求《固体物理基础》(第三版)阎守胜中的两个留数问题.pdf

求 固体物理基础 第三版 阎守胜中的两个留数问题求 固体物理基础 第三版 阎守胜中的两个留数问题 P11 等式 1 2 13 00 2 0 1 2 ff IQdQ f Qd d L 1 1 B B k T fk T e 其中 对于金属 2 1 B B k T k T B fe k T e 0 2 0 2 2 0 2 0 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 B B B B B B B B k T k T k T B k T k T B k T k T B k T e IQQ e k T e e Qd k T e e QQd k T e e Q d L 2 0 1 B k T B d k T e L B x k T 0 B k Tx 时 则 令 因为 2 2 22 2 1 1 xx BB xx xeQx e IQQk Tdxk Tdx ee L 22 2222 1 1 0 1 1 1 1 xxxx xx xxxx eeee ee eeee 因为 1 2 0 1 x x xe dx e 2 1 x x e e 所以为偶函数 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 0 2 1 1 2 1 1 x B x x B x B xx Qx e IQk Tdx e x e QQk Tdx e xx QQk Tdx ee L L L 2 2 0000 21 1112 tx xxx 1 t xdxxdxxdxtdt eeee 00 1 121 xx xdxxdx ee 0 1 x xdx e 1 x x f x e 1 z z f z e 2 0 1 2zi kk 处有奇点 设 在复平面内另所以在 f z y R x i 做回路积分 如图对 0 1 z z dz e 0 11111 R zxR iyx iiyz R C zxdxRiy diyxidxiy diyz dzdz eeeeee 1 2 0 1111 R xxR iyiyz R C xdxxidxRiy diyiy diyz dz eeeee 1 2 2 11 xxx 1 xxx eee 因为 2 2 0000 21 1112 tx xxx 1 t xdxxdxxdxtdt eeee 所以 00 1 121 xx xdxxdx ee 0 00 3 1121 R Rxxx R 1 x xdxxidxxdxi dx eee e 0 0 111 R R iyR iyR Riy diyRiyR eee 22 2 0 0 1cossin1 cos1sin cos2cos1 sin cos1sin 2 cos1 sinsin 22 cos1 42 cos1 iy iy diyydy eyiy yyiy dy yyy yyiy dy y ydyyydyyydy ii yy 由小圆弧引理 2 00 2 limlim0 1 zz zz zz ee 因为 00 12 z C z dzi e 顺时针方向旋转所以取负值 C 因为所以 2 00 3s 21142 cos1 xx inxdxi dxyydy i eey 则 上式做比较实部和虚部应各自相等 所以 3 2 0 16 x xdx e 所以 2 2 0 0 2 2 2 1 1 6 B xx B xx IQQk Tdx ee QQk T L L f z y R x i 小圆弧引理小圆弧引理 设沿圆弧 1 i r Czare 2 r 从分小 上连续且 0 lim r za f z 为常数 包括 0 在上一致成立 则 r Cr 21 0 lim f z dzi 特别是若 a 为 f z的一届点 则 1 2 21 0 lim r Cr f z dziresf a 或 r Cr 21 0 limf z dziresa 其中 积分沿逆时针方向进行如左图 zza f z 在 a 的邻域内解析且 0a 34 0 115 x x dx e P131 等式 5 2 26 3 1 x x f x e 3 1 z z f z e 2 0 1 2zi kk 解 设 在复平面内另所以在处有奇 点 f z做回路积分 如图对 3 0 1 z z dz e 4 333333 0 0 11111 R zxR iyx iiyz R C zx dxRiy diyxidxiy diyz dzdz eeeeee 1 33223 0 33222 000 333 0 33 11 3 3 1111 111 RR xx RRRR xxxx R iyiyz C x dxxixxidx ee x dxx dxdxxdx i eeee Riy diyy dyz dz eee 因为 333 2 23 0000 33 3 00 21 1112 12 11 tx xxx xx 3 1 t x dxx dxx dxt dt eeee x dxx dx ee 0R 时 所以当 33222 0000 3422 00 3 3 1111 15 3 8141 xxxx xx x dxx dxdxxdx i eeee x dxxdx i ee 333 0 0 111 R R iyR iyR Riy diyRiyR eee 33 3 22 3 4 333 0 0 1cossin1 cos1sin cos2cos1 sin cos1sin 2 cos1 sinsin 22 cos1 82 cos1 iy y dyy dy eyiy yyiy dy yyy yyiy dy y y dyyydyyydy ii yy 5 同理由小圆弧引理 43 00 4 limlim0 1 zz zz zz ee 因为 3 00 12 z C