数学建模(第三版)部分课后习题.pdf

数学模型与数学建模习题 第三章 1 速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上 空气的密度为 用量纲分析 法确定风车获得的功率p与v s 的关系 解 解 按照量纲分析 1 LTv 2 Ls 3 ML 32 TMLp 设 4321 aaaa psv 则有下列等式成立 434143214321 323232321 aaaaaaaaaaaa MTLTMLMLLLT 则成立下列方程组 0 03 0232 43 41 4321 aa aa aaaa 有上面方程组可以得到 svp 其中 为无单位常数比例系数 因 此功率p与 sv的关系为 svp 3 其中 为无单位的常比例系数 4 质量为 m 的小球以初速度 v 竖直上抛 空气的阻力与速度成正比 比例系 数为 k 设初始位置为 y 0 y 轴竖直向上 则运动方程为 0 00 0vyymgykym 试选择适当的特征尺度将模型无量纲化 并讨论k很小时近似求解的可能 解解 注意到 1 mkt 选取特征尺度 1 mktc 12 gvxc则方程可以化为 vx x xx 0 0 0 01 22 mg kv 其中 求解上述方程 得到 txx 当k很小时 也很小 上述方程无解 选取 1 vgtc 12 gvxc则 1 0 0 0 01 x x xx mg kv 其中 求解上述方程 得到 txx 当k很小时 上述方程有解 它的解就是是 原问题中忽略阻力时的近似解 21 2004 年建模竞赛 C 题饮酒驾车 国 家 标 准 规 定 车 辆 驾 驶 人 员 血 液 中 的 酒 精 含 量 大 于 或 者 等 于 mLmg100 200 小于mLmg100 80为饮酒驾车 血液中的酒精含量大于或者等 于mLmg100 80为醉酒驾车 大李在中午 12 点喝了一瓶啤酒 下午 6 点检查时 符合驾车标准 紧接着他在吃饭时又喝了一瓶啤酒 为了保险起见他呆到凌晨 2 点才驾车回家 又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车 这让他懊恼又困惑 为什 么喝同样多的酒 两次检查结果会不一样呢 已知 人体的吸收和排泄引起血液中究竟的减少率正比于血液中酒精的浓 度 请你参考下面给出的数据建立饮酒后血液中酒精浓度随时间变化的数学模 型 用于讨论以下问题 1 对大李碰到的情况作解释 2 根据你的模型论证 如果天天喝酒 是否还能开车 参考数据 体重约 70kg 的某人在短时间内喝下 2 瓶啤酒后 隔一定时间测量他的血液 中酒精含量 100 mLmg 得到如下数据 时间 h0 250 50 751 522 533 544 55 酒精含量30687528277686858515041 时间 h67810111213141516 酒精含量383528518151210774 解解 1 1 问题假设 问题假设 1 啤酒内的酒精含量相同 每瓶啤酒的酒精含量为一定常值 2 人体对酒精的吸收 消化 排泄功能正常 且其饮食不影响人体对酒精的 吸 收 室 中 心 室 0 tx 1 txtc 1 V 000 txkf k 排 出 体 外 酒精的吸收排出模型 图 1 酒精的吸收与排除模型 吸收 3 人体内血液的总体积是一定的 5 人体血液中的酒精量与喝入的酒精量成线性关系 6 酒精进入中心室以后直接排出体外 2 2 符号说明符号说明 0 D 进入吸收室中的酒精含量 单位 mg tx 长时间内喝酒中心室在t时刻血液中的酒精含量 0 k 吸收室中的酒精转移到中心室的速率系数 k 中心室的酒精排出体外的速率系数 2 k 长时间内喝酒 酒精进入中心室的速率 tf0 酒精在t时刻转移到中心室的速率 t 时间 单位 时 tc t时刻血液中的酒精浓度 0 0 x 吸收室在 0 t 时的酒精含量 tx0 吸收室在t时刻的酒精含量 tx1 中心室在t时刻的酒精含量 V 人体中血液的体积 1 V 中心室中血液的体积 3 3 模型求解模型求解 快速饮酒与口服或肌肉注射药物的过程相似 这就相当于酒精进入心室前先 有一个将酒精吸收入血液的过程可以简化为有一个吸收室 如图 1 所示 于是 0 tx满足 00 000 0 Dx xktx 而药物进入中心室的速率为 图 2酒精含量与时间图像 000 txktf 将方程 的解代入 式得 tk eDktf 0 000 又由假设得出微分方程 101 tkxtftx 1 tx与血液浓度 1 tc 房室容积 1 V之间显然有关系式 111 Vtctx 将 式代入 式得 1 00 0 V eDk kctc tk 通过 MATLAB 对上述微分方程进行求解 可得 01 01 00 0 kkece kkV Dk tc kttkk 即 kttk ece kkV Dk tc 1 01 00 0 tkkt BeAec 0 因为kVDk 10 都是常数 故 式可以简化为 tkkt BeAec 0 BA 都为待定 参数 其中 01 01 kkV Dk B 将血样分成两部分 对于t比较大时 可近 似有 kt Aetc 两边取对数得 ktAtc ln ln 通过MATLAB线性拟合得到 2316 0 2477 5 kA 则 t etc 2316 0 1285 190 对于其余数据进行以下处理 tkkt BetcAetc 0 同理得出 4252 130 B 4775 0 0 k 从而得出快速 喝入两瓶啤酒 血液中酒精含量与时间t的关系式 4775 0 2316 0 4775 02316 0 4252 1301285 1904252 1301285 190 ntnttt eeeetc 如图 2 所示 红色图像为拟合曲线散点图 蓝色为原始数据的图像 从图像 上可以看出两者基本吻合 模型可以接受 23 混合泳接力接力赛由蛙泳 蝶泳 自由泳 仰泳组成 如何根据 4 位运动 员的 4 种游泳竞赛成绩安排混合泳接力队 以取得最佳成绩 蛙泳蝶泳自由泳仰泳 甲99605973 乙79659387 丙67936381 丁56798676 解 解 1 1 模型假设 模型假设 假设游泳队员在比赛当中没有发生任何意外 假设当天的天气不会影响到队员的比赛 2 2 符号说明 符号说明 i 游泳人数 j 游泳姿势 ij x 表示i队员参加第j项泳姿 0 ij x 表示i队员未参加第j项泳姿 1 ij x 表示i队员参加第j项泳姿 ij c 表示i队员参加第j项泳姿的竞赛成绩 3 3 模型建立与求解 模型建立与求解 目标函数 很明显决策变量为 甲 乙 丙 丁 4 个队员 i 1 2 3 4 分别选 4 项泳姿 j 1 2 3 4 目标是 4 个队员所取得的总成绩最高 故目标函数为 4 1 4 1 max ij ijijx c 约束条件 因为 4 队员每个人参加一项泳姿 至少选择一项 用 1 和 0 表示其选择与否 所以 4 1 1 j ij x i 1 2 3 4 而j不变 又考虑一项泳姿供 4 人选择 至多选择一项 用 1 和 0 表示其选择与否 所 以 4 1 1 i ij x 其中j 1 2 3 4 而i不变 由此建立选拔模型 模型如下 4 1 4 1 max ij ijijx c 4 1 4 1 4 3 2 1 1 4 3 2 1 1 j ij i ij xx jx ts 对模型进行求解得到 1 11 x 1 32 x 1 23 x 1 44 x 即选择甲队员参 加蛙泳 选择乙队员参加自由泳 选择丙队员参加蝶泳 选择丁队员参加仰泳可 以取得最好的成绩 第四章 5 表格 4 5 1 给出了 30 组女子铅球投掷的实测数据 它们都是来自我国优 秀铅球运动员在比赛中的观测结果 能否利用这些数据组建模型 对铅球的投掷 给出进一步分析 表 4 5 1我国优秀运动员的女子铅球数据 出手速度 v scm 出手角度 出手高度 mh 铅球成绩 ms 13 5138 692 0020 30 14 0835 131 9521 76 13 8230 802 1020 49 13 4036 022 1120 24 13 7734 642 0120 84 13 4138 741 9220 02 13 5635 331 7720 10 14 0834 601 8921 58 13 2339 132 1019 84 13 3534 081 8919 26 13 0939 932 0519 50 13 8639 181 8519 83 13 0739 681 9719 17 13 3934 141 8319 62 13 3037 741 7619 76 13 5837 752 0220 76 13 9539 062 0421 66 13 5936 131 8820 40 13 4538 152 0620 43 13 7634 381 9720 90 13 5837 752 0220 78 13 4840 562 0020 33 13 3934 672 0119 85 13 3538 271 9119 81 13 3736 981 9519 62 13 4638 681 8319 59 13 2042 481 9819 58 13 1838 621 8919 36 13 2141 322 0319 82 13 3836 101 9419 71 解 解 1 1 模型假设 模型假设 运动员的出手高度与出手速度没有关系 铅球运动过程中忽略空气阻力 竞赛时没有风 将铅球看作一个质点处理 不考虑其形状和体积的影响 2 2 符号说明 符号说明 v 运动员的出手速度 h 运动员的出手高度 s 铅球的投掷远度 运动员的投掷角度 g 重力加速度 3 3 模型建立 模型建立 分析铅球出手的运动过程 如图所示建立 x y 坐标系 在 P 点 铅球竖直方 向上的速度为 0 铅球竖直方向上的速度为 cos 1 vv 由力的平衡和牛顿第 二定律有以下的关系式 1 singtv cos 11 vts cos 22 vts 2 21 2 1 gthh 2 11 2 1 gth 21 sss 综合以上表达式 g vghvv s 222 sin2coscossin 易得 投射距离 s 与出手点的高度 h 和出手角度 有关 我们从奥运会的女子铅球比赛中获得这样一组数据 h 出手高度 a 投掷角 v 初速度 S 理论成绩 实际成绩 1 90m37 6013 75m s21 10m20 95m 2 00m38 6913 52m s20 55m20 30m 用 MATLAB 带入数值检验 带入第一组数据 取 g 9 8 得模型理论值 s 20 8583 带入第二组数据 取 g 9 8 得模型理论值 s 20 4848 结论 滑步的低 平 快 过渡阶段随着左腿低而快的直顶抵趾板下沿 推髋侧移 使铅球低而远的远离出手点 最后用力阶段突出向前性 其中 出手速度最重要 出手角度的调整对取得稳定的成绩是最重要的 在前面的基础上 尽量提高出手的角度 7 在例题 4 1 2 的次品检验问题中 假设我们检验 1000 个二极管并且发现 有 3 个是次品 在这个基础之上 我们会估计次品率 q 0 003 请给出统计推断模 型 分析这个估计的精度有多大 假设在 10000 个二极管中发现 30 个是次品 估计精度有多大 解 解 1 1 模型假设 模型假设 每个产品是否为次品的事件是相互独立的 检验时抽取的样品也是随机的 2 2 模型建立于求解 模型建立于求解 用随机变量 X 0 1 来描述一件产品是否为次品这个事件 若令 X 1 表 示该产品为次品 否则有 X 0 产品为次品的概率p Pr X 1 随机变量 X 的期 望值为pxE 若用 i x 表示第i个样本的观测值 1000 个次品发现了 3 个次品 所谓次品率 0 3 实际上就是这 1000 个样本观测值的平均 用这个频率值来估计次品出现 的概率p可靠吗 1000 1 1000 1 i i EXxx 根据大数定律 样本的平均值随着样本数量 n 的增加 依概率收敛于期望 1lim EXxP n 随着样本容量的增加 随机变量 X 的样本平均数与 随机变量的期望值EX 的偏差值比任何给定的数都小的概率将趋近于1 如果样本 容量不足够大 将影响到结论的可信度 因此对于 n 1000 这样一组样本的容量 是否足够大需要作进一步的讨论 根据中心极限定理 随着样本数量 n 的增加 样本均值 k n 1 近似满足期望为 p 方差为 n 2 的正态分布 两点分布的期望 EX p 方差 1 2 ppDX 当 我们使用样本均值作为 p 的估计值时 2 可以近似地由其来估计 按照 2 定律 有 95 把握保证 2 1 2 1 1 np n n k k 即 1380 0 0690 0 2003 0 p 这时断言次品率为 0 3 结果很不可信 但 是 如 果 在10000个 二 极 管 中 发 现30个 是 次 品 则 0044 0 0022 0 2003 0 时 污染物的浓度将逐渐减小 而当 k Qs 时 为超饱和污染水平 容易看出 这时污染物浓度将不断下降 1 时 湖水的污染状况不断加重 若 0 s Q 即安大略湖一开始时未污染的 则 t 时刻的污染水平 1 t te 则 对于 给定的水 平 1 湖水的污染程度达 到水平 所需的时间 为 ln 1t 当 0 5 时有 1 2 ln20 7t 1 8 当 0 05 时 有 0 05 100 ln 95 t 1 9