湖北省荆门市高三数学元月调研考试试题 理（含解析）新人教A版.doc

荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试数 学（理）全卷满分150分。考试用时120分钟。【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的应用、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数的应用、直线与圆、圆锥曲线、集合、排列组合、命题、简单的线性规划等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1集合，则a b c d【知识点】集合的运算a1【答案】【解析】b 解析：因为，所以4，5，6,则选b .【思路点拨】先明确集合a中的元素及集合b中的元素范围，再求交集.【题文】2下列命题中，真命题是 a，使得 b c d是的充分不必要条件【知识点】命题a2【答案】【解析】d 解析：因为,所以a是假命题，当x=时，所以b错误，当x=2时，所以c错误，则只有d正确，所以选d.【思路点拨】判断命题的真假若直接推导不方便时，可利用特例法进行排除判断.【题文】3要得到函数的图象，只需将函数的图象 a向右平移个单位长度 b向左平移个单位长度 c向右平移个单位长度 d向左平移个单位长度【知识点】三角函数的图象c4【答案】【解析】b 解析：因为，可知用换x即可得到函数y=sin2x的图象，所以向左平移个长度单位，则选b.【思路点拨】由函数解析式判断两个函数的图象的左右平移，只需观察x的变换，结合左加右减进行判断.【题文】4对于函数若，则函数在区间内 a一定有零点 b一定没有零点 c可能有两个零点 d至多有一个零点【知识点】函数与方程b9【答案】【解析】c 解析：由二次函数的图象可知，若a,b在二次函数的两个零点外侧，则有，所以函数在区间内可能有两个零点，所以选c.【思路点拨】判断二次函数的零点，可结合其图象进行判断.【题文】5设, 对于使成立的所有常数m中，我们把m的最小值1叫做 的上确界. 若，且，则的上确界为 abcd【知识点】基本不等式e6【答案】【解析】d 解析：因为，所以，则选d.【思路点拨】由题意可知上确界即为函数的最大值，利用基本不等式求所给式子的最大值即可.【题文】6某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为a b c d 第6题图【知识点】三视图g2【答案】【解析】a 解析：由三视图可知该几何体为半个圆锥，其底面面积为，侧面面积为，所以其表面积为，则选a.【思路点拨】由三视图求表面积与体积时，可先通过三视图分析原几何体的特征，再进行求值.【题文】7点是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数 zxay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是 a b c d第7题图【知识点】简单的线性规划e5【答案】【解析】b 解析：由题意，最优解应在线段ac上取到，故x+ay=0应与直线ac平行，,，得a=-1，则表示点p（-1，0）与可行域内的点q（x，y）连线的斜率，由图得，当q（x，y）=c（4，2）时，取得最大值，最大值是，故选b【思路点拨】由题设条件，目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数中系数必为负，最小值应在左上方边界ac上取到，即x+ay=0应与直线ac平行，进而计算可得a值，最后结合目标函数的几何意义求出答案即可【题文】8. 在直角坐标平面上，, 且与在直线l的方向向量上的投影的长度相等，则直线l的斜率为a b c或 d【知识点】向量的数量积f3【答案】【解析】c 解析：设直线l的一个方向向量为，由题意可得,|1+4k|=|-3+k|，解得k=或,故选c【思路点拨】可先结合直线的斜率设出直线的方向向量坐标，再利用向量的投影得到斜率的方程，解答即可.【题文】9对于一个有限数列，的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为，其中若一个99项的数列（的蔡查罗和为1000，那么100项数列的蔡查罗和为 a991b992c993d999【知识点】数列求和d4【答案】【解析】d 解析：由“蔡查罗和”定义，的“蔡查罗和”为，则100项的数列 “蔡查罗和”为,故选d【思路点拨】理解新定义的含义，结合新定义列出已知和所求，即可得到解答.【题文】10设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 a b c d【知识点】双曲线的性质h6【答案】【解析】a 解析：双曲线的渐近线为：y=x，设焦点f（c，0），则a（c，），b（c，），p（c，），（c，）=（+）c，（），+=1，= ，解得= ，=，又由，得= ，解得e=，所以选a.【思路点拨】可结合向量关系寻求点的坐标关系，得到a,b,c的关系再求离心率即可.【题文】二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分)【题文】11已知函数，若，则 【知识点】分段函数b1【答案】【解析】1 解析：因为当x1时，f(x) 3，所以若，则，解得x=1.【思路点拨】可先分析分段函数当x1时的函数值的取值范围，再由所给函数值求自变量的值.【题文】12由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为 【知识点】直线与圆的位置关系h4【答案】【解析】 解析：若切线长最小，则直线上的点到圆心的距离最小，而直线上的点到圆心的距离最小值即为圆心到直线的距离为，此时的切线长为.【思路点拨】一般遇到与圆有关的最值问题，通常转化为与圆心的关系进行解答.【题文】13若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围 【知识点】导数的应用b12【答案】【解析】 解析：因为,由x0可知函数的极值点只有x=,若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则，解得，所以实数a的范围是.【思路点拨】因为所给函数已知，则可先求出函数的极值点，再结合函数的定义域及极值点得到关于a满足的条件求解即可.【题文】14在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比如果的力能使弹簧伸长，则把弹簧从平衡位置拉长（在弹性限度内）时所做的功为 （单位：焦耳）.【知识点】定积分b13【答案】【解析】1.6 解析：由f=kl可知20n的力能使弹簧伸长4cm,若使弹簧伸长8cm，由公式可求伸长到8cm时需40n的力，由定积分可知有关力与距离的函数f=kl图像中函数与x轴在（0,8）围成的面积即为力做的功 .【思路点拨】由力与伸长距离的函数关系求得所需的力，再由定积分求得力所做的功.【题文】15已知：对于给定的及映射，若集合，且中所有元素在b中对应的元素之和大于或等于，则称为集合的好子集对于，映射，那么集合的所有好子集的个数为 ；对于给定的，映射的对应关系如下表：123456f(x)11111yz若当且仅当中含有和至少中3个整数或者中至少含有中5个整数时，为集合的好子集，则所有满足条件的数组为 【知识点】映射 排列组合的应用b11 j2【答案】【解析】5；(5,1,2) 解析：因为a中的每个元素对应的b中的元素都是1，所以所a的子集所有元素之和大于等于3，则子集的元素个数最少为3个，所以集合的所有好子集的个数为 ;由当且仅当c中含有和至少a中3个整数时c为a的好子集，知：z+1+1+1大于等于q且z+1+1+y大于等于q，（1）同时，z+1+1小于q且z+y+1小于q，（2），又b包含于正整数集所以y大于等于1，（3），由上（1）（2）（3）知y=1，c中至少含有a中5个整数时，得出5大于等于q，且4小于q所以q=5，将q=5代入（1）式，得：z大于等于2 且z小于3，z=2，综上（q，y，z）=（5，1，2）【思路点拨】本题主要考查的是映射、排列组合的综合应用，注意分类讨论思想的运用.【题文】三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【题文】16（本小题满分12分） 已知向量，设函数（）求在区间上的零点；（）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围【知识点】向量的数量积 解三角形c8 f3【答案】【解析】（）和；（）(1,0 解析：因为，函数所以 2分 4分（）由，得，或，或 6分又，或所以在区间上的零点是和 8分（）在中，所以由且，得从而 10分， 12分【思路点拨】一般研究三角函数的性质时，通常先化简成一个角的三角函数再进行解答.【题文】17（本小题满分12分） 已知等比数列满足：，且是的等差中项.（）求数列的通项公式；（）若数列an是单调递增的，令，求使成立的正整数的最小值【知识点】等差数列 等比数列 数列求和d2 d3 d4【答案】【解析】（）或；()5 解析：（）设等比数列的首项为，公比为依题意，有，代入，可得，2分，解之得 或 4分当时， ； 当时， 数列的通项公式为或6分()等比数列an是单调递增的， 8分 由，得10分即，即易知：当时，当时，故使成立的正整数的最小值为5.12分【思路点拨】遇到与和有关的不等式可考虑先求和再解答，对于数列求和可先明确数列的通项公式，在结合通项公式特征确定求和思路.【题文】18（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，且交于点（）求证:平面；（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值第18题图【知识点】平行关系 垂直关系 二面角g4 g5 g11【答案】【解析】（）略；（）略；（） 解析：方法一：（）证明：连结交于，连结 是正方形， 是的中点 是的中点，是的中位线 2分 又平面，平面， 平面 4分 （）证明：由条件有 平面，且平面 又 是的中点， 平面 平面 6分 由已知 平面又平面 平面平面 8分 （）取中点，则作于，连结 底面，底面为在平面内的射影, 为二面角的平面角 10分设，在中， 二面角的余弦的大小为 12分 方法二：（ii）如图，以a为坐标原点，建立空间直角坐标系，由,可设，则， ， ,即有6分又且平面 又平面 平面平面 8分 （） 底面，是平面的一个法向量，设平面的法向量为, , 则即, 令,则 10分, 由作图可知二面角为锐二面角二面角的余弦值为 12分【思路点拨】证明线面平行于面面垂直通常结合其判定定理进行证明，求二面角时可通过寻求二面角的平面角解答也可以建立空间直角坐标系用空间向量解答.【题文】19（本小题满分12分） 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是（单位:万元）现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位:万元）随投资收益（单位:万元）的增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过投资收益的20%（）若建立函数模型制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件；（）现有两个奖励函数模型：；试分析这两个函数模型是否符合公司要求【知识点】函数模型及其应用b10【答案】【解析】（）当时，是增函数；当时，恒成立；当时，恒成立（）函数模型符合公司要求 解析：（）设奖励函数模型为，则该函数模型满足的条件是：当时，是增函数；当时，恒成立；当时，恒成立5分（）（1）对于函数模型，它在上是增函数，满足条件；但当时，因此，当时，不满足条件；故该函数模型不符合公司要求7分 （2）对于函数模型，它在上是增函数满足条件时，即恒成立满足条件9分 设，则，又 ，所以在上是递减的，因此，即恒成立满足条件故该函数模型符合公司要求综上所述，函数模型符合公司要求12分【思路点拨】本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，可先将文字语言转化为数学符号语言，再用数学方法定量计算得出所要求的结果.【题文】20（本小题满分13分） 如图，已知圆e:，点，p是圆e上任意一点线段pf的垂直平分线和半径pe相交于q第20题图（）求动点q的轨迹的方程；（）设直线与()中轨迹相交于两点, 直线的斜率分别为(其中)的面积为, 以为直径的圆的面积分别为若恰好构成等比数列, 求的取值范围【知识点】圆 椭圆 直线与圆锥曲线 等比数列h3 h5 h8 d3【答案】【解析】（）；（） 解析：（）连结qf，根据题意，|qp|qf|，则|qe|qf|qe|qp|4，故动点q的轨迹是以e，f为焦点，长轴长为4的椭圆2分设其方程为，可知，则，3分所以点q的轨迹的方程为4分()设直线的方程为，由可得，由韦达定理有： 且 6分构成等比数列，=，即：由韦达定理代入化简得： ，8分此时，即又由三点不共线得从而故10分 则 为定值12分当且仅当时等号成立综上：的取值范围是13分【思路点拨】求圆锥曲线的轨迹方程若出现定义条件，注意利用定义判断轨迹并求方程，遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，一般设出方程，联立方程结合韦达定理建立系数的对应关系，再进行解答.【题文】21(本小题满分14分) 设函数，（）讨论函数的单调性； （）若存在，使得成立，求满足条件的最大整数；（）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围 【知识点】导数的应用b12【答案】【解析】（）当时，在上单调递增，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；（）18；（） 解析：(), 定义域（0，）1分当时，函数在上单调递增,2分当时，函数的单调递增区间为