数学建模教学方法探讨.pdf

第2 1 卷第 1 期 苏 州 科 技 学 院 学 报 自然 科 学 版 2 0 0 4年 3月 J o u r n a l o f U n i v e r s i ty o f S c i e n c e a n d T e c h n o lo g y o f S u z h o u N a tu r a l S c ie n c e V o 1 2 l N o 1 Ma r 2 O 0 4 数学建模教学方法探讨 李晓莉 苏州科技学院 数学系 江苏 苏州 2 1 5 0 0 9 摘要 数学建模的教学是一种新的尝试 它要传授给学生的不仅是解决问题的方式和方法 更重 要的是通过教学过程培养学生综合运用所学知识的能力 互动式教学法为学生营造了一个有利于 学生活动的问题情境 在整个教学过程中 教与学的双方互相交流 互相促进 而学生自始至终处于 主体地位 其主观能动性得到充分发挥 有利于建模课程学目标的实现 关键词 数学建模 互动式教学法 问题情境 教学设计 中图分类号 G 6 4 2 0 文献标识码 A 文章编号 1 6 7 2 0 6 8 7 2 0 0 4 0 1 0 0 5 6 0 6 1 前言 自2 0 世纪9 0年代以来 数学建模活动在我国大中专院校得到了深入而广泛的开展 一些 条件好的中学也已进行了相关的教学或比赛活动 有专家认为 数学建模在本世纪的数学教学 中必将占有重要地位 加强数学建模及其教学的科学研究 建立适当的数学建模教学模式 提 高数学建模活动水平就成为数学教育研究的一项新课题 数学建模是解决各种实际问题的一种数学思考方法 它在深入分析实际问题的基础上 抓 住主要矛盾 将现实问题简化并抽象为一个数学问题 或称数学模型 然后采用恰当的数学方 法进行求解 反过来重新对现实问题作出定量分析 并酌情对模型及算法进行修改 最终达到 解决实际问题之目的 由于数学建模活动的开放性和实践性 对数学建模的教学也就提出了一 种全新的要求 它要传授给学生的不仅是解决问题的方式 方法 更重要的是通过教学过程培 养学生的观察力 抽象力 想象力和创造力 培养学生的数学意识和综合应用所学各科知识的 能力 正是由于数学建模课程的这些特点 其教学方法应与其它数学课程有所不同 笔者在近 几年的数学建模教学实践中 探索性地采用了互动式教学方法 取得了较好的教学效果 2 互动式教学方法 教学方法是实现教学目标的重要因素 教学方法包括 教 的方法 讲解 指导和检查学生 认知活动的手段 方式和方法 和 学 的方法 掌握学习内容的手段 方式和方法 对学习效果 进行自我检查的有效方式 以及教学双方实现有机联系的方式与内容 互动式教学方法 就是 在整个教学过程中 教师始终处于主导地位 作为必不可少的教学组织者 其职责是酌情 收稿日期 2 0 0 3 6 旬1 作者简介 李晓莉 1 9 6 2 一 女 副教授 研究方向 概率统计 维普资讯 晓莉 数学建模邀鲎查 竖堕 5 7 第 l 创造有利于学生活动的情境 根据问题的实质为学生设计一个思维活动的 平台 学生在学 习 讨论和解决实际问题的过程中 可以提出新的看法 新的问题和新的解法 教师根据学生对 问题的理解和反馈 或引导 或补充 或组织大家进一步开展探讨 在整个教学过程中 使 教 学 双方充分交流 相互促进 特别是使学生始终处于主体地位 在一个相对自由 宽松的思考 空间中 尽展其想象力和创造性 主观能动性和团体合作的优势也得到了充分发挥 2 1 教师的主导作用 教师是教学过程的组织者 引导者和促进者 建模课程要求学生积极思考 主动参与 因此 教师的主导作用更为重要要使课堂 统而不死 忙而不乱 笔者认为 在互动式教学方法中 教 师的主导作用应该主要体现在 教学内容的组织 教学模式的设计 和 互动效果的评价 等 几个方面 2 1 1 教学内容的组织 教学内容是课堂教学的重要载体 由于各种原因 传统的数学课程一般都有严谨的逻辑体 系 完美的理论框架 且较少涉及到其它分支的内容 因此其知识内容相对封闭 学生也已习惯 于在一个循序渐进的过程中学习知识 而数学建模课程则完全不同 它不但要涉及许多数学分 支的理论和方法 还可能需要其它专业领域的背景知识 跨度大 涉及面广 所以 讲什么 怎样 讲 讲多深 的问题更加突出 各人也有不同的理解和做法 可谓是 百花齐放 如果教师不去 认真组织 课堂教学必然是杂乱无章 学生也不易掌握所学内容 由于数学建模强调的是 用 数学 笔者认为 组织教学内容时应该在 用 字上下工夫 数学建模 是我院大三上学期开设的必修课 此时学生已经基本学完了基础课和专业基 础课 然而当拿到一个实际问题时 他们最初的反应往往是不知如何下手 究其原因 一个重要 的症结在于学生还不能很好运用所学过的数学知识描述实际问题 比如 涉及到变化率问题 时 难以抽象出微分方程 涉及到数量变化规律时 不能画出较为准确的直观示图 虽然他们可 以很熟练的把函数展开成幂级数 却不知道如何利用幂级数展开式进行逼近 等等 针对这种 状况 笔者的做法是 首先是返朴归真 在数学概念 定理和结论的使用上 注重渗透数学思想 实质和内涵 使学生经历一个 知识再构建 的过程 针对一个实际问题所需不同板块的数学知 识 引导学生根据这些知识的内在联系将其整合为一个有机整体 强调所学知识的融会贯通 灵活应用 其次是注重对建模活动各个环节的把握 如 强调具体问题具体分析 抓住主要矛盾 来简化问题的条件 通过合理假设建立恰当的数学模型 在求解数学模型的过程中正确利用近 似 逼近等手段得到问题的解答 把所得的解返回到实际问题中去检验其合理性 酌情对模型 进行修订 等等 在此 数学理论不再是一个个严谨生硬的定义和定理 而成为问题解决过程中 生动鲜活的技术工具 与此同时 我还注意将学生熟悉或关注的一些实际问题引入课堂 既激 发了学生的学习兴趣和学习动机 也使他们在学习和实践过程中增强对 学有所用 的心理体 验 2 1 2 教学活动的设计 在互动式教学过程中 围绕教学内容为学生设置问题情境 以解决问题为线索逐步展开教 学过程 是为学生营造充分发挥想象力和创造性氛围的重要环节 在数学建模课程中 教学重 点不是向学生系统传授知识 而是让学生在参与解决问题的过程中 学习运用所学知识去思考 问题 寻找解决问题的有效方法 去感受数学发现和创造的乐趣 从而对数学的本质增强理解 维普资讯 5 8 苏 州 科 技 学 院 学 报 自 然 科 学 版 2 0 0 4年 培养其应用能力 在教学活动的具体设计时 教师的主导作用表现在两个方面 其一是构建一个由系列问题 组成的问题链 这些问题的选择不仅应体现出相关的数学思想 具有深刻的背景和内涵 而且 要具有开放性和挑战性 总的原则是 问题不宜太细 不宜太多 要留给学生思考的余地 使他 们不至于被一个个 精致 的问题所束缚 同时鼓励学生对教材中的一些解法提出质疑 提倡 否定思考 即 如果不是这样又会怎样 等 其二是把握学生的认知方向 学生对问题情境 中各种线索的敏感性 既会使他们很快对问题做出反应 也可能使他们陷入困惑 使其认知方 向受到困扰 这时教师可通过启发和调节 指导学生去探索解决问题的新途径 2 1 3 活动效果的评价 学生在问题情境的促动下 通常会有强烈的解决冲动 他们会调动自己的知识积累 迅速 对其进行整合 对问题做出反应 并且还可能会对问题本身提出新的问题 这就需要教师主导 作用的另一个表现 对学生的思维活动给出评价 一般来说 当学生对一个问题有所认识时 很 希望得到教师的认可 如果学生能给出比较确切的解答 教师就应给予充分肯定 这样不但能 使学生获得较强的成就感 而且可以强化其参与意识 对下一步的教学活动产生更强的驱动 力 当然 学生的反应也往往是不完整的 或存在不同程度的错误 对此更需要教师做出恰当的 评价 首先肯定其合理部分 然后指出错误所在 激励学生深入思考 对于一些有争议的意见 则可采取由学生充分讨论的办法进行评价 2 2 学生的主体地位 学生是教学过程的主体 一切教学活动都应围绕学生而展开 在互动式教学过程中 学生 的主体地位主要表现在 学习兴趣 参与交流 和 个体体验 等几个方面 兴趣 是学习动 机 参与 是能动思考的基础 合作交流 是解决问题的手段 而 体验 则是课堂活动的最终 目标 2 2 1 学习兴趣 教学活动是一个完整的系统 它有两个子系统 智力品质一操作系统 非智力品质一动力 系统 智力品质当然重要 但离开动力系统 教学活动也将难以继续 非智力品质包括动机 兴 趣 情感 意志和性格 在学生学习过程中 非智力因素发挥着动力 定向 引导 维持和强化等 一 系列相互联系的作用 在上述的非智力因素中 兴趣无疑是最重要的 爱因斯坦曾说过 兴 趣是最好的老师 它永远超过责任感 互动式教学设计应该充分考虑到这一点 要注重利用问 题情境激发学生的学习兴趣 当学生被学习内容所吸引时 会产生强大的内驱力 调动其积极 思维 全神贯注沉浸于求知的境界之中 由此产生的认知倾向能够极大地激发其学习潜能 2 2 2 参与交流 在教师创设的问题情境中 学生由感兴趣而参与 非智力因素的激励促使智力因素对问题 做出反应 在原有的知识结构中积极调动有关信息对问题进行思考和整合 从而达到认知结构 上新的平衡 并获得心理上的满足 参与也是体验的基础 只有主动参与 亲临其境 才会在成 功后获得由衷的喜悦 才会有难以释怀的体验 交流是学生主体地位的另一个表现 尽管每次 课前都要求预习 但学生在考虑问题时仍会有疏漏 在课堂上鼓励学生讨论和质疑 敢于发表 各种不同的见解和看法 同学之间 师生之间广泛交流探讨 集思广益 都是得到共识 获得到 正确结论的有效途径 维普资讯 晓莉 数学建模教学方 探讨 5 9 在互动式教学环境下 学生不再是被动接受知识的客体 而成为整个过程的主要参与者 是活动的主体 一个个没有现成答案 没有固定求解模式的实际问题 给学生提供了充分发挥 自己想象力和创造力的空间 2 2 3体验 任何知识的学习 都有从知识结构转化为学习者认知结构的过程 而这种转化基于学习者 对所学知识体验的基础之上 数学建模是一个微缩了的数学发现过程 是一个不断猜想 不断 否定 不断完善的过程 在这样的过程中 学生主动提出问题 解决问题 变过去的 要我学 为 我要学 我要做 使构建自身的认知结构成为一种自觉行为 并由此体会到数学的思想和内 涵 感悟到数学发现的艰辛和乐趣 当学生主动进入角色 真刀实枪地去解决一个问题时 往往 被数学的奇异和美妙所吸引 被数学的价值和成功所感动 一位参加完竞赛的同学说 原来数 学也会让人入迷 也会使人疯狂 这也许就是学生对参加数学建模活动体验的最好写证 3 数学建模互动式教学例 在 数学建模 课程中 笔者尝试了用互动式教学法开展教学 下面是两则教学实例 3 1 例一 公平席位的分配 公平席位的分配 是一个经典问题 教材给出的几种方法距今已有一百多年的历史 由于 是在学期初讲授 学生对问题的理解相对比较粗浅 对数学建模的方法步骤还不甚熟悉 所以 我对教学过程的设计做的比较细致一些 课堂活动的问题链设计如下 1 按照惯例的席位分配方法是什么 以H a m i l t o n 方法为主 见 3 2 该方法存在的弊端是什么 如A l a b a m a 悖论 见 3 1 3 寻求公平分配席位的度量标准是什么 局部不公平度 见 3 4 如何确定新的分配方案 参H u n t i n g t o n 法 值法 见 3 5 这个分配方案是最合理的吗 讨论 找反例 参考 4 6 还有其它的分配方案吗 讨论 d H o n d t 方法等 参考 4 由于同学们已经预习过教材 所需要的数学知识也比较简单 前四个问题的教学活动很快 就结束了 对第五个问题 针对Q值法的特点 经过讨论 找到了一个反例说明 Q值法也不尽 完全合理 对于第六个问题 首先以习题中列举的一些分配方法为例 强调要注意方法的特点和合理 性 在讨论的过程中 有几个同学很快提出了自己的想法 其中一位给出了一个公平分配席位 新的度量标准 设总人数为p 总席位为n 则平均每位代表所代表的人数为r 记第个部门人数为P i 应分配的席位数为n i 此值待定 定义S 2 一 r 为分配平衡度 则使得最小的一组值 n i 就 是最终的席位分配数 这位同学还陈述了方法的 由来 受概率论中方差定义的启发 如果该分配是均衡的 合 理的 则理想的情况应该是各部门中每个代表平均代表的人数都与r 相同 但实际上 Q的值 总是或大于r 或小于r 故考虑使 与r 的偏差平方和为最小的n i 应该是最合理的 不妨 维普资讯 6 0 苏州科技 学院学 鱼鉴 堂鉴 把这种方法称为 平方和法 这位同学还罗列了该方法的优点 直观 容易理解 而且 对于课 本中所给的数据 经计算得知 与 Q值法计算结果是相同的 我们在课堂上立即对此展开了讨论 焦点是 该方法的合理性是什么 其局限性如何 经 过一番争论和交流后 达成了以下几点共识 该分配方案以方差概念为基础 考虑偏离总变动 比较直观 易懂 具有一定的合理性 由于处理问题的过程中不考虑 一 r 的符号 即没有体现名额的 充足 与 不足 的区 I 别 这可能是该方法的缺陷 方案的计算量较大 当部门较多时不易操作 虽然该方案就现有的数据计算结果与Q值法相同 对上面的反例也没有改善 但这并 不能够说明该方案与 Q值法价值相当 能否证明其满足席位公平分配的合理性 将另文讨 论 课后 仍有一些同学意犹未尽 目前还有人在继续讨论 3 2 例二 关注非典疫情 今年春天 全球非典肆虐 由非典所引发的一系列问题被世人关注 对此笔者在五月初期 设计了一节讨论课 关注非典 由于讨论内容具有很强的实际背景 学生表现出极大的兴趣 课堂活动设计如下 1 关于非典你能提出什么样的问题 经过热烈的讨论后 同学们很快归纳提出了十几个问题 如 根据已有的一些数据 探讨非 典的传播规律 进而预测江苏省疫情的发展 非典疫情的传播与地域 气候以及该地居民的饮 食习惯等因素的关系 探讨非典疫情对我国国民经济的影响 等等 2 要解决问题 需要哪些方面的数据资料 同学们针对感兴趣的问题 分别给出了资料的来源 以及搜集数据的途径 当然有些是我 们目前无法做到的 3 根据所搜集的数据资料 你将如何建立数学模型 同学们很快发现 自己提出的问题比较笼统 要想建立模型还需要进一步细化 使问题的 提法更明确 比如 对于第一个问题 经过讨论 修改为 问题 S A R s病毒的传播途径为空气飞沫传播和未经处理的排泄物传染 现在可以通过消 毒等方式处理排泄物 排泄物的感染可以忽略不计 根据报刊资料公布的近一个月全国各地的 疫情数据 建立 S A R S 病毒传播规律 估计高峰期以及 S A R S 疫情持续时间 并提出你的建议 这显然是一个条件不充分的问题 通过进一步的讨论 同学们又把问题分解为 社会上的 疫情传播 治疗医院的疫情传播两种情况 在两种情况下给出了各种假设 分别提出了利用随 机感染模型 S I R模型 差分方程模型等来解决 这时 有同学提出 我们所建立的理论模型都 是经过很多假设以后给出来的 目 前还有许多数据无法得知 模型的解与实际情况可能相去甚 远 而且对于非数学专业的人来说也不容易理解 是否可以从数据资料进行一些直观分析 从 而得到有用且比较通俗的结论呢 比如 平均治愈期 疫情传播的高峰期 政府采取防治措施后 疫情下降的速度等等 后来在报纸上也看到了许多类似的数据分析 对于这种观点 笔者又 组织同学们讨论了数据直观分析结果和理论模型之间的联系和区别 维普资讯 晓莉 数学建模教学方法探讨 第 1 期 6 l 与以前所讨论过的模型不同之处在于 它不是书本上现成的问题 数据不完整 也没有现 成的解决模式 尽管同学们提出的问题和模型可能不完善 结论可能粗浅 但这次研究的经历 和体验对他们却是十分珍贵的 4 结束语 数学建模的教学不仅培养了学生的能力 同时也为教师提供了一个更为广阔的舞台 数学 建模教什么 如何教 目前尚无确定的教学模式 也不应有一成不变的教学模式 但有一点是所 有从事数学建模教学的教师的共识 让学生充分参与 亲身体验才是最重要的方式 在这样的 一 个活动过程中 学生要 自己提出问题或设计问题 亲自收集数据 自己进行思考分析 自己解 决问题 使得数学知识的学习和应用变成了学生自主的探讨 研究和交流的实践活动 这样不 但可以激发学生的创新精神 而且对于他们的独立工作能力也是一个很好的锻炼 参考文献 l l 严 t 健 面向 2 l 世纪的中国数学教育I M 南京 江苏教育出版社 1 9 9 4 I 2 马忠林 胡炯涛著 数学教学论 M 南宁 广西教育出版社 1 9 9 6 I 3 I 姜启源 数学模型I M 北京 高等教育出版社 1 9 9 3 4 I 刘来福 数学模型与数学建模I M 北京 北京师范大学出版社 1 9 9 7 I 5 I 石循忠 教师与学生在教学过程中的交互作用I J 数学教 育学报 2 0 0 2 1 1 2 4 2 6 Ex p l o r a t i o n o f t h e Ma t h e ma t i c a l Mo d e l i n g T e a c h i n g Me t h o d L I X i a o h D e p mm e n t o f A p p l i e d M a t h e m a t i c s U S T S S u z h o u 2 1 5 0 0 9 C h i n a Ab s t r a c t T e