理的，二进制即“逢二进一”如1101（2）表示二进制数，将它转化为十进制数为123+122+021+120=13，那么二进制数转化为十进制数为（）a220171b220161c220151d220141【考点】进位制 【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；算法和程序框图【分析】根据二进制与十进制的换算关系，把二进制数转化为十进制数，再用等比数列求和得出结果【解答】解：根据题意，二进制数转化为十进制数为122015+122014+122+121+120=22015+22014+22+2+1=220161故选：b【点评】本题主要考查了二进制、等比数列的前n项和公式的应用问题，二进制转换为十进制方法：按权重相加法，即将二进制每位上的数乘以权（即该数位上的1表示2的多少次方），然后相加之和即是十进制数9直线与曲线x2y|y|=1的交点个数为（）a0b1c2d3【考点】直线与圆锥曲线的关系 【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】作出曲线x2y|y|=1的图形，画出y=x+的图形，即可得出结论【解答】解：当y0时，曲线方程为x2y2=1，图形为双曲线在x轴的上侧部分；当y0时，曲线方程为y2+x2=1，图形为圆在x轴的下方部分；如图所示，y=x+与y2+x2=1相交，渐近线方程为y=x直线y=x+与曲线x2y2=1的交点个数为0故选：b【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，题目中所给的曲线是部分双曲线的椭圆组成的图形，只要注意分类讨论就可以得出结论，本题是一个基础题10记集合a=（x，y）|x2+y216，集合b=（x，y）|x+y40，（x，y）a表示的平面区域分别为1，2若在区域1内任取一点p（x，y），则点p落在区域2中的概率为（）abcd【考点】几何概型 【专题】概率与统计【分析】由题意，根据几何概型的公式，只要求出平面区域1，2的面积，利用面积比求值【解答】解：由题意，两个区域对应的图形如图，其中，由几何概型的公式可得点p落在区域2中的概率为；故选b【点评】本题考查了几何概型的概率求法，解答本题的关键是分别求出平面区域1，2的面积，利用几何概型公式求值11正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3，把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面的6个数字为2，0，1，3，0，3的概率为（）abcd【考点】古典概型及其概率计算公式 【专题】转化思想；综合法；概率与统计【分析】露在外面的6个数字为2，0，1，3，0，3，则向下的数字分别为1和2，求出所有的基本事件个数和向下数字为1和2的基本事件个数，代入概率公式即可【解答】解：抛两个正四面体，共有44=16个基本事件，向下数字为1与2的基本事件共有2个，分别是（1，2）和（2，1），向下数字为1与2的概率p=故选c【点评】本题考查了古典概型的概率计算，将所求问题转化为向下数字为1和2是解题关键12双曲线的左、右焦点分别为f1、f2离心率为e过f2的直线与双曲线的右支交于a、b两点，若f1ab是以a为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（）a1+2b3+2c42d52【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；压轴题【分析】设|af1|=|ab|=m，计算出|af2|=（1）m，再利用勾股定理，即可建立a，c的关系，从而求出e2的值【解答】解：设|af1|=|ab|=m，则|bf1|=m，|af2|=m2a，|bf2|=m2a，|ab|=|af2|+|bf2|=m，m2a+m2a=m，4a=m，|af2|=（1）m，af1f2为rt三角形，|f1f2|2=|af1|2+|af2|24c2=（）m2，4a=m4c2=（）8a2，e2=52故选d【点评】本题考查双曲线的标准方程与性质，考查双曲线的定义，解题的关键是确定|af2|，从而利用勾股定理求解二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知x与y之间的一组数据：x1234y1357则y与x的线性回归方程为必过点（2.5，2）【考点】线性回归方程 【专题】计算题；规律型；概率与统计【分析】求出样本中心即可得到结果【解答】解：由题意可知：=2.5=2y与x的线性回归方程为必过点（2.5，2）故答案为：（2.5，2）【点评】本题考查回归直线方程的应用，样本中心的求法，考查计算能力14抛掷两颗质量均匀的骰子各一次，其中恰有一个点数为2的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式 【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计【分析】求出所有的基本事件个数和符合要求的事件个数，代入古典概型的概率公式即可【解答】解：抛掷两颗质量均匀的骰子各一次共有66=36个基本事件，其中恰有一个点数为2的事件共有10个，分别是（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（1，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），恰有一个点数为2的概率p=故答案为【点评】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题15在极坐标系中，定点a（2，0），点b在直线cos+sin=0上运动，当线段ab最短时，点b的极坐标为（1，）【考点】简单曲线的极坐标方程 【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程【分析】求出动点b在直线x+y=0上运动，当线段ab最短时，直线ab垂直于直线x+y=0，由此能求出点b的极坐标【解答】解：x=cos，y=sin，代入直线cos+sin=0，可得x+y=0，在极坐标系中，定点a（2，0），在直角坐标系中，定点a（2，0），动点b在直线x+y=0上运动，当线段ab最短时，直线ab垂直于直线x+y=0，kab=，设直线ab为：y=（x2），即x2=0，联立方程求得交点b（），=1，tan=，=点b的极坐标为（1，）故答案为：（1，）【点评】本题考查点的极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用16如图是计算+的值的程序框图，其中在判断框中应填入的条件是：i10【考点】程序框图 【专题】算法和程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该题是当型循环结构，应先判断是否满足条件，再执行循环体，共执行了9次循环运算，从而得出结论【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知赋值i=1，m=0，n=0判断满足条件，执行i=1+1=2，m=0+1=1，n=0+；判断满足条件，执行i=2+1=3，m=1+1=2，n=+；判断满足条件，执行i=3+1=4，m=2+1=3，n=+；判断满足条件，执行i=4+1=5，m=3+1=4，n=+；判断满足条件，执行i=9+1=10，m=8+1=9，n=+；判断不满足条件，输出n=+，算法结束由此看出i=10时不满足1010所以判断框中的条件应是i10故答案为：i10【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应根据题意，模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，是基础题三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，18至22题每题12分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知以点c为圆心的圆经过点a（1，0）和b（3，4），且圆心c在直线x+3y15=0上（1）求圆c的方程；（2）设点p在圆c上，求rtpab的面积【考点】圆的标准方程 【专题】计算题；方程思想；数形结合法；直线与圆【分析】（1）圆心c为ab的垂直平分线和直线x+3y15的交点，解之可得c（3，6），由距离公式可得半径，进而可得所求圆c的方程；（2）求出|ab|，由题意可得角a或角b为直角，可知rtpab的斜边长为圆的直径，由勾股定理求得另一直角边长，则rtpab的面积可求【解答】解：（1）依题意所求圆的圆心c为ab的垂直平分线和直线x+3y15=0的交点，ab的中点为（1，2），斜率为=1，ab的垂直平分线的方程为y2=（x1），即y=x+3，联立，解得，即圆心c（3，6）半径r=所求圆c的方程为（x+3）2+（y6）2=40；（2）如图，|ab|=，pa或pb为圆的直径，等于，rtpab的另一条直角边为，rtpab的面积为48=32【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查了直线与圆的性质，训练了数形结合的解题思想方法，属中档题18某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：（1）求分数在50，60）的频率及全班人数；（2）求分数在80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中80，90）间的矩形的高（保留四位小数）【考点】茎叶图；频率分布直方图 【专题】数形结合；数学模型法；概率与统计【分析】（1）利用茎叶图和频率分布直方图确定分数在50，60）的面积，然后求出对应的频率和人数（2）利用茎叶图计算出分数在80，90）之间的人数，以及对应的频率，然后计算出对应矩形的高【解答】解：（1）由茎叶图可知分数在50，60）的人数为3人，分数在50，60）的矩形的面积为0.012510=0.125，即分数在50，60）的频率为0.125；设全班人数为n人，则=0.125，解得n=24（人）；（2）则分数在80，90）之间的人数为24（3+7+10+2）=2人则对应的频率为=，所以=0.0083，即频率分布直方图中80，90）间的矩形的高为0.0083【点评】本题考查了茎叶图和频率分布直方图的识别和应用问题，是基础题目19随着机动车数量的迅速增加，停车难已是很多小区共同面临的问题某小区甲、乙两车共用一停车位，并且都要在该泊位停靠8小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两车中有一车在停泊位时，另一车必须等待的概率【考点】几何概型 【专题】数形结合；数学模型法；概率与统计【分析】先确定概率类型是几何概型中的面积类型，再设甲到x点，乙到y点，建立甲先到，乙先到满足的条件，再画出并求解0x24，0y24可行域面积，再求出满足条件的可行域面积，由此求出概率【解答】解：设甲、乙两车达泊位的时刻分别为x，y则作出如图所示的区域：区域d的面积s1=242，区域d的面积s2=242162p=即两车中有一车在停泊位时另一车必须等待的概率为【点评】本题主要考查了建模与解模能力，解答时应利用线性规划作出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出对应事件的概率20某高中采取分层抽样的方法从应届高二学生中按照性别抽出20名学生作为样本，其选报文科理科的情况如下表所示性别科目男女文科25理科103（1）若在该样本中从报考文科的男生和报考理科的女生中随机地选出3人召开座谈会，试求3人中既有男生也有女生的概率；（2）用独立性检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关？（参考公式和数据：2=（其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验 【专题】计算题；概率与统计【分析】（1）由题意知本题是一个古典概型，求出事件发生所包含的事件和符合条件的事件数，得到概率（2）根据所给的表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，得到有95%以上的把握认为学生选报文理科与性别有关【解答】解：（1）从报考文科的2名男生，报考理科的3名女生中任取3人，有=10种，其中全是女生的情况只有1种，求3人中既有男生也有女生的概率为1=；（2）2=4.433.841，可知有95%以上的把握认为学生选报文理科与性别有关【点评】本题是一个概率与统计的综合题目，是一个考查的比较全面的解答题，这种题目可以出现在大型考试中，解决本题是要注意列举做到不重不漏21三棱锥abcd中，bcd、acd均为边长为2的正三角形，侧棱，现对其四个顶点随机贴上写有数字1至8的8个标签中的4个，并记对应的标号为f（）（取值为a、b、c、d），e为侧棱ab上一点（1）求事件“f（c）+f（d）为偶数”的概率p1；（2）若|be|：|ea|=f（b）：f（a），求二面角ecda的平面角大于的概率p2【考点】几何概型 【专题】分类讨论；数形结合法；概率与统计【分析】（1）用m1表示“f（c）和f（d）均为奇数”，m2表示“f（c）和f（d）均为偶数”，计算p（m1）与p（m2）的值，再求“f（c）+f（d）为偶数”的概率p1=p（m1）+p（m2）；（2）画出图形，结合图形，找出二面角ecda的平面角，计算=时的值，时的值，讨论f（b）=1、2或大于等于3时，f（a）的可能取值，从而求出p2的值【解答】解：（1）用m1表示“f（c）+f（d）为奇数”，m2表示“f（c）+f（d）为偶数”， 由题意知，p（m1）=，p（m2）=；