湖北省武穴市实验中学七年级数学上册 3.2 代数式的值导学案 华东师大版 .doc

湖北省武穴市实验中学七年级数学上册 3.2 代数式的值导学案 华东师大版 【目标概览】代数式与代数式的值的应用极为广泛。如人们日常的生产生活，市场经济、经济核算，体育比赛，生态环保，国情国策等各个领域几乎都有数与式应用的范例。近两年来，全国各地的中考数学试卷上考查数与式的应用问题更是数量繁多，选材广泛，题型新颖，这些试题既考查我们对数与式有关知识的掌握情况，又对我们的思维能力和数学素质提出了较高要求。本小节知识目标技能目标，情感态度价值观的三维目标如下：1、能用具体的数代替代数式中的字母，求出代数式的值。2、掌握代数式的值的字义。3、掌握用数值代替代数式里的字母时的注意事项。4、进一步认识有理数的运算规则及技巧。5、运用代数式及代数式的值解决日常生活实际中出现的问题。6、初步认识“程序”概念。7、初步理解“函数值”的思想。8、初步理解“对应”的数学思想。【思考交流】蓬蓬国王为了获得老百姓的支持，图一个“乐善为施”的名声，决定施舍每个男人1美元，每个女人40美分（1美元等于100美分）/为了使花费少些，他想出了一个妙法，决定将他的直升机在正午12时，在一个贫困的山村着陆。因为他十分清楚，在那个时刻，村庄里有60%的男人都外出打猎去了，该村庄共有成年人3085人，儿童忽略不计，女性比男性多，那么这位国王要施舍掉多少钱？题目中没有告诉究竟有多少男人，多少女人，不妨假设村庄里有1000个男人，因为60%人去打猎了，所以国王中能碰到400人，再加上 家务的2085个女人，所以国王要施舍的我应当是1400+0.42085=1234（美元），如果村庄里只有500个男人，我们也可以算出国王的开销也是1234美元，假定这个村庄里一个男人也没有，国王碰到的全是女人，他施舍的钱支出完然也是1234美元，这是巧合还是必然呢？同学们，你能借助代数式及代数式的值来解决这个问题吗？一些数学现象，隐藏着必然的规律，用字母代数及代数式的值是揭示其真相的一种有效方法。【学法指津】代数式的值在初中数学中占有非常重要的地位，今后的学习中很多问题都需要借助代数式来进行运算求值，揭示数学问题中必然规律，我们在学习过程中也可用如下的方法来提高学习效率。1、尝试法：数学中有很多重要的结论是在实践之中尝试而得出的。同学们在学习过程中也可以合作探究，比如课本中的xx+1(x+1)2(x+1)2-1的代数式链，第一个同学给定x=5，第四个同学计算的结果都是在合作中完成，在尝试之中进行。2、激趣法：课本中给出的有趣的“3x+1”问题，是在数的研究过程中认识到的一个有趣的现象。同学们可以取几个负整式或0进行尝试，其实数学上还有著名的数学“黑洞问题”，有待同学们进一步地探究。3、观察法：对于两个不同的代数式，如（a+b）2，a2+2ab+b2，但给定的字母a、b的值相同，他们的代数式的值也是相同的，这个知识在今后的学习过程中会进一步学习，在此只是进行知识的渗透。【知识导学】本节知识的涉及面较少，但是新知识点的内容并不多，为了有效地帮助同学们学习，我们把学习本节要注意的知识点全部列举出来供同学们举一反三，拓展提高，对新旧知识的联系，能力的提高提供一个有效的训练平台。知识点一：（重点）代数式的值的定义用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫代数式的值。进行代数式的值的求解过程必须先理解代数式的值的定义，这个定义的本质是对于一个代数式我们把给定的字母的值代入进去，然后进行有理数的运算便可能得出结果。在进行代数式的值的解题过程中，应注意正确地进行字母的数值代入，尤其注意判断有理数乘方中的底数及运算顺序。同学们在理解例1时，应注意以下几点：课本中选择的三个代数式b2-4ac，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，(a+b+c)2是今后学习过程中常用的代数式，对以后的学习有相当重要的作用。把a、b、c的数值代入代数式中的字母时应注意：a2、b2、c2应分别为22、（-1）2、（-3）2，因为a2、b2、c2它们的底数分别为a、b、c，而a=2，b=-1，c=-3，a2、b2、c2的底数分别为2，（-1），（-3），故a2、b2、c2不能写作22、-12、-32。把a、b、c的数值代入代数式中的字母时也应注意：2ab，2bc，2ca应分别为22（-1），2（-1）（-3），2（-3）2。把字母的数值代入代数式中，那么代数式的值的求解过程实质上就转化为有理数的运算。比较a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca与（a+b+c）2两个代数式的值的结果，可以发现它们的值相等，今后你会学习到这个公式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，你也可以举例判断（a+b）2，与a2+2ab+b2两个代数式的值之间有何关系。能力拓展：乘法与乘方是两个不同的运算级，乘方属于三级运算，乘法属于二级运算，在运算过程中应先算乘方再算乘法，请你尝试解决下列问题：当a=2时，求代数式2a2+3a+5的值。知识点二：（难点）增长率问题增长率（利润率、利率）问题是经济生活中常见的问题，在全国各地的中考试题频繁出现，在日常生活中也屡见不鲜，如国民生产总值的年增长率，国家森林覆盖面积的增长率，银行的借贷的利率等等，尤其是课改之后，我们的数学将深入到生活实际中，数学的最终目标为了同学们的生活实践，而且数学实践本质上就是能力的培养。因此无论是面向中考现实还是生活实际，增长率问题是初中学习中一个重点，而且是一大难点。首先我们进行规律的探索：如某工厂2002年产值为单位1，2003年产值比2002年增第10%，则2003年的产值为1加上增长的部分110%，而2003年产值为1+110%=1（1+10%）。如果2004年产值比2003年产值又增长10%，则2004年产值为2003年的产值：1（1+10%）加上增加的部分1（1+10%）10%，而2004年产值为：1（1+10%）+1（1+10%）10%=1（1+10%）（1+10%）乘法分配律的反用=1（1+10%）2乘方的意义由此来理解课本中的例2，则显得很简单了。去年产值为a，今年比去年增长10%，明年比今年还能按这个速度（仍为10%的增长率）增长，则今年产值为a（1+10%），明年的增长率为a（1+10%）2。在进行a（1+10%）2代数式的求值时，首先代入a=2亿元，则明年产值为2（1+10%）2，应先计算（1+10%）2=1.21，先后再进行21.21=2.42的运算，即在进行代数式的求值时，应先进行高级运算，然后进行低级运算。注意事项：银行利率的计算有特殊的规定：整存整取2年期，若利率为a，本金为1万元，2年后的本息和为1（1+a）2（万元）。本金1万元办理1年期整存整取，1年到期后又自动转入第二年整存整取，此时2年的本息和为1+21a（万元）。其中第二种存款方式与我们本次课中所讲的利率问题有所不同，应注意体会。知识点三：程序计算程序计算是本节练习中所渗透的知识点，同学们对程序计算的理解是直观的。它是计算机知识的基础，是一些重要的数学推理，逻辑演绎的工具。本节练习的问题所反映的内容，要求同学们进行简单的判断与计算，要求同学们会识图，了解符号所包含的意义，理解程序所计的方法与格式，掌握设计程序的一般方法，近年来，中考试卷中也有时反映。如2003年江苏南通中考一道程序计算问题，我们可以用我们现有的知识来进行解决：给出下列程序：输入x 立方 k +b 输出且已知当输入的x值为1时，输出值为1，当输入的x值为-1时，输出值为-3，则当输入的x值为时，输出值为_。已要我们理解程序设计的原理就不难发现输出的代数式为kx3+b，其实质为：k+b=1，同时-k+b= -3，解之得：k=2，b= -1，即代数式为2x3-1，故当x=时，2（）3-1= -。只要我们掌握了数学计算的基本工具，具有了高超的数学思维，一切难题就会迎刃而解。能力拓展：仿照练习中题，请尝试着设计一个程序，要求至少进行2次代入计算后输出结果。【技巧解悟】一、考查代数式的值的意义例1：下列代数式：x+1，a2，a2-1，|x|，a2+2，(a-b)2，1-(-m)5的值，一定为正数的有（ ）a.1个b.2个c.3个d.以上答案均不对解析：判断一个代数式的值一定为正数，要取遍所有符合要求的字母的值，其实这是不可能的，我们只要找到一个数能使其负值或零，其结论的反面就告诉我们哪个一定是正值了。同时，我们还可结合任何一个有理的平方，任何正数的绝对值均为非负数等性质也可解决问题。答案：本例中x+1，a2，a2-1，|x|，(a-b)2，1-(-m)5均可能为负数或0，只有a2+2，不论a为何值时，其结果一定为正数，故选a。例2：下表表示每给x的一个值，某个代数式的相应的值，满足表中所有条件的代数式是：x0123代数式的值2-1-4-7a.x+2b.2x-3c.3x-10d.-3x+2解析：对a、b、c、d四个答案中所给的代数式进行代入计算：如a.x+2，我们只要把x=1代入就可进行检验，a中代数式的值为3，不符合要求，故a不正确（尽管它满足x=0时，代数式值为2），同理我们也可检验到b、c均不正确，同时可以对d的代数式-3x+2进行判断，确定d的正确。答案：当x=0时，代数式的值为2，从而肯定b、c的代数式是不符合要求的。当x=1时，代数值为-1，从而肯定a的代数式是不符合要求的，而当x=0时，-3x+2=2；当x=1时，-3x+2= -1；当x-=2时，-3x+2= -4；当x=3时，-3x+2= -7，故d正确。例3：根据图中所示的计算程序计算代数式的值。输入x值x+2(-2x-1)x2(-1x1)-x+2(1x2)输出代数式的值若输入的x值为，则输出的结果为（ ）a. b.c.d.解析：当x=时，在1x2之中，故代数式的值输出按-x+2进行计算。答案：x=，在1x2中，故输出的代数式的值为-x+2=+2=，故答案选c。二、考查如何求代数式的值例4：当x= -2时，代数式-x2+2x-1的值等于（ ）a.9b.-9c.1d.-1解析：把x= -2代入代数式-x2+2x-1中，求值即可，但是注意代入时，注意有理数的运算顺序。答案：当x= -2时，-x2+2x-1=-(-2)2+2(-2)-1=-4-4-1= -9故答案选b。例5：当代数式a+b的值为3时，代数式2a+2b+1的值是（ ）a.5b.6c.7d.8解析：本题给出的字母的值为a+b的整体取值a+b=3，我们可以把要求值的代数式2a+2b+1变形为2（a+b）+1，然后整体代入求值。答案：由条件知a+b=3,而2a+2b+1=2(a+b)+1=23+1=7故答案选c。例6：当x= -1时，代数式|5x+2|和代数式1+3x的值分别为m、n，则m、n之间的关系为（ ）a.mnb.m=nc.mnd.以上三种情况均有可能解析：把x= -1分别代入代数式|5x+2|与1-3x，求值即可判断。答案：当x= -1时，|5x+2|=|5(-1)+2|=|-3|=31-3x=1+3(-1)=1+3=4mn，故答案选c。例7：已知当x=2时，代数式ax3+bx+1的值为6，那么当x=2时，代数式ax3+bx+1的值是_。解析：把x= -2代入代数式可得：-8a-2b+1=6，把x=2代入代数式可得8a+2b+1，利用当x= -2时的结论可求8a+2b+1的值，此方法为整体代入法。答案：当x= -2时，ax3+bx+1值为6，故-8a-2b+1=6，即8a+2b= -5，而当x=2时，ax3+bx+1=8a+2b+1= -5+1= -4故填-4a bc d三、考查图表分析能力例8：如图为2002年6月份的日历，现用一矩形的日历中注意框出4个数 ，请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系。日 一 二 三 四 五 六12 3 4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20 21 2223 24 25 26 27 28 29 30解析：对已框出的4个数4、5、11、12进行分析可以发现4+12=5+11，11-4=15-2，5-4=12-11。答案：a+d=b+c四、考查程序计算能力例9：如图某计算装置有一数据输入a和一个运算的输出b，下表是小明输出的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果，按照这个计算装置计算规律，若输入的数是10，则输出的数是_。a12345b25101726解析：分析输入数据和输出结果之间对应的关系可以发现它们之间的规律。答案：由输入数据与输出结果之间关系，设输入数据为x，则结果为x2+1，故输入数为10，则输出结果为101。五、考查代数式的求值的应用能力例10：小林的爸爸按年期一年把3500元存入银行，年利率为2.2%，到期支取扣除个人所得税（税率20%），所得利息为_元。解析：3500元的本金存入银行，到期后支取本金及利息，其中利息仅为3500元所生利息的80%，因为要交利息税（税率为20%）。答案：35002.2%（1-20%）=61.6元例11：某种教育储蓄的年利率是x，小明将1000元按三年期存入银行，三年后可取出_元。解析：本题的储蓄期限是三年期，与一年期连续存三年有着本质的不同。答案：三年后可取出1000+1000x3，即3000x+1000（天）例12：某体校m个兰球队，进行单循环比赛（所有参加比赛的球队，每个队都要与其他各队比赛一次），那么总共比赛的场数为_。解析：当m=2时，只需1场比赛；当m=3时，比赛场次为3；当m=4时，比赛场次为6；当m =5时，比赛场次为10；当m=6时，比赛场次为15；当 m =7时，比赛场次为21；经过总结，体校的m个球队进行单循环比赛共需比赛的场次为场。答案：场。【能力拓展】综合题：例1：楼房的高度用h表示，楼梯层数用n表示，测得的有关数据如下表（楼房一层高地面2米）。楼梯层次n离地面高度h（单位：米）182.88+2365.76+2548.64+27211.52+2试用n表示楼房高度h的代数式；利用这个代数式，当楼房高度为59.6米时，应该有多少层楼房？解析：细心比较楼梯层次n与此时楼梯离地面高度h之间的对应关系，表中的左列数据分别是18的1倍，2倍，3倍，4倍，表中右列加号前面的数据分别是2.88的1倍，2倍，3倍，4倍，因此只需考2.88和18的关系。答案：由观察可知，左列数据是由18的1倍，2倍，3倍，4倍，组成的一个数列，右列加号前面的数据是2.88的1倍，2倍，3倍，4倍，组成的一个数列。而。因此右列数据是左列数据的倍与2的和楼梯距地面高度h可用n来表示，即h=n+2当h =59.6时，59.6=n+2，解之得n=360经验技巧：分析一组数据与另一组数据之间关系时，首先要分析每组数据的规律，然后再对左右列中一对特殊数据进行分析，便可得出一组数据与另一组数据之间的关系。应用题：例2：我国政府为了解决查看牲畜病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品1999年涨价30%后，2001年又降价70%至b元，试用b表示1999年涨价前的价格a，当b=3.9元时，a等于多少元？解析：1999年涨价有价格a元，经过一次涨价一次降价，现价为b元。故b可表示为a(1+30%)(1-70%)（元），反之用b表示a，即为a值为：元。答案：用b表示a为：，a= 即a=当b值为3.9元时，a=10元创新题：例3：为了鼓励节约用电，某地对用户作如下规定，如果每月每户用电不超过100度，那么每度电价0.52元；如果超过100度，那么超过部分加倍收费。现某用户一月交电费72.8元，用了几度电？解析：本题电费的代数式分两种情况，一种情况是用电度数不超过100度时电费；另一种情况是用户度数超过100度时的电费。答案：设用电度数为x当用电度数x100度时，应交电费0.52x（元）当用电度数x100度时，应交电费1000.52+（x-100）0.522，即52+1.04（x-100）某用户一个月交电费72.8元72.852元，则可判断此用户用电超过100度设此用户一个月用电x度，故 52+1.04（x-100）=72.8 x=120（度）误区警示：用户用电超过100度时，其中100度按每年0.52元收费，超过部分按每度0.522元，即1.04元收费。例4：党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番，在本世纪的头二十年（2001年2020年），要实现这一目标，以十年为单位计算，设2000年国民生产总值为a万元。每个十年的国民生产总值的增长率均为x，试用两种方式表示2020年国民生产总值。解析：第一种方式为20年内国民生产总值翻两番，即2020年国民生产总值为4a（万元），第二方式为每个十年国民生产总值的增长率为x，即2020年国民生产总值为a(1+x)2。答案：两种方式表示2020年国民生产总值分别为4a（万元）与a（1+x）2（万元）方法规律：“翻两番”即为原来的4倍。20012020年共20年，国民生产总值的增长率不是以1年为单位的，而是本题的规定：以十年为一个单位。【探究体验】例1：探求自然数列前几项和的代数式表示方法。解析：关于自然数列前几项和的代数式表示，在我们数学学习中经常遇到，在今后的学习过程中也要进行研究。我们今天采用如下办法来进行简单探索：1+2+3+n123让我们用相应的正方形表示1、2、3、4、5、6、7这些数，如把这些图形连在一起，得出的图形就是表示1+2+3+4+5+6+7的和。（a）图内的方格数等于1+2+3+7的和，如果画两个同样的图形，并把它们连在一起如图（b），那样我们就可得到一个四边形，在它的边有8个方格，另一边有7个方格，因此图内共有78个方格。因为每个“三角形”的图形（a）是表示1+2+3+7的和的两倍，因而1+2+3+7=，显而易见：我们所画好的自然数列前7个数之和这个图形，能够适用于自然数列前几个数的任何数值，如以字母n代替7，则得：1+2+3+（n-1）+n= 例如：1+2+3+100=50501+2+3+200=20100著名的德国数学家高斯（1777-1855）在六岁时，发现了上面所述的公式，他把要求的从1到100的各数顺序写下，并以如下的形式排成两排1+2+3+98+99+100100+99+98+3+2+1他把每列数字相加，发现每列数字之和为101，既然是100列，所以总和为100101，这个积还应当用2除，因为被加数都写过两次，于是这位数学家在六岁时，就得出了他许多非常重要的发现中的第一个，即：1+2+3+（n-1）+n=。开放题：例2：a一定是正数吗？-a一定是负数吗？-a可以为零吗？-a能等于a吗？解析：从外形来看，a前面没有“-”号，就把a看作是正的，把-a看作是负的，这是初学者最容易出现的错误，由于字母的任意性，字母a可以为正，可以为负，也可以为零，只有根据字母取值的各种情况进行讨论，才能对提出的问题做出正确的回答。答案：当a是正数时，-a是负数；当a是0时，-a是零；当a是负数时，-a是正数。所以a不一定是正数，-a也不一定是负数，-a可以为0，当a=0时，-a等于a成立。【习题解题】p96练习1、输入值n=2，计算=33200，故把3代入，得6，又6200，故又把6代入=21，又21200，故再把21代入=231，又231200即231为输出的结果。2、对于代数式x2+2xy+y2当x=2，y=3时，x2+2xy+y2=4+12+9=25；当x= -2，y= -4时，x2+2xy+y2=4+16+16=36对于代数式x2-2xy+y2当x=2，y=3时，x2-2xy+y2=4-12+9=1当x= -2，y= -4时，x2-2xy+y2=4-16+16=43、梯形面积=当a=2cm，b=4cm，h=3cm时，梯形面积=9（cm2）p96习题3.21、填表：x23242x4648132x38278642、当摄氏温度为x时，华氏温度为x+32f；当摄氏温度为20时，华氏温度=20+32，即华氏温度为68f。3、对于代数式（a+b）2-(a-b)2当a=，b=2时，原式=（+2）2-（-2）2=-=4对于代数式a2+2ab+b2当a=，b=2时，原式=+22+4=4、因为甲先走1小时，故从乙开始走时，甲仅用时间为小时，乙需用时间小时，故甲比乙早到的时间为-（小时）当s=120，a=15，b=12时，-=-=10-7=3（小时）【自主评价】一、基础题1、填下面右圈中对应的数值有括号中的数。x-2x+130-2-2( )+1-2( )+1-2( )+12、当x=2，y= -1时，求下列代数式的值。x2-2xy+y2x3+3x2y-y2+53、当x= -3，y=时，求代数式|x+3y|与代数式|3x|-|y|的值。4、用代数式表示图中阴影部分的面积，并求出当a=2.5，r=1，h=1.5时，阴影部分的面积。5、商店售出一种产品，质量x与售价c之间的关系如下表：（表内售价栏中0.6是包装袋的价钱）。质量x（千克）12345售价c（元）3+0.66+0.69+0.612+0.615+0.6试用质量x表示售价c；计算当x=6.5千克时的产品的售价。6、某出租车收费与顾客乘坐的路程关系如下表：4千米以内858+1.468+2.878+4.288+5.6试写出用乘车路程s表示收费y的代数式；当乘车s=20千米时，所需的车费。二、拓展题7、在代数式中，x不能取_。8、按规律填数3+5，6+5，9+5，12+5，_；1-0.1，2+0.2，3-0.3，4-0.4，_。9、银行存款，用p表示本金，n表示存入的期数，i表示每期的利率，i表示n期末的利息，利息i=_，如果p=300元，n=2个月，i=2.3，则i=_。10、如图，在长为a厘米，宽为a厘米的长方形的四角上各截去一个边长为b厘米的小正方形（ba），沿虚线折起得到一个有底无盖的小盒子。要将小盒子外部表面贴上彩色花纸，用代数式表示至少需要多大面积的彩色花纸；求当a=31，b=4.8时，所需彩纸的面积（精确到1平方厘米）。11、观察下列等式9-1=8，16-4=12，25-9=16，36-16=20，这些等式反映出自然数间的什么规律呢？设n表示自然数，请用含有n的等式表示出来。12、我国进口关税近年来有两次大幅度下调，第一次降低了40%，第二次又在第一次降低的基础上降低了30%，求若未降税前某种商品的税款为s万美元，用代数式表示现在实际税款为多少？若s=1000，求现在实际纳税款为多少？【资料交流】探究“循环规律”巧解题生活中的循环现象从都离不开，例如：每天的日出日落，第二天又重新开始；每周的周末过后，新的一周又开始了；春、夏、秋、冬，年复一年，循环重复，像这样经过一定时间或一定次数后，就重复出现的现象，就是循环现象。认真分析研究这种现象的规律性，有利于我们的生活和生产，数学的研究就是如此。下面举例说明，充分挖掘循环规律，可以化繁为简，化难为易，从而巧妙地解决数学问题。一、探究循环规律巧求值。例1：已知y1=2x，y2=，y3=，y2002=，求y1y2002的值。分析：由已知得y1=2x，y2=，y3=2x，y4=，y5=2x，y6=，这里的y1，y2，y3，y4，的值按2x，顺序重复出现，于是由循环规律得：y1=y3=y5=y2k-1=2xy2=y4=y6=y2k=（其中k为正整数）于是y2002=y1y2002=2x=2二、探究循环规律巧例2：放有小球的1998个盒子，从左到右排成一行，如果最左边四个盒子里依次装有1个、9个、9个、8个小球，且每19个相邻的盒子里共有98个小球，那么最右边三个盒子里共有多少个小球？分析：设从左到右盒子里的小球数依次为：a1，a2，a3，a1998，仔细分析本题隐