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数学解题教学中自然而有效的提问方式探析 315700 浙江省象山县教育局教科研中心 俞宏达 1 解题教学中自然而有效的提问形式 探究 培养学生的解题能力是数学教学的一项 重要任务 笔者经常有这样的体会 学生来问 一些笔者也感到陌生的问题 当笔者按照常 规的思考策略反问了几个问题后 他们常常 会恍然大悟地说 我知道了 其实有时笔者 还没有将这个问题完整解决 之所以会出现 这种情形 是笔者按照数学解决问题的思维 规律以及学生的心理特征进行提问 即设置 自然而有效的提问为他们指出了通往正确思 路的方向 目前在解题教学中存在着一个普 遍的现象 有不少教师只讲解题方法 不讲解 题思路是如何得来的 这样往往掩盖了数学 发现 数学思考的过程 其结果必然会导致学 生知其然而不知其所以然 除了佩服老师的 高明 之外 只能产生数学真难等自卑和害 怕的心理 在解题教学过程中 教师最重要的 任务是给学生自然而有效的提问 那么 所谓 的自然而有效的提问到底有哪些呢 不同教 师可能有不同的体会 笔者通过自己的教学 实践 对以下四种提问的感触尤其深刻 如果 运用得当 就能够比较自然地启发学生进行 解题 提高他们的解题能力 1 1 阅读型提问 按照波利亚的解题理论 学生能够成功 解题的第一个步骤是阅读问题 弄清题意 学 生解题困难往往是没有过好审题关 因此 通 过提问促使学生弄清题意往往是自然而且有 效的 例 1 求证两条平行直线 a b 确定一个 平面 这个问题笔者曾经对很多届高中学生进 行过试验 发现学生普遍存在阅读性困难 以 下摘取一届学生与笔者在此题教学过程中的 对话片段 师 本题如何证明 故意发散 试图发现 学生存在的问题 生 1 要证明两个方面 一是证明存在性 二是证明唯一性 师 很好 如何证明存在性 观察学生是 否概念清楚 是否存在阅读性困难 生2 在第一条直线a上取一点A 第二条 直线 b 上取两点 B C 这样 A B C 三点不共 线 存在一个平面 A经过这三个点 显然直线 BC 即第二条直线 b 在平面 A内 师 那么第一条直线a上只有一点A 在平 面A内 如何证明直线a也在平面 A内 追问 故意增加学生由于概念不清导致解题受阻的 挫折情感体验 生 2 沉默片刻 第一条直线 a不可能不 在平面 A内 怎么说呢 挠挠头 不好意思 地坐下来 生 3 举手 在两条直线 a b 上分别取点 A B 过这两点作直线c 那么 a c 确定一个平 面 A b c 也确定一个平面A 所以a b c 确定一 个平面 A 师 你怎么知道 a c 确定的平面与 b c 确 定的平面是同一个平面 生 3 沉默片刻 也不好意思地坐下 来 师 大家考虑一下 还有什么方法 教师 这样做是让所有的学生参与讨论 增强教学 效果 结果有的学生想把生 2 生 3 的证明继 续下去 有的学生采取另外方法 如在两条直 线上各取两点等 讨论非常激烈 但在教师的 追问下 都 败下阵 来 师 我想问一下 什么叫做两条平行直 线 点破问题的症结 生 4 在同一平面内不相交的两条直线称 为平行直线 有一些学生已经在底下情不自 禁地 哦 了一声 师 那我们还有必要证明存在性吗 生 5 没必要 师 从刚才走的弯路 同学们有什么体 会 提醒学生要过审题关 生 6 我们应该先弄清楚问题所涉及的概 念 教师已经初步达到了教学效果 4中学数学 2005 年第12 期 阅读型提问主要通过提问问题中所涉及 的概念 条件 结论等方式 让学生过好审题 关 学生感觉到老师的这种提问比较自然 不 过好这一关 根本无法解题 这样 教师通过 这种方式 既让学生重视对数学基本概念的 学习 也让他们有意识地提高自己阅读数学 问题的语文水平 增加数学问题信息处理的 综合能力 目前 中学生在解题过程中存在概 念不够清晰 阅读过于粗糙 信息综合把握能 力薄弱 不同数学语言转换困难 生活性词语 理解欠缺以及阅读数学问题缺乏耐心 尤其 是应用题 等毛病 教师必须有针对性地设计 若干问题 对学生进行提问 克服他们在数学 审题方面的弱点 1 2 回顾型提问 在学生过好数学问题阅读关后 即学生 弄清楚数学问题中涉及到的基本概念及其基 本关系 问题的条件和结论后 教师应该根据 条件和结论 设计一些提问 让学生回顾解决 问题的常见方法 现在很多中学生往往缺乏 基本方法的总结 他们做一题抛一题 题目做 了一大堆 基本方法却没有把握住 因此 回 顾型提问也是自然和有效的 例 2 2004 年全国高考数学试题 理 科第19题 数列 an 的前n项和记为Sn 已知 a1 1 an 1 n 2 n Sn n 1 2 3 证明 数列 Sn n 是等比数列 Sn 1 4an 前不久 一位高三学生来问笔者上述问 题 我先让他把题目读了一遍 紧接着进行了 下面一段对话 师 目标是证明什么 明确解题目标 学 生觉得比较自然 生 要证明数列 Sn n 是等比数列 师 如何证明一个数列是等比数列 自 然地回顾等比数列的证明方法 生 根据定义证明 师 你能把要证明的结果用符号或式子 表达出来吗 明确提示等比数列证明常采用 符号化 学生也觉得比较自然 生 只要证明S n n q Sn 1 n 1 q 是一个非 零常数 师 你能把它适当变形吗 进行适当的 变形是代数证明的常见手段 学生也不陌生 生 可以变形成 n 1 Sn qnSn 1 1 师 你能利用已知条件吗 结合条件也 是解题中必然实施的手段 学生是必须要知 道的 也很自然 生 应该利用 an 1 n 2 n Sn n 1 2 3 2 师 条件 2 式与要证的 1 式有什么差 别 比较一下条件与结论有什么差别 不断 转化条件和结论并进行差异比较 是解题教 学中常用的策略 生 条件 2 式中有 an 1和Sn 要证的 1 式中只有Sn和Sn 1 只要把an 1用Sn和Sn 1来 表示就可以了 我知道这道题目的解法了 上面的教学过程能够紧扣学生学过的知 识及方法 达到自然 有效地回顾的目的 回 顾型提问是教师针对学生对过去的知识 方 法等的遗忘而采取的一种提问策略 通过数 学问题的解决 设计一些回顾性问题 达到复 习知识 方法等目的 只要我们设计得好 学 生感觉比较自然 教学效果也能够达到我们 预期的目的 目前 学生在学习数学过程中 往往缺乏对知识 方法的系统化工作 因此 他们在解决具体问题中经常思路受阻 教师 同样要根据自己的教学意图 选择适当的数 学问题 督促学生系统回顾相关知识 这在复 习小结阶段 尤其在中 高考复习阶段显得格 外重要 1 3 策略型提问 解题策略是指探求数学问题的答案时所 采取的途径和方法 其方法是有层次性的 解 题策略是解决数学问题的高级层次思维的体 现 中学生对解决问题的策略往往是在教师 的指导下才有所感悟 审题是解决数学问题 策略的第一层次 而对以往知识 方法的检索 和回顾是解决数学问题策略的第二层次 我 们这里着重讨论的是在前两个层次的基础 上 如何引导学生进一步寻找问题解决的方 案的提问 主要从解决策略方面设计提问 众 所皆知 解决数学问题的策略有许多种 教师 的提问设计应该符合学生的认知规律 使学 生感觉到自然 从而达到有效的教学效果 下面仍然以例 2 的解题教学过程为 52005 年第12 期 中学数学 例 对策略型提问做一些探讨 师 目标是证明什么 目标明确是策略 型提问的最基本要求 学生觉得自然 生 证明 Sn 1 4an 师 你能利用已知条件 或者是已经证明 的结论吗 步步为营是解决问题的重要策 略 尤其是解决系列问题的重要策略 学生必 须掌握这些策略也在情理之中 对培养学生 解决数学综合题的能力往往比较有效 生 已知条件是 an 1 n 2 n Sn 已经证 明的结论是数列 Sn n 是等比数列 师 你能把条件 包括已经证明的结论 或要求证明的结论适当转化吗 转化或迂回 是数学解决问题不可缺少的手段 也是重要 策略之一 学生如果学会 将终身受益 这样 的提问往往比较有效 生 可以把 Sn 1 4an变形为 Sn 1 4 Sn Sn 1 3 也可以利用条件 an 1 n 2 n Sn 把 Sn 1 4an变形为 Sn 1 4 n 1 n 1Sn 1 4 可以把已经证明的结论 Sn n 是等比数列 转化为 Sn n 2 Sn 1 n 1 5 师 你觉得要求证明的 3 或 4 式哪一 个与已知的 5 式更接近 哪一个更容易利 用 接近目标及最优化原则是解决数学问题 的非常重要的策略 学生必须感悟或掌握 教 师这样设计是培养学生的优化能力 生 要求证明的 3 式中出现了 Sn 1 Sn Sn 1 比较复杂 与已知条件差距较大 要求证 明的 4 式与已知条件 5 式比较接近 师 如何实现从 5 式到 4 式的转化 目标明确 水到渠成 让学生体验到讲究解 题策略的喜悦 生 Sn n 是以 2 为公比的等比数列 Sn 1 n 1 4 Sn 1 n 1 Sn 1 4 n 1 n 1Sn 1 即 Sn 1 4an 策略型提问属于对解题方法的高层次提 问 要进行这样的提问 本身就有一个策略问 题 教师可以采用适度的方式 让学生从宏观 上把握问题解决的策略 如学生拿到一个问 题后 问学生 你读懂了这个问题的意思吗 你曾经遇到过类似的问题吗 你对这个问题 的解决方案有什么想法 你的第一感觉是什 么 等等 当学生的思路受阻后 可以问学 生 我们是否有别的路可走 能否退一步 能 否采用别的方法来处理 等等 这样的提问 往往让学生感到自然 同时往往能够有效地 启发学生找到问题解决的方法 体验讲究策 略所带来的成功感 1 4 类比型提问 类比型提问是教师采用类比的方式提问 学生 从而有效地启发学生进行思考 类比型 提问如果设置得好 符合学生的认知规律 让 学生感到自然 启发效果往往出乎教师的意 料 如果设置不好 不符合学生的认知规律 让学生感到突兀 往往使学生摸不着头脑 启而不发 类比型提问不仅仅限于数学内部 还可以与其他学科中的知识 方法乃至与生 活常识进行类比 例 3 求证 正四面体的中心将正四面体 的高分成的比为 3 1 师 同学们是否见过类似的问题 试图 唤醒学生的记忆 为类比奠定基础 生 1 好像在哪里见过 摇摇头 尴尬地 坐下 师 我们刚才的问题是空间的 故意拉 长声音 将 空间 二字故意重读 用期待的眼 光望着全班学生 试图让学生 自然地 联想 到平面 并进行有效地类比 生 2 举手 老师 我知道了 如果是在平 面内 应该是 正三角形的中心将正三角形 的高分成二比一 师 生 2 的这个结论在平面内是否成立 回顾型提问 为有效类比奠定基础 生 几乎全班 成立 师 当时我们是怎么证明的 生 3 举手 采用作中位线的办法 师 那我们能否采用类似的方法 试图 让学生自然地想到类比的方法 生 3 中位面 脱口而出 其他学生笑了 有一个学生嘀咕了一下 哪有中位面的名 词 生 3 不好意思地坐下 师 刚才这位同学提出 中位面 这个概 念 我们能否给出它的定义 让学生学会类 6中学数学 2005 年第12 期 比性定义概念的方法 生 4 经过共顶点的三条侧棱中点的平面 称为中位面 生 5 举手 经过两组相对侧棱中点的平 面也可以称为中位面 师 很好 我想问一下 大家认为哪种定 义比较合理 观察学生的类比策略运用得如 何 生 6 好像两种方法都可以 不过从解决 本题的策略上来看 应该是生 4 的办法 因为 我们可以将正四面体的高被 中位面 截成的 两条线段之比转化为三棱锥的体积比 有一 些学生已经在底下情不自禁地 哦 了一声 师 很好 如果采取生5的办法 能够解决 问题吗 大家回去考虑 我期待大家下节课给 我回答 不把路堵死 留有余地让学生自己 去发挥 师 我们还能采用其他办法证明 正三角 形的中心将正三角形的高分成二比一 吗 生 7 面积分割 师 好 那么能否类比到本题解法上来 显然教师想引导学生进行另外的类比 空间与平面 代数与几何是最常见的类 比手段 教师应该适度启发 使学生掌握常见 的类比方法和策略 从而达到顺利解题的目 的 据笔者所知 学生目前这方面还比较薄 弱 教师要让学生感觉到类比型提问比较自 然进而有效 教师还有很多工作要做 2 对自然而有效的提问形式实施的几 点思考 诚然 数学解题教学中的提问方式还有 多种 如归纳型提问 演绎型提问 逆向型提 问等等 如果教师运用得当 也能够做到自 然而有效 关键在于教师要懂得学生的认知 规律和心理特征 将提问设置得恰到好处 从 而有效地培养学生的解题能力 笔者认为 不 管哪种提问 要达到自然而有效 教师应该注 意以下几点 首先是要注意提问的时间把握 同样的一个提问 如果时间火候把握不当 也 达不到自然有效的启发效果 因为学生思考 问题需要时间 对学生思考到什么程度 教师 应该通过察言观色 选择适当的时机及采用 适当的方法进行提问启发 一些学生喜欢自 己独立思考 教师如果没有给他们充裕时间 思考 盲目设问 将使他们产生反感 打击他 们解决问题的积极性 只有在学生经过冥思 苦想后 仍然找不到解决问题的思路 有点想 求助的念头时 教师的设问往往效果比较好 但大班制及同步性教学要求也不允许有那么 多的时间满足每个学生的要求 如何达到最 佳设问时间 其中的技巧全凭教师的感觉和 经验了 其次 要注意提问的对象把握 一般 来说 对于某个问题教师