湖北省襄阳一中高中数学《函数的奇偶性》学案 必修1.doc

函数的奇偶性1.奇函数、偶函数的概念1奇函数、偶函数的定义偶函数的定义：一般地，对于函数的定义域内的( )，都有( ),那么就叫做偶函数.奇函数的定义：一般地，对于函数的定义域内的( )，都有( )，那么就叫做奇函数2函数奇偶性的分类对于我们所接触到的函数,如果我们利用函数的奇偶性的定义加以判断的话,可以发现,所有的函数分为了四类:有的函数是奇函数,有的函数是偶函数,也有的函数对于其定义域内的任意一个,与能够同时成立,那么函数称为( );也有的函数对于其定义域内的任意一个,与都不成立,那么函数称为( ).所有的函数均在这四类之中,无一例外.【梳理总结】 关于函数奇偶性质的几个未成文的规定 (1)奇函数或偶函数的定义域必须关于原点对称,如果定义域不关于原点对称,那么此函数既不是奇函数又不是偶函数;(2)判断函数的奇偶性,包括判断一个函数是奇函数,或者是偶函数,或者既是奇函数又是偶函数,或者既不是奇函数又不是偶函数,对于函数的奇偶性一定要判断清楚,不能似是而非.典例1.判断下列函数的奇偶性.(1); (2); (3).2.函数奇偶性的性质奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称.若为偶函数，则.若奇函数定义域中含有0，则必有.定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.如设是定义域为r的任一函数， 则，.复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.典例2.已知函数是奇函数,且,求的值.3.奇函数与偶函数的判断方法1定义法根据函数奇偶性的定义直接加以判断,这种判断方法称之为定义法.利用定义法判断函数的奇偶性的步骤:(1)考察定义域是否关于原点对称;(2)验证或对定义域中的任意的值是否成立;(3)得出结论.2利用定义的等价形式从函数的奇偶性的概念可以发现, 是与等价的, 是与等价的,也就是说,判断或在定义域中是否为恒等式,也可以判断函数的奇偶性.上述两式也可以用代替.另外,对于奇函数,若0在其定义域内,则一定有;对于偶函数,有3结合函数图象由于奇偶函数的图象具有以下性质:若为奇函数,则它的图象关于原点对称,反之也成立;若函数为偶函数,则它的图象关于轴对称,反之也成立.这个定理给我们提供了结合图象处理奇偶性问题的依据.分段函数的奇偶性问题典例3. 已知是定义域为的奇函数，当时，求的解析式.【研析】设，则，由已知得， 是奇函数， 当时，； 又是定义域为的奇函数， 综上所述：反思领悟 分段函数的奇偶性的判断应分段讨论,也就是“分段函数问题分段解决”.另外在解决分段函数问题时,一定要注意要根据的范围的不同选取相应的函数表达式.【拓展变式】2. 已知定义在r上的函数y= f(x)满足f(2+x)= f(2x)，且f(x)是偶函数，当x0，2时，f(x)=2x1，求x4，0时f(x)的表达式练习1.函数是奇函数，则实数的值是( )a. b. c.或 d.无法确定 2.若是定义在上的奇函数,且,则( )a. b. c. d.3.已知与的图象如右图所示,则函数的图象可能是( )4.若函数的定义域为,当时,则 ( )a.必是奇函数 b.必是偶函数c.或为奇函数或为偶函数 d.不一定是奇函数,也不一定是偶函数5.设函数为奇函数,则 .6. 已知定义在r上的奇函数f(x)，当x0时，那么x0时，f(x)= .7. 判断下列函数的奇偶性； ； .8. 设函数f(x)对任意x,y，