湖北省武穴市实验中学七年级数学上册 2.3 相反数导学案 华东师大版 .doc

1 湖北省武穴市实验中学七年级数学上册湖北省武穴市实验中学七年级数学上册 2 32 3 相反数导学案相反数导学案 华东师大版华东师大版 目标 概览 本节内容是利用数轴来描述一对特殊的数 从而更加深刻地理解相反数的概念 本节知识目 标为 了解数轴上表示一对互为相反数的点的表示方法 了解互为相反数的几何意义 给一个有理数 能求出它的相反数 多重符号化简 注意相反数与倒数的区别 进一步渗透数形结合的思想方法 培养辩证唯物主义的世界观 思考 交流 为什么 a a 直观的解释为 把 a 看成一笔钱 a 就是一笔债务 a 就是免除了这 笔债务 当然相当于收入了一笔记 这虽然有道理 但不能代替数学推理 数学推理是从定义和最 基本的运算法则推出来的 前面所述的直观解释及逻辑学中的否定之否定是数学推理的应用不能用 以证明 a a 而证明这条法则 要用到相反数的概念及性质 学法 指律 本节的重点是相反数的定义 要更好地理解相反数的定义 必须从相反数的几何定义和代数 定义两方面入手 代数定义 观察 2 2 0 6 6 0 不难发现互为相反数的两个 数 它们的和等于 0 反之如果 a b 0 则 a b 是互为相反的两个数 另外应注意区分对定义中 只有符号不同的两个数 的理解可以观察 6 6 这两个数而 只要符号不同的两个数是互为相反 数 这是错误的认识 比如 2 和 3 它们的符号不同但不是互为相反数 相反数的定义中 只有 符号不同的两个数 中的 只有 指的是几何定义 两个数互为相反数用数轴上的点表示 很显然 这两个点位于原点两旁且到原点的距离相等 反之位于原点两旁且到原点距离相等的两个点所表示 的两个数是互为相反数 除了符号不同以外完全相同 理解相反数的定义还要注意以下几点 1 相反 数是成对出现的 是指两个数之间的一种特殊的关系 它不是指单独的一个数 2 相反 的总是 符号相反 但是符号不同的两个数不一定互为相反数 定义中的 只有 指的是其余一样 仅 2 仅符号不同 3 注意结合数轴来认识相反数的概念 4 相反数的定义包括 0 的相反数是 0 这是一个例外 同学们对这一点容易忽略 本节的难点是对相反数的几何定义的理解 理解相反数所表示的点应位于数轴原点的两旁 二是这两点离原点距离相等 相反数的几何定义在实际的解决中有着重要的意义 知识 导学 知识点一 重点 相反数的概念 1 相反数的几何定义 在数轴上原点的两旁 离开原点距离相等的两个点所表示的两个数 叫做互为相反数 如图所示 4 与 4 互为相反数 1与 1互为相反数 5 1 5 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 在数轴上表示互为相反数的两点 位于原点的两侧并且与原点的距离相等 2 相反数的代数定义 只有符号不同的两个数 我们说其中一个数是另一个数的相反数 也称这两个数互为相反数 注意 0 的相反数是 0 名师点拨 1 0 的相反数是 0 是相反数定义的一部分 千万不能把它漏掉 2 相反数是成对出现的 不能单独存在 例如 3 与 3 互为相反数 是 3 是 3 的相反数 3 也是 3 的相反数 单独的一个数不能说是相反数 3 只有符号不同的两个数 中的 只有 指的是除了符号不同以外完全相同 也就是以 后学到的绝对值相 同 不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数 例如 2 和 3 符号不同 但它们不互为相反数 知识点二 重点 相反数的表示方法 一般地 数 a 的相反数是 a 这里 a 表示任意一个数 可以是正数 负数或者 0 还可以代表 任意一个代数式 例如 1 当 a 7 时 a 7 7 的相反数是 7 2 当 a 5 时 a 5 因为 5 的相反数是 5 因此 5 5 3 a 0 时 a 0 0 的相反数是 0 因此 0 0 由以上例题可以看出 3 当 a 0 时 a 0 正数的相反数是负数 当 a 0 时 a 0 负数的相反数是正数 当 a 0 时 a 0 0 的相反数是 0 当 a x y 时 a x y 即 x y 的相反数是 x y 数 a 的相反数是 a 这句话的含义就是说 要表示一个数的相反数只要在这个数的前面添 上一个 号就可以了 能力拓展 一个代数式如 a b 的相反数的表示方法为 先用括号把代数式括上 再在括 2 1 号前面添上 号 一个数 a 的相反数 a 一定是负数吗 知识点三 难点 多重符号的化简 1 一个正数前面不论有多少个 号都可以省略不写 一个正数前面有个 号 也 可以把 号一起去掉 一个正数的前面有奇数个 号 则化简后保留一个 号 2 多重符号的理解 正数的相反数是负数 负数的相反数是正数 在一个数前面添上 号 与原数相同 在一个数前面添上 号就成为原数的相反数 如 1 的意义是 1 的 相反数 也可以说是 1 的相反数的相反数 3 多重符号化简的关键是要注意数结合这数学思想结合数轴理解相反数 如化简 3 时可以理解为 3 的相反数的相反数 而 3 的相反数为 3 3 的相反数为 3 因此 3 3 思维升华 正确理解 的多重意义 1 小学里 号作为运算符号表示 减法 2 引入负数后 号又作为性质符号 表示 负数 3 一 号还可以表示数与数之间关 系符号 即表示原数的相反数 由此可知 求一个数的相反数 即在这个数前添上或去掉一个负号 一个数连续求两次相反数即是这个数本身 故化简时可同时简化两个负数 4 正数的相反数是 负数 负数的相反数是正数 在一个正数的前面添加 号与原数相同 在一个数前面添加 号 就成为原数的相反数 技巧 解悟 一 考查相反数的概念 例 1 选择题 1 3 是相反数 2 3 与 3 都是相反数 3 3 是 3 的相反数 4 3 与 3 互为相反数 5 3 是 3 的相反数 6 一个数的相反数必定是另一个数 4 以上说法中正确的是 a 1 3 5 b 2 4 6 c 2 3 4 d 3 4 5 解析 解决这一问题的关键是理解相反数概念 相反数是成对出现 答案 选 d 能力拓展 本题主要考查了相反数概念故求法只有符号不同的两个数 才叫相反数 求一个 数相反数只要在这个数的前面加一 号即可 另外除 30 以外相反数是指两个数之间的关系 例 2 填空 1 相反数是它本身的数是 2 若 a 5 是负数 则 a 5 3 a b 的相反数是 解析 1 根据相反数的几何意义 可知相反数是本身的数只有 0 2 a 5 是负数 可理解为 a 5 的相反数是负数 即一个数的相反是负数 则这个 数是正数即 a 5 0 3 在一个数的前面添上一个 号 就得到这个数的相反数 或者说 两数相减 交换 被减数与减数的位置 其差与原差互为相反数 因此 a b 的相反数是 a b 即 b a 答案 1 0 2 3 b a 方法规律 根据相反数的定义求一个数的相反数求一个代数式的相反数的方法基本一致 但 注意求一个代数式的相反数要把这个代数式作为一个整体先用括号括起来 例 3 下列说法 1 在数轴上 表示 a 的相反数的点一定在原点的右边 2 两个表示 相反意义的数是相反数 3 符号不同的两个数是相反数 4 任何一个数的相反数都与这个数 本身不相同 其中正确的说法有 a 3 个 b 2 个 c 1 个 d 0 个 解析 1 是错误的 因为 a 的相反数是 a 当 a 为零或正数时 数轴上表示 a 的点在原点 的右边当 a 为负数时 数轴上表示 a 的点在原点的左边 2 错在概念的混淆 两个表示相反意 义的数不仅符号不同 而且数值也可以不相同 如 5 4 3 与 5 都是相反意义的数 但不是相 反数 3 是错误的 如 3 与 4 的符号不同 但它们不是相反数 4 是错误的 因为零的相反 数是零与本身相同 5 答案 选 d 二 考查多重符号的化简 例 4 1 5 2 4 3 9 4 2 2 1 5 1 解析 1 5 表示 5的相反数 而 5的相反数是 5 故 5 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 表示 4本身 故 4 4 5 1 5 1 5 1 5 1 3 9 表示 9 的相反数 而 9 又表示 9 的相反数 即为 9 故 9 9 4 2 表示 2 的相反数 而 2 表示 2 2 为 2 的相反数即 2 故 2 2 答案 1 5 5 2 4 4 2 1 2 1 5 1 5 1 3 9 9 4 2 2 方法规律 从上面的解题过程可知 号的个数不影响解题的结果 可以直接省略 号 的个数决定最后结果的符号 若一个数前面有偶数个 号其结果为正 若一个数前面有奇数个 一 号其结果为负 可简述为 奇负偶正 三 考查相反数的性质应用 例 5 已知 2n 与 5 互为相反数 求 n 的值 解析 因为 5 与 5 互为相反数 故 2n 3 5 即 n 4 名师点拨 根据 a b 互为相反数 有 a b 0 这一重要性质建立相等关系 求出未知数的值 也是解决本题的好办法 例 6 已知如图数轴上点 a 和点 b 分别表示互为相反数的两数 a b 且 a b a b 两点间的距 离是 4求 a b 两个数 4 1 a 0 b 解析 因为 a b 互为相反数且 a b 故 a b 分别在原点 0 的两旁 且到原点 0 的距离相等 又因为 a b 两点相距 4 即可得解 4 1 答案 b 4 2 又 a b 0 a b 2 4 1 2 1 8 1 8 1 经验技巧 利用数轴表示两数 a b 互为相反数更直观 6 能力 拓展 创新题 例 1 如图所示是一个正方体纸盒的展开图若在其中三个正方形 a b c 内分别填入适当的数 使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数 则填入正方形 a b c 内的三个数依次是 a 1 2 0 b 0 2 1 c 2 0 1 d 2 1 0 解析 c o 必须为正方体的两对面 故 c 内数为 0 b 2 是对面 故 b 内数为 2 a 1 是 对面 故 a 内的数为 1 答案 选 a 名师点拨 本题涵盖的知识点有正方体展开图 相反数的的概念 是一道有创意的好题 综合题 例 2 根据数轴上的点所表示的有理数 a b c 比较数 a b c 0 a b c 的大小 a b 0 c 解析 先在数轴上画出 a b c 表示的点 由图形分析可知 c a b 0 b a c 由图形可知 c a b 0 b a c 经验技巧 在数轴上找某一点的所表示数的相反数的点 即找这一点关于原点的对称点 例 3 若 x 表示有理数 2 x 3 在数轴上画出 x 对应的点所在的范围 再求出 x 的取值范 围 解析 x 表示 2 到 3 之间的数 而 x 是 x 的相反数 根据相反数的几何意义可确定 x 的取值 范围 答案 2 x 3 故 x 在数轴上表示 2 到 3 之间的点 4 3 2 1 0 1 2 3 4 而 x 是 x 的相反数 故 2 x 3 误区警示 x 的取值范围不能写成 2 x 3 应用题 7 例 4 已知 a 的倒数为 b 的相反数是 0 表示有理数 c 的点到原点的距离是其倒数 2 1 求 的值 cb a ac b ba c 解析 倒数与相反数的概念理解是本题的关键 a 的倒数为 则 a 2 2 1 b 的相反数是 0 则 b 0 表示有理数 c 的点到原点距离是其倒数 则 c 1 答案 由倒数 相反数等定义知 a 2 b 0 当 a 2 b 0 c 1 c 1 时 cb a ac b ba c 10 2 2 1 0 02 1 2 3 当 a 2 b 0 c 1 时 cb a ac b ba c 1 0 2 2 1 0 02 1 2 3 即原式的值为 2 3 名师点拨 注意倒数与相反数概念上的区别 探究 体验 探究题 例 1 如图是一个正方体纸盒的展开图 请把 8 5 8 2 5 2 分别填入六个正方形 使 得按虚线折成正方体后 相对面上的两数互为相反数 解析 首先要知道所给的六个数分别是 3 对互为相反数 8 8 5 5 2 2 要将这六个数按要求填入图中的六个正方形中 最好的办法是动手折一个正方形纸盒 在纸 盒上填是很简单的 若手头没有现成的工具 就必须分析各正方形在折成正方体后的位置再按要求 填写 答案 如图所示 思维拓展 1 本题有多种填法 我们还可以找一找其它填法 2 本题要求有一定的空间想像能力 将数和形有机地结合起来 3 本题可以培养我们动手操作能力由实体较直观地解决本题 阅读理解题 阅读下面的文字并回答问题 1 的相反数是 1 则 1 1 0 0 的相反数是 0 则 0 0 0 的相反数是 2 1 6 5 2 1 6 5 8 则 0 故 a b 互为相反数 则 a b 0 若 a b 0 则 a b 互为相反数 说明了 2 1 6 5 2 1 6 5 反而言之 也成立 解析 由三个具体的相反数之间的关系 可得出 互为相反数和等于 0 及 两 数之和等于 0 则这二个数互为相反数 这样的结论 答案 说明了互为相反数的两数之和等于 0 反而言之 两数之和等于 0 那么这两个数互为相 反数 习题 解疑 p28 练习 2 5 的相反数是 2 5 100 是 100 的相反数 5是 5的相反数 1 1 的相反数是 1 1 5 1 5 1 8 2 和 8 2 互为相反数 0 78 9 9 5 1 5 1 3 14 3 14 10 1 10 1 错误 错在仅符号相反的两个数 如 5 3 不一定是互为相反数 错误 相反数 指 只有符号不同的两个数 而 倒数 指 两个数之积等于 1 的这 两个数互为倒数 正确 p28 习题 2 3 一个数 2 510 3 2 1 10 它的相反数 2 5 10 3 2 1 10 4 3 75 2 2 3 75 4 4 1 4 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 16 16 25 25 12 12 2 1 2 1 33 33 10 1 10 1 负数的相反数大于本身 9 零的相反数等于本身 正数的相反数小于本身 自主评价 一 基础题 的相反数是 2 1 的相反数是 3 2 5 的相反数的倒数是 一个数的相反数是 2 这个数的倒数是 的相反数是 2 的相反数是 4 1 8 1 如果一个数的相反数是最小的正整数 则这个数是 20 的相反数是 a 2 的相反数是 m n 的相反数是 相反数大于 3 且小于 1 的整数有 化简下列各数的符号 3 0 2 1 3 1 3 2 2 分别写出 5 0 1 8 的相反数 并在数轴上记出各数及它们的相反数 说明各数在数 2 1 轴上的位置特点 提高题 若有理数 a b 0 1 则 a 与 b 的关系是 b a 若 x 2 则 x 若 a 3 的相反数是 3 则 a 下列各数中 互为相反数的有 1 与 1 1 与 1 2 与 2 与 1 与 2 1 2 1 1 2 与 2 a 6 对b 5 对c 4 对d 3 对 已知数轴上点 a 与点 b 分别表示互为相反的两个数 a b a b 且 a b 两点间的距离为 10 求 a b 的值 3 22 已知 a b 0 b c 0 c d 0 d f 0 则 a b c d 四个数中 哪些数互为相反数 哪些数 相等 自主 评价 答案点拨 解析 相反数的定义 2 1 解析 相反数的定义 3 2 解析 注意相反数与倒数的区别 5 1 解析 相反数 倒数在解题中的应用 2 1 2 解析 相反数是指一对数之间的关系 4 1 8 1 1 解析 最少的正整数为 1 20 解析 20 20 a 2 m n 解析 相反数的定义的拓展应用 0 1 2 解析 大于 3 小于 1 的整数有 2 1 0 它们的相反数为 2 1 0 解析 注意化简多重符号的规律 同号得正 异号得负 3 3 0 2 0 2 1 1 3 1 3 1 3 3 2 7 2 2 一对相反数在数轴上的位置是这一对互为相反数所表示的点到原点的距离相等 解析 a b 0 说明这两个数互为相反数 1 不仅说明这两个数互为相反数 且它们 b a 均不为 0 解析 x x 2 解析 a 3 的相反数是 3 故 a 3 3 a 6 c 解析 这些数对分别为 1 与 1 1 与 1 2 与 2 与 1 与 1 2 与 2 共有四 2 1 2 1 对互为相反数 解析 a b 互为相反数 表示 a b 两数的一点 a b 之间距离为 说明这一对互为相反 3 22 11 数