【数学】数学--金陵中学、海安高级中学、南外三校2012届高三下学期联合考试_数学_.pdf

江苏省海安高级中学 南京外国语学校 金陵中学 2012 届高三联合考试 数学 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 请把答案填写在答分 请把答案填写在答 题卡题卡 相应位置相应位置 上 上 1 已知集合 A x x 0 B x x 1 则 A B 2 已知 x 是实数 x i 1 i是纯虚数 则 x 的值是 3 根据如图所示的流程图 当输入的正整数 n 的值为 5 时 输出的 an的值是 4 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m n 作为点 P 的横 纵坐标 则点 P 在直线 x y 5 下方的概率是 5 如图所示的茎叶图记录了某运动员在某赛季一些场次的得分 则该运动员的平均得分为 6 不等式 lg x x 1 的解集为 7 底面边长为 2m 高为 1m 的正三棱锥的全面积为 m2 8 在等比数列 an 中 a1 1 前 n 项和为 Sn 若数列 Sn 1 2 也是等 比数列 则 Sn等于 9 已知函数 f x kx3 3 k 1 x2 k2 1 若 f x 的单调减区间是 0 4 则在曲线 y f x 的切线中 斜率最小的切线方程是 10 若 tan 3tan 且 0 2 则 的最大值为 0 9 1 055 2 8 3 1 第 5 题 开始 输入 n n 4 an n2 N Y 输出 an 结束 第 3 题 an 2n 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 3 页 包含填空题 共 14 题 解答题 共 6 题 满分为 160 分 考试 时间为 120 分钟 考试结束后 请将答题卡交回 2 答题前 请您务必将自己的姓名 考试证号等用书写黑色字迹的 0 5 毫米签字笔填 写在答题卡上 并用 2B 铅笔正确填涂考试号 3 作答时必须用书写黑色字迹的 0 5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置 在其它位 置作答一律无效 如有作图需要 可用 2B 铅笔作答 并请加黑 加粗 描写清楚 11 过双曲线x 2 a2 y2 b2 1 a 0 b 0 的右顶点 A 作斜率为 1 的直线 该直线与双曲线的两 条渐近线的交点分别为 B C 若AB 1 2BC 则双曲线的离心率是 12 ABC 的面积为 1 点 D 在 AC 上 DE AB 连结 BD 设 DCE ABD BDE 中面积最大者的值为 y 则 y 的 最小值为 13 在 ABC 中 若 a 2 b c 1 ABC 的面积为 3 则 AB AC 14 已知使函数 f x x3 ax2 1 0 a M0 存在整数零点的实数 a 恰有 3 个 则 M0的取值 范围是 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 90 分 请在答分 请在答 题卡题卡 指定区域内指定区域内 作答 解答时应写出文字 说明 证明过程或演算步骤 作答 解答时应写出文字 说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知函数 f x 3sinx 4cos x 4 cos 2x 4 1 若 f x 1 求 cos 2 3 x 的值 2 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别是 a b c 且满足 acosC 1 2c b 求 f B 的取值范围 16 本小题满分 14 分 如图 已知 BC 是半径为 1 的半圆 O 的直径 A 是半圆周 上不同于 B C 的点 F 为 AC 的中点 梯形 ACDE 中 DE AC 且 AC 2DE 平面 ACDE 平面 ABC 求证 1 平面 ABE 平面 ACDE 2 平面 OFD 平面 BAE 17 本小题满分 14 分 如图 将边长为 3 的正方形 ABCD 绕中心 O 顺时针旋转 0 2 得到正方形 A B C D 根据平面几何知识 有以下两个结论 A FE 对任意 0 2 EAL EA F GBF GB H ICH IC J KDJ KD L 均是全等三角形 1 设 A E x 将 x 表示为 的函数 2 试确定 使正方形 A B C D 与正方形 ABCD 重叠部分面积最小 并求最小面积 F E O A C B D 第 12 题 A B C D E L K JI H G F E C D A B O A D B C 18 本小题满分16分 已知椭圆 C x 2 a2 y2 b2 1 a b 0 的离心率 e 3 2 椭圆 C 的上 下顶点分别为 A1 A2 左 右顶点分别为 B1 B2 左 右焦点分别为 F1 F2 原点到直线 A2B2的距离为2 5 5 1 求椭圆 C 的方程 2 过原点且斜率为1 2的直线 l 与椭圆交于 E F 点 试判断 EF2F 是锐角 直角还是 钝角 并写出理由 3 P 是椭圆上异于 A1 A2的任一点 直线 PA1 PA2 分别交x轴于点 N M 若直线 OT 与过点 M N 的圆 G 相切 切点为 T 证明 线段 OT 的长为定值 并求出该定值 19 本小题满分 16 分 设数列 an 是一个公差不为零的等差数列 且 a5 6 1 当 a3 3 时 请在数列 an 中找一项 am m 5 使 a3 a5 am成等比数列 2 当 a3 1 时 如果存在自然数 m1 m2 mt 满足 5 m1 m2 mt 且 a3 a5 am1 am2 amt 构成一个等比数列 求 a3的一切可能值 3 在 2 中的 a3取最小正整数值时 求证 t 1 n 3t 1 mtmt 1 1 22 20 本小题满分 16 分 设 f x 是定义在 a b 上的函数 用分点 T a x0 x1 xi 1 xi xn b 将区 间 a b 任意划分成 n 个小区间 若存在常数 M 使 i 1 n f xi f xi 1 M 恒成立 则称 f x 为 a b 上的有界变差函数 1 判断函数 f x x cosx 在 上是否为有界变差函数 并说明理由 2 定义在 a b 上的单调函数 f x 是否一定为有界变差函数 若是 请给出证明 若 不是 请说明理由 3 若定义在 a b 上的函数 f x 满足 存在常数 k 使得对于任意的 x1 x2 a b f x1 f x2 k x1 x2 证明 f x 为 a b 上的有界变差函数 M x y T G P O N A1 A2 B1 B2 F1 F2 江苏省海安高级中学 南京外国语学校 金陵中学 2012 届高三联合考试 数学 附加题 21 选做题 在 选做题 在 A B C D 四小题中只能选做四小题中只能选做 2 题 每小题题 每小题 10 分 共分 共 20 分 请在答分 请在答 题题 卡指定区域内卡指定区域内 作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 如图 AB 为半圆 O 的直径 点 C 在半圆 O 上方 连结 AC 交半圆 O 于点 D 过点 C 作线段 AB 的垂线 CE 垂足为 E 求证 B C D E 四点共圆 B 选修 选修 4 2 矩阵与变换 矩阵与变换 已知矩阵 M 1 2 3 4 N 0 1 1 3 1 求矩阵 MN 2 若点 P 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到 Q 0 1 求点 P 的坐标 C 选修 选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 在极坐标系中 设 O 为极点 点 P 为直线 cos 1 与圆 2sin 的切点 求 OP 的长 D 选修 选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 AE B C D O 第 21 A 题 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 4 本试卷共 2 页 均为非选择题 第 21 23 题 本卷满分为 40 分 考试时间为 30 分钟 考试结束后 请将答题卡交回 5 答题前 请您务必将自己的姓名 考试证号等用书写黑色字迹的 0 5 毫米签字笔 填写在答题卡上 并用 2B 铅笔正确填涂考试号 6 作答试题必须用书写黑色字迹的 0 5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置 在其 它位置作答一律无效 如有作图需要 可用 2B 铅笔作答 并请加黑 加粗 描 写清楚 已知 a b c 都是正数 a 2b 3c 9 求证 1 4a 1 18b 1 108c 1 9 必做题 第 必做题 第 22 题 第题 第 23 题 每题题 每题 10 分 共分 共 20 分 请在答分 请在答 题卡指定区域内题卡指定区域内 作答 解答 应写出文字说明 证明过程或演算步骤 作答 解答 应写出文字说明 证明过程或演算步骤 22 甲 乙两队进行一场排球比赛 根据以往经验 单局比赛甲队胜乙队的概率为2 3 本场比赛采用五局三胜制 即先胜三局的队获胜 此时比赛结束 设各局比赛相互之间没有 影响 令 X 为本场比赛的局数 求 X 的概率分布和数学期望 23 设 P1 P2 Pj为集合 P 1 2 i 的子集 其中 i j 为正整数 记 aij为满 足 P1 P2 Pj 的有序子集组 P1 P2 Pj 的个数 1 求 a22的值 2 求 aij的表达式 江苏省海安高级中学 南京外国语学校 金陵中学 2012 届高三联合考试 数学 参考答案及评分建议 说明 说明 1 本解答给出的解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度 可视影响的程度决定给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后 续部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 填空题不给中间分数 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 分 1 x 0 x 1 2 1 3 32 4 1 6 5 18 6 x 1 x 0 7 3 3 8 3 n 1 2 9 12x y 8 0 10 6 11 5 12 3 5 2 13 13 4 14 26 9 63 16 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 90 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题主要考查两角和与差的正 余弦公式 二倍角的正 余弦公式 正 余弦定理等基 础知识 考查运算求解能力 满分 14 分 解 解 1 f x 3sinx 4cos x 4 cos 2x 4 3 2 sinx 2 1 2cos x 2 1 2 sin x 2 6 1 2 3 分 由 f x 1 可得 sin x 2 6 1 2 解法一解法一 令 x 2 6 则 x 2 3 cos 2 3 x cos 2 cos2 2sin2 1 1 2 6 分 解法二解法二 x 2 6 2k 6 或 x 2 6 2k 5 6 k Z 所以 x 4k 或 x 4k 4 3 k Z 当x 4k k Z 时 cos 2 3 x cos2 3 1 2 当x 4k 4 3 k Z 时 cos 2 3 x cos 2 3 1 2 所以 cos 2 3 x 1 2 6 分 2 解法一 解法一 由 acosC 1 2c b 得 a a 2 b2 c2 2ab 1 2c b 即 b 2 c2 a2 bc 所以 cosA b 2 c2 a2 2bc 1 2 因为 A 0 所以A 3 B C 2 3 10 分 所以 0 B 2 3 所以 6 B 2 6 2 所以 f x sin B 2 6 1 2 1 3 2 14 分 解法二 解法二 由 acosC 1 2c b 得 sinAcosC 1 2sinC sinB 因为在 ABC 中 sinB sin A C 所以 sinAcosC 1 2sinC sin A C sinAcosC 1 2sinC sinAcosC cosAsinC 所以1 2sinC cosAsinC 又因为 sinC 0 所以 cosA 1 2 因为 A 0 所以A 3 B C 2 3 10 分 所以 0 B 2 3 所以 6 B 2 6 2 所以 f x sin B 2 6 1 2 1 3 2 14 分 16 本题主要考查直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系等基础知识 考查空间 想象能力和推理论证能力 满分 14 分 证明证明 1 因为平面 ACDE 平面 ABC 平面 ACDE 平面 ABC AC AB 平面 ABC 又在半圆 O 中 AB AC 所以 AB 平面 ACDE 因为 AB 平面 ABE 所以平面 ABE 平面 ACDE 6 分 2 设线段 AC 与 OF 交于点 M 连结 MD 因为 F 为 AC 的中点 所以 OF AC M 为 AC 的中点 因为 AB AC OF AC 所以 OF AB 又 OF 平面 BAE AB 平面 ABE 所以 OF 平面 BAE 8 分 因为 M 为 AC 的中点 且 DE AC AC 2DE 所以 DE AM 且 DE AM 所以四边形 AMDE 为平行四边形 所以 DM AE 又 DM 平面 BAE AE 平面 ABE 所以 DM 平面 BAE 11 分 又 OF 平面 BAE MD OF M MD 平面 OFD OF 平面 OFD 所以平面 OFD 平面 BAE 14 分 17 本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力 考查运算求解能力 满分 14 分 解 1 在 Rt EA F 中 因为 A FE A E x 所以 EF x sin A F x tan 由题意 AE A E x BF A F x tan 所以 AB AE EF BF x x sin x tan 3 所以 x 3sin 1 sin cos 0 2 6 分 2 S A EF 1 2 A E A F 1 2 x x tan x2 2tan 3sin 1 sin cos 2 cos 2sin 9sin cos 2 1 sin cos 2 9 分 令 t sin cos 则 sin cos t 2 1 2 因为 0 2 所以 4 4 3 4 所以 t 2sin 4 1 2 S A EF 9 t 2 1 4 1 t 2 9 4 1 2 t 1 9 4 1 2 2 1 正方形 A B C D 与正方形 ABCD 重叠部分面积 S S正方形A B C D 4S A EF 9 9 1 2 2 1 18 2 1 当 t 2 即 4时等号成立 14 分 答 当 4时 正方形 A B C D 与正方形 ABCD 重叠部分面积最小 最小值为 18 2 1 F E O A C B D M L K JI H G F E C D A B O A D B C 18 本题主要考查椭圆的标准方程及简单性质 平面向量的坐标运算及直线和圆等基础知识 考查运算求解 分析探究及推理论证的能力 满分 16 分 1 因为椭圆 C 的离心率 e 3 2 故设 a 2m c 3m 则 b m 直线 A2B2方程为 bx ay ab 0 即 mx 2my 2m2 0 所以 2m2 m2 4m2 2 5 5 解得 m 1 所以 a 2 b 1 椭圆方程为x 2 4 y 2 1 5 分 2 由 x 2 4 y 2 1 y 1 2x 得 E 2 2 2 F 2 2 2 又 F2 3 0 所以F2E 2 3 2 2 F2F 2 3 2 2 所以F2E F2F 2 3 2 3 2 2 2 2 1 2 0 所以 EF2F 是锐角 10 分 3 由 1 可知 A1 0 1 A2 0 1 设 P x0 y0 直线PA1 y 1 y 0 1 x0 x 令 y 0 得 xN x0 y0 1 直线PA2 y 1 y 0 1 x0 x 令 y 0 得 xM x0 y0 1 解法一解法一 设圆 G 的圆心为 1 2 x0 y0 1 x0 y0 1 h 则 r2 1 2 x0 y0 1 x0 y0 1 x0 y0 1 2 h2 1 4 x0 y0 1 x0 y0 1 2 h2 OG2 1 4 x0 y0 1 x0 y0 1 2 h2 OT2 OG2 r2 1 4 x0 y0 1 x0 y0 1 2 h2 1 4 x0 y0 1 x0 y0 1 2 h2 x02 1 y02 而x0 2 4 y02 1 所以 x02 4 1 y02 所以 OT2 4 所以 OT 2 即线段 OT 的长度为定值 2 16 分 解法二解法二 OM ON x0 y0 1 x0 y0 1 x02 1 y02 而x0 2 4 y02 1 所以 x02 4 1 y02 所以 OM ON 4 由切割线定理得 OT2 OM ON 4 所以 OT 2 即线段 OT 的长度为定值 2 16 分 M x y T G P O N A1 A2 B1 B2 F1 F2 19 本题主要考查等差 等比数列的概念 通项公式与求和公式等基础知识 考查运算求解 分析探究的能力 综合思维能力 满分 16 分 1 因为 a52 a3am 所以 am a5 2 a3 12 设数列 an 的公差为 d 则 am a3 m 3 d 3 m 3 3 2 12 所以 m 9 5 分 2 因为数列 an 是一个公差不为零的等差数列 且 a5 6 所以 amt a3 mt 3 6 a 3 2 mt 5 mt N 又 amt a3 6 a3 t 1 故 a3 6 a3 t 1 a 3 mt 3 6 a3 2 即 6t 1 a 3 t 1 a3t mt 3 6 a 3 2 故 6 a3 6t 6t 1a 3 6a3 t 1 a 3 t a3t mt 3 6 a 3 2 由 a3 a5 所以 a3 6 mt 5 2 6 a3 t 6 a3 t 1 6 a3 t N 当 t 1 时 m1 5 2 6 a3 5 12 a3 由 m1 N 且 a3 1 则12 a3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 当 t 2 时 m2 5 2 6 a3 2 6 a3 所以12 a3为奇数时 m2不为整数 不符合 所以 12 a3 2 4 6 8 10 从而 a3 6 3 2 3 2 6 5 又因为数列 an 是一个公差不为零的等差数列 且 a3 6 所以 a3 3 2 3 2 6 5 经检验均满足题意 12 分 3 由 2 以及 a3取最小整数 可得 a3 2 mt 5 2 3t 3t 1 3 5 2 3 t 1 3 2 3t 1 2 3t 1 mtmt 1 3t 1 3t 1 2 3t 2 2 1 2 1 3t 1 2 1 3t 2 2 t 1 n 3t 1 mtmt 1 t 1 n 1 2 1 3t 1 2 1 3t 2 2 1 2 1 31 1 2 1 3n 2 2 1 2 1 31 1 2 1 22 16 分 20 本题主要考查函数的概念 性质及导数等基础知识 考查阅读理解能力 灵活运用化归 与转化思想进行分析 探究及推理论证的能力 满分 16 分 1 易得 f x 1 sinx 0 x 所以 f x x cosx 为区间 上的单调增函数 故当 xi 1 xi时 总有 f xi 1 f xi 此时 i 1 n f xi f xi 1 i 1 n f xi f xi 1 f xn f x0 f f 2 所以函数 f x x cosx 在 上为有界变差函数 5 分 2 因为函数 f x 为区间 上的单调函数 所以当 xi 1 xi时 总有 f xi 1 f xi 或 f xi 1 f xi 7 分 故 i 1 n f xi f xi 1 i 1 n f xi f xi 1 f xn f x0 f b f a 故存在常数 M f b f a 使得 i 1 n f xi f xi 1 M 恒成立 所以定义在 a b 上的单调函数 f x 为有界变差函数 10 分 3 因为存在常数 k 使得对于任意的 x1 x2 a b f x1 f x2 k x1 x2 所以 i 1 n f xi f xi 1 i 1 n k xi xi 1 k b a 14 分 故存在常数 M k b a 使得 i 1 n f xi f xi 1 M 恒成立 所以 f x 为 a b 上的有界变差函数 16 分 江苏省海安高级中学 南京外国语学校 金陵中学 2012 届高三联合考试 数学 参考答案及评分建议 21 A 选修选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 本小题主要考查圆的几何性质等基础知识 考查推理论证能力 满分 10 分 证明 如图 连结 BD 因为 AB 为半圆 O 的直径 所以 ADB 为直角 即有 CDB 为直角 4 分 又 CE 为线段 AB 的垂线 所以 CEB 为直角 所以 CDB CEB 8 分 故 B C D E 四点共圆 10 分 B 选修 选修 4 2 矩阵与变换 矩阵与变换 本小题主要考查二阶矩阵的乘法及变换 考查运算求解能力 满分 10 分 1 MN 1 2 3 4 0 1 1 3 2 5 4 9 5 分 2 设 P x y 则 解法一 解法一 2 5 4 9 x y 0 1 即 2x 5y 0 4x 9y 1 解得 x 5 2 y 1 即 P 5 2 1 10 分 解法二 解法二 因为 2 5 4 9 1 9 2 5 2 2 1 所以 x y 9 2 5 2 2 1 0 1 5 2 1 即 P 5 2 1 10 分 C 选修 选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 本小题主要考查直线与圆的极坐标方程与普通方程的互化等基础知识 考查运算求解 能力 满分 10 分 解 将直线 cos 1 化为直角坐标方程得 x 1 3 分 将圆 2sin 化为直角坐标方程得 x2 y 1 2 1 7 分 易得切点 P 的坐标为 1 1 AE B C D O 第 21 A 题 所以 OP 2 10 分 D 选修选修 4 4 不等式选讲 不等式选讲 本小题主要考查柯西不等式等基础知识 考查推理论证能力 满分 10 分 证明 因为 a b c 都是正数 所以 a 2b 3c 1 4a 1 18b 1 108c a 1 4a 2b 1 18b 3c 1 108c 2 1 8 分 因为 a 2b 3c 9 所以 1 4a 1 18b 1 108c 1 9