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1 第六章静定结构的内力计算 6 1内力截面法 6 2轴向拉压杆的内力 6 3梁的内力 剪力和弯矩 6 4剪力图和弯矩图 6 5用叠加法作弯矩图 6 6静定平面桁架内力 2 建筑力学 6 1内力截面法 一 内力的概念 对于所研究的物系受到其它物系给予的作用力称之为外力 而将此物系内部各物体之间的相互作用力称为内力 当我们讨论构件的强度和刚度等问题时 一般总是以某一构件 不能再拆的结构元件 作为研究对象 因此 其它构件对此构件的作用力 就称为它所受到的外力 而内力则指的是此构件内部之间或各质点之间的相互作用力 当构件受到外力作用时 其形状和尺寸都将发生变化 构件内力也将随之改变 这一因外力作用而引起构件内力的改变量 称为附加内力 其作用趋势是力图使构件保持其原有形状与尺寸 3 建筑力学 研究构件的变形和破坏问题 离不开讨论附加内力与外力的关系以及附加内力的限度 因为我们的讨论只涉及附加内力 故以后即把附加内力简称为内力 二 内力的求法 截面法 为显示和计算内力 通常运用截面法 其一般步骤如下 1 截开 在需求内力的截面处 将构件假想截成两部分 2 代替 留下一部分 弃去另一部分 并用内力代替弃去部分对留下部分的作用 3 平衡 根据留下部分的平衡条件求出该截面的内力 4 建筑力学 6 2轴向拉压杆的内力 受力特征 杆受一对大小相等 方向相反的纵向力 力的作用线与杆轴线重合 如6 1图 变形特征 沿轴线方向伸长或缩短 横截面沿轴线平行移动 产生轴向拉伸或压缩的杆件称为轴向拉杆或压杆 如图6 2所示的屋架 上弦杆是压杆 下弦杆是拉杆 图6 2 图6 1 5 建筑力学 运用截面法确定杆件内任一截面上的内力 将沿杆轴线方向的内力合力称为轴力 轴力拉伸为正 压缩为负 如果直杆承受多于两个的外力时 直杆的不同段上将有不同的轴力 应分段使用截面法 计算各段的轴力 为了形象地表示轴力沿杆件轴线的变化情况 可绘出轴力随横截面变化的图线 这一图线称为轴力图 6 建筑力学 例 求图示杆1 1 2 2 3 3截面上的轴力 解 1 计算轴力 7 建筑力学 由轴力图知 2 画轴力图 8 建筑力学 6 3梁的内力 剪力和弯矩 一 梁承受荷载的特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁 受力特征 作用在直杆上的外力与杆轴线垂直 变形特征 直杆的轴线将由原来的直线弯成曲线 纵向对称面 梁的横截面的对称轴与梁的轴线所组成的平面称为纵向对称面 9 建筑力学 平面弯曲 如果作用于梁上的外力 包括荷载和支座反力 都位于纵向对称面内 且垂直于轴线 梁变形后的轴线将变成为纵向对称面内的一条平面曲线 这种弯曲变形称为平面弯曲 本节只讨论平面弯曲时横截面上的内力 工程中常见的梁按支座情况分为下列三种典型形式 1 简支梁 端铰支座 另一端为滚轴支座的梁 如图 外伸梁 梁身的一端或两端伸出支座的简支梁 如图 悬臂梁 端为固定支座 另一端自由的梁 如图 10 建筑力学 简支梁 外伸梁 悬臂梁 11 建筑力学 以简支梁为例 二 梁的内力 剪力和弯矩 梁内力的性质 为了计算梁的应力和变形 需首先确定其内力 分析梁内力的方法仍然是截面法 支座反力 求梁任一横截面1 1上的内力 12 建筑力学 梁横截面上的内力有两种 平行于横截面的内力Q和位于梁纵向对称面内的内力偶M 我们将Q称为剪力 将M称为弯矩 取左段为研究对象由平衡条件 若取右段为研究对象 1 1截面也同时存在内力和内力偶 作用与反作用关系 剪力限制截面错动的变形 大小等于截面一侧所有外力的和 弯矩限制了截面的转动 大小等于截面一侧所有外力对截面形心矩的代数和 13 建筑力学 2 剪力 弯矩的符号确定 14 建筑力学 例 求图示梁1 1 2 2 3 3 4 4截面上的剪力和弯矩 解 1 求支座反力 得 由 得 由 15 建筑力学 2 求各截面的内力 各截面的内力均假设为正的 如图所示 计算结果为正说明假设的正负正确 计算结果为负说明假设的正负正好相反 16 建筑力学 通过上例得出求梁内力的规律 1 梁中任一截面的剪力在数值上等于该截面一侧所有垂直于梁轴线的外力的代数和 符号确定方法是 外力使梁产生左上右下错动趋势时 外力为正 反之外力为负 即截面以左向上的外力或截面以右向下的外力产生正剪力 简称左上右下生正剪 反之为负 2 梁中任一截面的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力对该截面形心的力矩的代数和 符号确定方法是 力矩使梁下凸时为正 使梁上凸时为负 即向上的外力或截面以左顺时针转向的外力偶或截面以右逆时针转向的外力偶产生正的弯矩 简称左顺右逆生正弯矩 反之为负 根据上述规律 求梁的剪力和弯矩时可以不必画出各段梁的示力图 也不需要列出各段梁的平衡方程 可直接算出截面的弯矩和剪力 17 例 试求图所示悬臂梁1 1 2 2截面上的内力 建筑力学 解 1 悬臂梁左端为自由端 在求内力时 若取左段为研究对象 则可省去求支座反力 2 求1 1截面的剪力和弯矩 对1 1截面的左端梁运用上述规律 计算结果均为负 说明该截面内力是负剪力和负弯矩 3 求2 2截面的剪力和弯矩对2 2截面的左段梁运用上述规律 计算结果均为负 说明该截面内力是负剪力和负弯矩 18 建筑力学 6 4剪力图和弯矩图 这种内力与截面位置x的函数式分别称为剪力方程和弯矩方程 统称为内力方程 为了清楚地表示梁上各横截面的剪力和弯矩的大小 正负以及最大值所在截面 危险截面 的位置 把剪力方程和弯矩方程用函数图象表示出来 分别称为剪力图和弯矩图 需注意的是土建工程中习惯上把正剪力画在x轴上方 负剪力画在x轴下方 而弯矩规定画在梁受拉的一侧 19 建筑力学 绘制剪力图和弯矩图的一般步骤为 1 根据梁的支承情况和梁上作用的荷载 求出支座反力 对于悬臂梁 若选自由端一侧为研究对象 可以不必求支座反力 2 分段列出剪力方程和弯矩方程 根据荷载和支座反力 在集中力 包括支座反力 和集中力偶作用处 以及分布荷载的分布规律发生变化处将梁分段 以梁的左端为坐标原点 分别列出每一段的内力方程 3 根据剪力方程和弯矩方程所表示的曲线性质 确定画出这些曲线所需要的控制点 即所谓的特征点 求出这些特征点的数值 即求出若干截面的剪力和弯矩 4 用与梁轴平行的直线为x轴 取特征点相应的剪力 或弯矩 值为竖距 根据剪力方程 或弯矩方程 所表示的曲线性质绘出剪力图 或弯矩图 并在图中标明各特征点的剪力 或弯矩 的数值 确定最大内力的数值及位置 20 建筑力学 例悬臂梁受集中力作用 如图a 所示 试画出此梁的弯矩图和剪力图 并确定 和 解 1 列出剪力方程和弯矩方程 将x坐标原点取在梁左端 在距左端A为x处取一截面 2 计算各特征点的剪力和弯矩值 因为 表明梁内各截面的剪力都相同 所以剪力图是一条平行于x轴的直线 且位于x轴下方 21 建筑力学 M x 是x的一次函数 所以弯矩沿梁轴按直线规律变化 由于是直线 故只需确定梁内任意两截面的弯矩 便可画出弯矩图 3 绘制剪力图和弯矩图 由图可见 在梁右端的固定端面上 弯矩的绝对值最大 剪力则在全梁各截面都相等 22 建筑力学 将静定梁在常见单种荷载作用下的FQ图和M图汇总于下图 熟记这些内力图对以后学习有用 23 建筑力学 24 建筑力学 应用FQ x M x 与q x 之间的微分关系及其几何意义 可以总结出下列一些规律 利用这些规律可以校核或绘制梁的剪力图和弯矩图 以上三式就是FQ x M x 和q x 三者之间的微分关系 即 1 剪力方程FQ x 对x的一阶导数等于荷载集度q x 这一微分关系的几何意义是 剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布荷载的集度 2 弯矩方程M x 对x的一阶导数等于剪力方程 这一微分关系的几何意义是 弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面上的剪力 3 弯矩方程M x 对x的二阶导数等于荷载集度q x 这一微分关系的几何意义是 弯矩图上某点的曲率等于相应截面处的分布荷载集度q x 即由分布荷载集度的正负可以确定弯矩图的凹凸方向 25 建筑力学 表6 1梁的荷载 剪力图 弯矩图之间的关系 m作用处FQ无变化 26 建筑力学 例 外伸梁如图所示 已知q 5kN m Fp 15kN 试画出该梁的内力图 FQ图 M图 解 1 求支座反力 2 画FQ和M图 27 建筑力学 6 5用叠加法作弯矩图 一 叠加原理 如图a b c 分别画出了同一根梁AB受集中力FP和均布荷载q共同作用 集中力FP单独作用和均布荷载q单独作用等三种受力情况及其弯矩图 由n个荷载共同作用时所引起的某一参数 反力 内力 应力 变形 等于各个荷载单独作用时所引起该参数值的代数和 这种关系称为叠加原理 28 建筑力学 允许应用叠加原理的一般条件是 必须是该参数与荷载成线性关系 因为只有存在线性关系时 各荷载所产生的该参数值才能互相不影响 对于静定梁求反力和内力 只要满足小变形条件 其反力和内力一定与荷载成线性关系 就可以应用叠加原理 二 叠加法画弯矩图 用叠加法作弯矩图的步骤是 先把作用在梁上的复杂荷载分成几组简单的荷载 其弯矩已知或简单易画的 分别作出各简单荷载单独作用下的弯矩图 然后将它们相应的纵坐标值代数相加 就得到梁在复杂荷载作用下的弯矩图 需要注意 所谓叠加 是将同一截面上的弯矩代数相加 反映在弯矩图上 是各简单荷载作用下的弯矩图在对应点处垂直杆轴的纵坐标相叠加 而不是弯矩图的简单拼合 29 建筑力学 例 一钢筋混凝土梁支承于墙上 梁计算跨度为4m 外伸1 2m 全梁承受均布荷载q 27 1kN m 如图所示 试作出其弯矩图和剪力图 解 1 先求支座反力 30 建筑力学 2 画剪力图 不用叠加法 直接用剪力与荷载的规律画 全梁剪力图如图b 所示 求FQ 0的截面位置 FQx FRA q x 0得x 1 82m 3 画弯矩图 用叠加法画弯矩图 把均布荷载分成两部分 一部分是作用于梁的外伸段 另一部分是作用于梁的AB段 在BC部分作用着均布荷载时 因为BC段为悬臂 这部分弯矩图实际上与悬臂梁一样 截面B的弯矩为MB 27 1 kN m 19 5kN m 截面C的弯矩MC 0 由于均布荷载向下 BC段的弯矩图为一段下凸曲线 至于AB段的弯矩 由于其上无荷载 所以是一条直线 如图c 31 建筑力学 当AB部分作用着均布荷载时 见图d AB部分的弯矩图是一条抛物线 最大弯矩在跨中 其值是 至于BC部分是没弯矩的 因为在BC之间任取一截面 以截面右侧来看 完全没有外力 所以该段梁任一截面弯矩等于零 弯矩图如图d M2图 把c 和d 的两个弯矩图叠加 先画M1图 以AB 为基线画M2图 整梁弯矩图M图如图e 所示 最大弯矩在FQ 0截面 32 建筑力学 6 6静定平面桁架内力 由若干直杆在两端用铰连接而成的结构称为桁架 如图所示 如果桁架中各杆的轴线和作用的荷载都在同一平面内 则称为平面桁架 在平面桁架的计算中 通常引用如下假定 1 各杆两端用绝对光滑而无摩擦的理想铰相互联接 2 各杆的轴线都是绝对平直 且在同一平面内并通过铰的中心 3 荷载和支座反力作用在结点上并位于桁架平面内 33 建筑力学 下面介绍两种计算静定平面桁架杆件内力的方法 结点法和截面法 一 结点法 桁架的每一个结点都处于静力平衡状况 因此 每一个结点都满足前面所述的静力平衡方程 为了求每个杆件的内力 可以逐个地取结点为研究对象 利用各结点的静力平衡条件来计算各杆的内力 这种方法称为结点法 结点法适用于计算桁架内全部杆件的内力 桁架中内力为零的杆件称为零杆 如事先能把零杆找到 可使计算工作简化 利用某些结点平衡的特殊情况 判断桁架中的零杆 判断规律如下 1 不共线的两杆的结点 当无荷载作用时 如图6 24a 则该两杆的内力都等于零 2 由三杆构成的结点 有两杆共线 且无荷载作用 如图6 24b 则不共线的第三杆的内力必为零 共线的两杆的内力相等 符号相同 34 建筑力学 利用以上规律 判断出图6 25a b 所示桁架中 虚线所示各杆均为零杆 这样可以简化计算工作 图6 24 图6 25 35 建筑力学 a 例6 16试用结点法分析图a 所示桁架各杆的内力 36 建筑力学 解 1 先由整体平衡 求得各支座反力为 FR1x 0 2 判断零杆 结点2 7不受荷载 且由三杆构成 其中两杆共线 则杆23和杆67为零杆 即FN23 0 FN67 0 37 建筑力学 3 利用各结点的平衡条件计算各杆内力 先从只包含两个杆件的结点开始 画结点1的受力图 如图b 由 得 结点2 结点3 38 建筑力学 联合求解得 结点4 得 至此 桁架左半边各杆的内力均已求出 对称桁架在正对称荷载作用下 其支座反力及各杆件的内力也是对称的 计算这类桁架时 只要计算半边桁架即可 各杆的内力示于图f 39 建筑力学 二 截面法 截取两个以上结点部分作为分离体计算杆件内力的方法称为截面法 分离体上的荷载 反力及杆件内力组成一个平面一般力系 可以建立三个独立平衡方程 求解三个未知力 为避免解联立方程 使用截面法时 分离体上的未知力个数最好不多于三个 当只需计算桁架指定杆件内力时 用截面法比较方便 例试用截面法求图a 所示桁架中a b c各杆的内力FNa FNb FNc 解 1 求支座反力 以桁架整体为研究对象 由于对称故 40 建筑力学 2 求a b c三杆的内力 作一截面m m将三杆截断 先取截面以左部分为研究对象 假定所截断的三杆都受拉力 把FNa FNc代人得 41 建筑力学 习题课 本章小结 本章讨论了静定结构的内力计算 求内力的方法是截面法 它包含显示内力和确定内力两个步骤 是求内力的一个基本方法 一 轴向拉压杆的内力 杆件在轴向拉伸或压缩情况下 其横截面上的内力只有垂直于横截面并且与杆件轴线重合的轴向力 轴向拉力为正压力为负 简称轴力 用FN表示 应用轴力图可迅速判定哪个截面上的轴力最大 危险截面 二 梁的内力 平面弯曲是杆件的基本变形之一 在土建工程中经常遇到 42 建筑力学 1 平面弯曲时 梁横截面上有两个内力分量 剪力FQ和弯矩M 它们的正负号规定是 剪力 截面上的剪力使所考虑的梁段有顺时针方向转动的趋势时为正 反之为负 弯矩 截面上的弯矩使所考虑的梁段产生向下凸的变形时为正 反之为负 2 计算梁的截面内力的方法 1 截面法计算梁截面内力 2 运用剪