数学建模评价标准的制定.pdf

一 数学模型评价方面的思考 1 解释 大家都很关注数学模型的建立和求解过程 这也是最富有技术性的部分 但在建立 和求解以后 一定要做出合理的解释 把数学结果翻译成实际问题的语言 而且即使是在一 些技术细节上 如果能做出和实际相符的解释 也会使模型变得可靠和有意义 有的手段 无论输入什么数据 都能得到某些结果 比如拟合 比如神经网络 比如计算机仿真 但是 否有真实意义 这需要 解释 来揭示和验证 设想一个最简单的预测问题 如果搞一个高 次多项式 一定可以把现有的数据拟合得天衣无缝 但这又能说明什么呢 2 检验 上面所说 有许多建模中常用的手段 无论什么数据输进去 都能输出一些结果 而这些结果是否真的可信 往往需要检验 事实上 凡是从特殊的事例推到一般情况时 结 论是否可靠 都需要进行检验 例如给了一系列数据 x y 我们通过某种手段 找到了 x 与 y 之间的关系 当然这往往是近似的 我们就应当事先保留一些没用过的数据 最后用于 模型的检验 如果检验的结果是吻合得相当不错 那我们的模型是可靠的 这个步骤不要忽 略 在许多建模问题中 至少有 30 的数据是专门用来检验模型结论的 3 灵敏度分析和可靠性评估 粗略地讲 灵敏度是指模型的结论与初始条件之间的关系是否 非常敏感 模型总要做许多假设 这些假设不总是万无一失的 模型也总是要输入一些初始 的数据 无论是调查还是测量得来 数据总会有误差 如果初始条件有微小的偏差 结果就 有显著的变化 那这个模型可以说是毫无意义的 所以低灵敏度在某种意义上意味着高可靠 性 传统上 狭义的灵敏度分析就是指输入数据的误差 引起结果的变化 这有许多成型的 方法来进行分析 而对广义的 由于假设不够准确而引起结果的变化 很难有系统的方法来 分析 但是 总之对模型的灵敏度和可靠性要通过各种角度 做出全面的分析 这是建模工 作是否完善的重要标志 4 评价 模型的评价不要流于空泛 本模型结果可信 效果良好 有许多因素还没有考虑 到 一些方面还有不足 此类评价事实上毫无意义 评价不是为了做结论 而是为了对模型 做进一步的研究 模型的意义 可信程度 精度 可能的问题 改进方案 都是需要认真思 考的方面 只有认真地对模型做研究 才能认识清楚模型的优点和不足 才能够针对不足之 处进行改进 模型都是需要锤炼才能完善的 二 般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类 一类是机理分析方法 一类是测试分析 方法 机理分析是根据对现实对象特性的认识 分析其因果关系 找出反映内部机理的规律 建立的模型常有明确的物理或现实意义 模型准备 首先要了解问题的实际背景 明确建模的 目的搜集建模必需的各种信息如现象 数据等 尽量弄清对象的特征 由此初步确定用哪一 类模型 总之是做好建模的准备工作 情况明才能方法对 这一步一定不能忽视 碰到问题 要虚心向从事实际工作的同志请教 尽量掌握第一手资料 模型假设 根据对象的特征和建模 的目的 对问题进行必要的 合理的简化 用精确的语言做出假设 可以说是建模的关键一 步 一般地说 一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题 即使可能 也很难求 解 不同的简化假设会得到不同的模型 假设作得不合理或过份简单 会导致模型失败或部 分失败 于是应该修改和补充假设 假设作得过分详细 试图把复杂对象的各方面因素都考 虑进去 可能使你很难甚至无法继续下一步的工作 通常 作假设的依据 一是出于对问题 内在规律的认识 二是来自对数据或现象的分析 也可以是二者的综合 作假设时既要运用 与问题相关的物理 化学 生物 经济等方面的知识 又要充分发挥想象力 洞察力和判断 力 善于辨别问题的主次 果断地抓住主要因素 舍弃次要因素 尽量将问题线性化 均匀 化 经验在这里也常起重要作用 写出假设时 语言要精确 就象做习题时写出已知条件那 样 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系 利用对象的内在规律和适当的数学工 具 构造各个量 常量和变量 之间的等式 或不等式 关系或其他数学结构 这里除需要一些 相关学科的专门知识外 还常常需要较广阔的应用数学方面的知识 以开拓思路 当然不能 要求对数学学科门门精通 而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决 相 似类比法 即根据不同对象的某些相似性 借用已知领域的数学模型 也是构造模型的一种 方法 建模时还应遵循的一个原则是 尽量采用简单的数学工具 因为你建立的模型总是希 望能有更多的人了解和使用 而不是只供少数专家欣赏 模型求解 可以采用解方程 画图形 证明定理 逻辑运算 数值计算等各种传统的和近代的数学方法 特别是计算机技术 模型 分析 对模型解答进行数学上的分析 有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定 状况 有时是根据所得结果给出数学上的预报 有时则可能要给出数学上的最优决策或控制 不论哪种情况还常常需要进行误差分析 模型对数据的稳定性或灵敏性分析等 模型检验 把 数学上分析的结果翻译回到实际问题 并用实际的现象 数据与之比较 检验模型的合理性 和适用性 这一步对于建模的成败是非常重要的 要以严肃认真的态度来对待 当然 有些 模型如核战争模型就不可能要求接受实际的检验了 模型检验的结果如果不符合或者部分不 符合实际 问题通常出在模型假设上 应该修改 补充假设 重新建模 有些模型要经过几 次反复 不断完善 直到检验结果获得某种程度上的满意 模型应用 应用的方式自然取决 于问题的性质和建模的目的 这方面的内容不是本书讨论的范围 应当指出 并不是所有建 模过程都要经过这些步骤 有时各步骤之间的界限也不那么分明 建模时不应拘泥于形式上 的按部就班 本书的建模实例就采取了灵活的表述方式 三 数学模型的评价 2009 09 11 10 48 我们对模型的评价这项工作大多数时候都在流于形式 其实模型的水准高低 很多时候要看 对模型优缺点的分析 想要判断模型好坏 起码有一个标准是模型的可靠性 模型既然是对真实问题的一种简化和 数学化的处理 那么就一定是 不真实 的 这种简化的处理到底在多大程度上扭曲了真实 我们从模型里算出来的数学结果要经过一个 解释 的过程 才能和真实问题对应起来 这 个步骤其实承担着相当大的压力 因为合理地解释结果 判明适用范围 修正失真 得出对 真实问题 有效 的结论 这些工作都没有定规可循 而且本身也不见得有多可靠 假设 越是贴近真实 建模过程带来的问题的失真就会小一些 模型的有效性和可信性也应当更好 一些 对真实问题的指导意义也理应更强一些 谁不想让模型的结果更确切地反映真实问题 呢 而且就是为了让结果更精确 人们花了不知道多少力气 看起来说更真实的模型更好 应当没什么异议 但麻烦的事情就此而来 一个模型 不是越贴近真实越好的 第一个问题是简洁 简单的模 型总的来说比复杂的模型要好 从美学上来说 简洁流畅 一气呵成的美感和力度感 比过 分复杂甚至拼凑凌乱的当然要好许多 而且从实用性能上来说这两者也不可比 第二个问题是普遍性 最重要的模型往往不只是针对某个极为特定的问题 而是能对解决一 类问题有帮助 在科学界这几乎是个必备要求 在工程领域对这个要求虽然低些 但如果模 型能有普适意义 那也必定是热烈欢迎 然而模型对特定条件的针对性过强 势必会造成应 用范围的狭窄 即使是很接近的问题 一旦某些细节条件不同 这个模型的结论是否还能用 如果能 该怎么用 就很难讲 不如简洁 可能稍感粗糙 的模型 耐用 君不见在好多 领域里充斥着相当粗糙却到处在用的经验公式 也有它们受欢迎的道理 专为解释特定问题 而强行补充的特定假设 称做 ad hoc 特设的 不能算惹人喜欢的词 第三个问题是深度 有一些该 理想化 掉的问题 如果包括在模型里 很可能起到反作用 回想一下有关物体在地上运动的研究 把阻力等各种大小因素都混入模型当中 得到的模型 足够真实 大体能用 但说是一团乱麻我看不为过 伽利略做的 理想模型 把这些真实存 在的力强行忽略 结果甚至几乎要违背人们的生活经验 失真至此 大道既出 以后再想追 求 真实 并不难 在理想模型上添加各种忽略掉的作用力 层次清楚 计算简单 精度甚 高 这 失真 了一下 获得了解释深度的巨大提升 又有谁说没好处呢 简洁 有力 深刻 普适 这些溢美之词其实内部有着很强的关联 说来说去 最可怕的事 情我感觉就是一件 琐碎的事情考虑得过多 恐怕冲淡了重要的主题 引入的 噪声 淹没 了有价值的信息 自己迷失在自己的工作当中 做到此也就该觉得伤心了 该分离的分离 该忽略的忽略 不该忽略的别忽略 最终还是什么也没说 我看我该堕入虚 无主义了 sigh 四 数学建模的一般步骤分析 建立数学模型 首先要充分搜集现实原型的资料 数据 分析它的状态 性质 变化规律 特征 结构 建立经验定律 提出理论假说 然后建立数学模型 这一过程包括 分析什么 是所需要解决的问题的主要方面 什么是次要方面 什么是本质 什么是无关紧要的 以及 探寻用什么数学语言 符号 结构来表示所研究的问题或经验定律的结构 即要使数学模型 结构 主要是概念 关系 公理等 尽可能与原型的概念 结构相吻合 模型建立之后 就 要解决数学模型所提出的数学问题最后 还要以原型的数据检验数学模型并对数学解决做出 解释和评价 一般认为 评价一个数学模型的科学价值取决于该模型的预测与观察数据的一 致程度 应该指出的是 正常情况下 建立模型是一个多次反复的过程 是在不断地根据 原型修正模型的过程中使两者趋于一致 建模的一般步骤如下 见图 3 一图 3 1 建模的一般步骤一模型准备 了解问题的实际背 景 明确题目的要求 收集各种必要的信息 模型假设 为了利用数学方法 通常要对问题做必要的 合理的假设 使问题的主要特 征凸现出来 忽略问题的次要方面 模型构成 根据所做的假设以及事物之间的联系 构造各种量之间的关系使之问题化 模型求解 利用已知的数学方法求解上一步所得到的数学问题 此时往往还要作出进一 步的简化或假设 为解决数学问题 注意要尽量采用简单的数学工具 模型检验 分析所得结果的实际意义 与实际情况进行比较 看是否符合实际 如果不 够理想 应该修改 补充假设 或重新建模 不断完善 模型应用 所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益 在应用中不断改进和完善 模型准备要建立现实问题的数学模型 就要首先对需要解决的问题有一个清晰的提法 即要 明确研究解决的问题是什么 建模所要达到的主要目的是什么等等 通常我们在刚刚遇到某 个实际问题时 对问题的理解往往不是很清楚 所以需要深入实际进行调查研究 收集与研 究问题 包括收集与研究问题有关的信息 与相关人员进行讨论以搜集资料 查阅有关的文 献资料 明确问题的背景和特征 以及初步确定将要建构何种模型等 模型假设假设过程就是对实际问题作一些必要的简化 用精确的语言做出必要的简化假 设 假设过程是建模过程中十分关键的一步 也是非常困难的一步 分析和简化资料搜集完成后 要进一步对所研究的问题和收集到的资料进行分析 弄清 楚哪一些因素是主要的 起主导作用的 哪一些因素是次要的 不起作用的 然后根据建模 的目的抓住主要的因素 忽视次要的因素 分析和简化是假设的前提 需要进行分析和简化 的有以下四点要分析主要 次要以及可忽略的因素 对数据数量的充分性和可靠性进行判断并归纳和明确数据所提供的信息 分析已知条件中哪些是主要的 哪些是次要的 不变动的 要正确选择输入输出量 合理假设的种类假设作为建模过程的关键 往往不可能一次完成 需要经过多次反复才 能最终完成 合理的假设包括基本假设和其他假设两种 基本假设是指变量参数的定义以及 根据有关 规律 作出的变量间相互关系的假定 其他假设包括指明忽略因素 限定系统边 界和说明模型应用范围以及局部进程中的二次假设等 假设要遵循的原则假设要把握尺度 如果假设作得过于简单 模型就会远离现实 无法用以 解决现实问题 同样 如果假设做得过于详细 考虑了过多因素 那么模型就变得过于复杂 增加后而计算的难度 甚至会使得模型难以成功建立 因而 模型的假设要遵循以下原则明 确性原则 假设条件要简单明确 有利于模型的构建 目的性原则 假设是从原型中抽象出与建模目的有关的因素 因而要简化掉无关的或者关系 不大的因素 真实性原则 假设条款要符合情理 简化的误差要控制在实际问题允许的范围之内 全面性原则 在对事物原型本身做出的假设的同时 还要给出原型所处的环境条件 模型构建在建模假设的基础上 进一步分析建模假设的各条件 首先区分哪些是常量 哪些是变量 哪些是己知量 哪些是未知量 然后查明各种量所处的地位 作用和它们之间 的关系 建立各个量之间的等式或不等式关系 列出表格 画出图形或确定其他数学结构 选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征 构造出刻画实际问题的数学模型其实 就是描述问题的主要因素的变量之间的一个关系或其他的数学结构 数学模型构成之后为了 达到求解的要求一般还要进行必要的分析和简化 同时还要检查其是否能够代表所研究的实 际问题 能否达成研究的目的 在构造模型时究竟采用什么数学工具 要根据问题的特征 建模的目的要求以及建模者 的数学特长而定 可以这样讲 数学的任一分支在构造模型时都可能用到 而同一实际问题 也可以构造出不同的数学模型 一般地讲 在能够达到预期目的的前提下 所用的数学工具 越简单越好 而采用什么方法构造模型 要根据实际问题的性质和建模假设所给出的建模信 息而定 就以系统论中提出的机理分析法和系统辨识法来说 它们是构造数学模型的两种基 本方法 机理分析法是在对事物内在机理分析的基础上 利用建模假设所给出的建模信息或 前提条件来构造模型 系统辨识法是对系统内在机理一无所知的情况下利用建模假设或实际 对系统的测试数据所给出的事物系统的输入 输出信息来构造模型 这些构模方法各有其优 点和缺点 在构造模型时可以同时采用 以取长补短 达到建模的目的 模型求解得到模型之后就要选择合适的数学方法来对模型进行求解 通常情况下我们只 能得到模型的数值解而非解析解 这就需要我们应用各种数值方法 软件和计算机 代写硕士论文 数值方法包括数值优化法 线性和非线性方程组的数值方法 微分方程 或方程组的数 值解法 以及各种预测 决策和概率统计方法等 建模最常用的系统软件包括福建师范大学 硕士学位论文 sAs BMoP GLIM GENsTAT EPILOG MiniTab 等 如果现有的数学 方法仍然不能很好的解决模型所归结的数学问题时 就需要针对数学模型的特点 对现有的 方法进行改进或者提出新的方法以适应需求 模型检验模型检验是指把模型在数学上分析的结果与研究的实际问题做比较以检验模 型的合理性的过程 模型构建和求解后得到结论并不意味着建模的结束 还要从实际应用角 度分析模型的结果 接受实际的检验 看它是否合理 可行 如果不符合实际