湖南省六校联考高考数学模拟试卷 理（含解析）.doc

湖南省六校联考2015届高考数学模拟试卷（理科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值（）a1b1cd2（5分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：加工零件x（个）1020304050加工时间y（分钟）6469758290经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数x与加工时间y这两个变量，下列判断正确的是（）a成正相关，其回归直线经过点（30，75）b成正相关，其回归直线经过点（30，76）c成负相关，其回归直线经过点（30，76）d成负相关，其回归直线经过点（30，75）3（5分）已知命题p：x0，q：xsinx，则p是q的（）a充分必要条件b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件4（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只要将y=sin（2x+）函数的图象（）a向左平移个单位b向右平移个单位c向左平移个单位d向右平移个单位5（5分）已知n=（x2xcosx）dx，则（x+）n的展开式中的常数项为（）a6b15c20d706（5分）函数f（x）=，函数g（x）=f（x）x恰有三个零点，则实数m的取值范围为（）a2，3b1，3c（2，3d（1，3）7（5分）已知x1，y1，log2x+log2y=log2（x+y），log2x+log2y+log2z=log2（x+y+z），则z的范围为（）a1，）b（1，）c（1，d8（5分）如图，半圆o的直径为2，a为直径延长线上一点，oa=2，b为半圆上任一点，以ab为一边作等边三角形abc，则的值为（）a3bc3d9（5分）如图是一个四面体的三视图，则其外接球的体积为（）a8bc4d10（5分）设函数f（x）的定义域为（1，1），若对任意的x1，x2（1，1），均有|f（x1）f（x2）|2|x1x2|，则称函数f（x）具有性质“l”，给出下面三个定义在（1，1）上的函数：f1（x）=；f2（x）=ln（x+1）；f3（x）=，其中具有性质“l”的函数的个数为（）a0b1c2d3二、选做题：（共1小题，每小题5分，满分5分）11（5分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为2cos2=3，设其离心率为e，若直线l经过点（e，e），则常数a=选做题：（共1小题，每小题5分，满分5分）12（5分）已知f（x）=|2x+1|2x1|，若f（x）a恒成立，则实数a的范围为选做题：（共1小题，每小题0分，满分0分）13如图，abc的外接圆的切线ae与bc的延长线相交于点e，bac的平分线与bc相交于点d，若eb=8，ec=2，则ed=三，必做题：（共3小题，每小题5分，满分15分）14（5分）如图所示的流程图，根据最后输出的变量s的值，得s的末位数值是15（5分）已知x，y满足，且x2+y2的最小值为8，则正实数a的取值范围为16（5分）在平面直角坐标系中，定义d（p、q）=|x1x2|+|y1y2|为p（x1，y1），q（x2，y2）两点之间的“折线距离”则直线+=1上的一点q与抛物线x2=8y上的一点p之间的“折线距离”的最小值为四、解答题（共6小题，满分75分）17（12分）袋中有4个红球、4个白球共8个球，这些球除颜色外完全相同（1）从袋中任取一球，记下颜色后放回袋中，如此重复4次，求4次取球中至少有3次取得白球的概率；（2）某商场开展了一次促销活动，每个顾客可以凭购物票据参加一次抽奖游戏，游戏规定，抽奖者须一次性地从袋中任取4球若取出的4球均为红球，则获得价值100元的奖品；若取出的4球中恰有3只红球，则获得价值80元的奖品；若取出的4球中恰有2只红球，则获得价值50元的奖品；否则没有任何奖品求顾客甲获得奖品价值x的分布列与期望18（12分）已知f（x）=2cos（cossin）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在abc中，ab=1，f（c）=+1，sabc=，求sina+sinb19（12分）如图，已知四棱锥pabcd的底面为直角梯形，abdc，dab=90，ad=dc=ab=1，pa平面abcd，异面直线ac与pb所成角的余弦值为，m为pb的中点，g为amc的重心（1）求证：bc平面pac；（2）求dg与平面amc所成角的正弦值20（13分）已知数列an的前n项为sn，a1=1，s10=100，且对任意正整数n，均有sn=（1）求证an是等差数列，并求an；（2）数列bn满足bn=，记bn的前n项和为tn，求证tnln（n+1）21（13分）椭圆c：+=1（ab0）的左、右焦点分别为f1、f2，点p（1，）作圆x2+y2=1的切线，切点分别为a、b，直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点（1）求椭圆c的方程；（2）过点q（5，0）作一直线l交椭圆c于m、n两点，记=，线段mn上的点r满足=，求点r的轨迹方程22（13分）已知函数f（x）=alnx+（x1）2（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1x2，是否存在常数k1，0，使得f（x1）+f（x2）ka2恒成立？请说明理由湖南省六校联考2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值（）a1b1cd考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出解答：解：=为纯虚数，则=0，0，解得a=1，故选：a点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题2（5分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：加工零件x（个）1020304050加工时间y（分钟）6469758290经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数x与加工时间y这两个变量，下列判断正确的是（）a成正相关，其回归直线经过点（30，75）b成正相关，其回归直线经过点（30，76）c成负相关，其回归直线经过点（30，76）d成负相关，其回归直线经过点（30，75）考点：线性回归方程 专题：概率与统计分析：根据表中所给的数据，得到两变量为正相关，求出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，进而得到结论解答：解：由表格数据知，加工时间随加工零件的个数的增加而增加，故两变量为正相关，又由=30，=（64+69+75+82+90）=76，故回归直线过样本中心点（30，76），故选：b点评：本题考查线性相关及回归方程的应用，解题的关键是得到样本中心点，为基础题3（5分）已知命题p：x0，q：xsinx，则p是q的（）a充分必要条件b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：设f（x）=xsinx，则f（x）=1cosx0，则函数f（x）为增函数，则当x0时，f（x）f（0），即xsinx0，则xsinx，反之，也成立，故p是q的充要条件，故选：a点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据导数研究函数的性质是解决本题的关键4（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只要将y=sin（2x+）函数的图象（）a向左平移个单位b向右平移个单位c向左平移个单位d向右平移个单位考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由于y=sin（2x+）=sin2（x+），再根据y=asin（x+）的图象变换规律，可得结论解答：解：由于y=sin（2x+）=sin2（x+），故将y=sin（2x+）函数的图象向右平移个单位，可得函数y=sin2x的图象，故选d点评：本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，属于中档题5（5分）已知n=（x2xcosx）dx，则（x+）n的展开式中的常数项为（）a6b15c20d70考点：二项式定理的应用；定积分 专题：综合题；二项式定理分析：利用定积分求出n，再求出展开式通项，令x的指数为0，即可求出展开式中的常数项解答：解：n=（x2xcosx）dx=（）=6，（x+）6的展开式通项为tr+1=，令62r=0，则r=3，（x+）n的展开式中的常数项为=20，故选：c点评：本题考查展开式中的常数项，考查二项式定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题6（5分）函数f（x）=，函数g（x）=f（x）x恰有三个零点，则实数m的取值范围为（）a2，3b1，3c（2，3d（1，3）考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：化简g（x）=f（x）x=，而方程x+3=0的解为3，方程x2+3x+2=0的解为1，2；故只需，从而可得答案解答：解：f（x）=，g（x）=f（x）x=，而方程x+3=0的解为3，方程x2+3x+2=0的解为1，2；若函数g（x）=f（x）x恰有三个零点，则，解得1m3，即实数m的取值范围是（1，3）故选：d点评：本题考查了分段函数的化简与函数零点的判断，属于基础题7（5分）已知x1，y1，log2x+log2y=log2（x+y），log2x+log2y+log2z=log2（x+y+z），则z的范围为（）a1，）b（1，）c（1，d考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：由题意可得xy=x+y，xyz=x+y+z，进而由基本不等式可得xy4，变形可得z=1+，由不等式的性质可得取值范围解答：解：由题意可得log2xy=log2（x+y），log2xyz=log2（x+y+z），xy=x+y，xyz=x+y+z，由xy=x+y2可解得xy4，当且仅当x=y=2时取等号，xy4，由xyz=x+y+z可得z=1+，xy4，xy13，0，11+，故选：c点评：本题考查基本不等式求最值，涉及对数的运算和不等式的性质，属中档题8（5分）如图，半圆o的直径为2，a为直径延长线上一点，oa=2，b为半圆上任一点，以ab为一边作等边三角形abc，则的值为（）a3bc3d考点：向量在几何中的应用 专题：计算题；平面向量及应用分析：取ab的中点e，则=（），即可得出结论解答：解：取ab的中点e，则=（）=，故选：b点评：本题考查向量在几何中的应用，考查学生的计算能力，比较基础9（5分）如图是一个四面体的三视图，则其外接球的体积为（）a8bc4d考点：球的体积和表面积；简单空间图形的三视图 专题：空间位置关系与距离分析：根据三视图得出一个四面体的三视图，则其外接球，与棱长为的正方体的外接球相同，求解体对角线，即可得出半径，子求解体积问题解答：解：如图一个四面体的三视图，则其外接球，与棱长为的正方体的外接球相同，正方体的体对角线为，外接球的半径为，（）3=，故选：b点评：本题考查了空间几何体的三视图，与几何体的直观图原图的关系，转为正方体求解外接球的问题，难度不大，关键是想到这个问题10（5分）设函数f（x）的定义域为（1，1），若对任意的x1，x2（1，1），均有|f（x1）f（x2）|2|x1x2|，则称函数f（x）具有性质“l”，给出下面三个定义在（1，1）上的函数：f1（x）=；f2（x）=ln（x+1）；f3（x）=，其中具有性质“l”的函数的个数为（）a0b1c2d3考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：直接举例说明不具有性质“l”；对于，把，|f（x1）f（x2）|分子有理化后放缩说明具有性质“l”解答：解：对于：f1（x）=，取，则|f（x1）f（x2）|=|=902|1+|=，则不具有性质“l”；对于：f2（x）=ln（x+1），取，则|f（x1）f（x2）|=|=22|=2|，则不具有性质“l”；对于：f3（x）=，|f（x1）f（x2）|=，故具有性质“l”具有性质“l”的函数的个数为1故选：b点评：本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，训练了放缩法证明函数不等式，是中档题二、选做题：（共1小题，每小题5分，满分5分）11（5分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为2cos2=3，设其离心率为e，若直线l经过点（e，e），则常数a=考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：首先把直线l的参数方程转化成直角坐标方程，进一步把曲线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步求出双曲线的离心率，最后求出结果解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），换化成直角坐标方程为：x+y2a=0曲线c的极坐标方程为2cos2=3，转化为：2（cos）22=3，转化成直角坐标方程为：x2y2=3所以：双曲线的离心率为，直线l经过点（，），代入直线方程解得：a=故答案为：点评：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，等轴双曲线的离心率的应用选做题：（共1小题，每小题5分，满分5分）12（5分）已知f（x）=|2x+1|2x1|，若f（x）a恒成立，则实数a的范围为2，+）考点：绝对值不等式的解法 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：运用绝对值不等式的性质，可得|2x+1|2x1|（2x+1）（2x1）|=2，再由f（x）a恒成立，即有f（x）maxa，即可得到a的范围解答：解：f（x）=|2x+1|2x1|，由|2x+1|2x1|（2x+1）（2x1）|=2，即有f（x）的最大值为2，f（x）a恒成立，即有f（x）maxa，则a2即有a的取值范围是2，+）故答案为：2，+）点评：本题考查绝对值不等式的性质，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于基础题和易错题选做题：（共1小题，每小题0分，满分0分）13如图，abc的外接圆的切线ae与bc的延长线相交于点e，bac的平分线与bc相交于点d，若eb=8，ec=2，则ed=4考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：利用三角形的外角定理、角平分线的性质、切割线定理即可得出解答：解：ade=abd+bad，dae=dac+eac，而abd=eac，bad=dac，ade=daeea=ed，ed2=ea2=eceb=16，ed=4点评：熟练掌握三角形的外角定理、角平分线的性质、切割线定理等是解题的关键三，必做题：（共3小题，每小题5分，满分15分）14（5分）如图所示的流程图，根据最后输出的变量s的值，得s的末位数值是4考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出s值模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果解答：解：模拟执行程序框图，可得s=1，n=2008，i=1不满足条件i2014，s=2008，i=2不满足条件i2014，s=20082，i=3不满足条件i2014，s=20082013，i=2014不满足条件i2014，s=20082014，i=2015满足条件i2014，退出循环，输出s的值为20082014，事实上s具有的数值为20082009，根据题目要求只需考虑8n的尾数变化即可首先来观察8n的末位数字的变化规律n23458n的末位数字42688n的末位数字的变化是以4为周期的规律循环出现2014被4除余数为2，所以20082014的末位数字为4故答案为：4点评：本题考查循环结构的程序框图，解决本题的关键是弄清开始和结束循环的条件15（5分）已知x，y满足，且x2+y2的最小值为8，则正实数a的取值范围为（0，2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，根据x2+y2的最小值为8，确定直线axy2=0满足的条件即可得到结论解答：解：设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，圆心到直线x+y4=0的距离d=，此时d2=（2）2=8，满足x2+y2的最小值为8，即切点f在区域abc内，即f在axy2=0的上方，x+y4=0的斜率为1，ofac，of的斜率k=1，即of的直线方程为y=x，由，解得，即f（2，2），则满足2a220，解得a2，a0，0a2，故答案为：（0，2点评：本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定直线axy2=0满足的条件，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法16（5分）在平面直角坐标系中，定义d（p、q）=|x1x2|+|y1y2|为p（x1，y1），q（x2，y2）两点之间的“折线距离”则直线+=1上的一点q与抛物线x2=8y上的一点p之间的“折线距离”的最小值为考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式 专题：计算题；作图题；方案型；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先固定点p，从而可推出d（p、q）的最小值为|y1y2|，再求点p到直线+=1上的距离的最小值，从而求得解答：解：先固定点p，如图，d（p、q）=pg+gq，d（p、q1）=pg+gq1；而直线方程为+=1，故gqgq1，故d（p、q）的最小值为d（p、q1）=|y1y2|，再使点p在抛物线x2=8y上运动，点p到直线+=1上的距离的最小值为；故=；故答案为：点评：本题考查了学生对新定义的接受能力与应用能力，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题四、解答题（共6小题，满分75分）17（12分）袋中有4个红球、4个白球共8个球，这些球除颜色外完全相同（1）从袋中任取一球，记下颜色后放回袋中，如此重复4次，求4次取球中至少有3次取得白球的概率；（2）某商场开展了一次促销活动，每个顾客可以凭购物票据参加一次抽奖游戏，游戏规定，抽奖者须一次性地从袋中任取4球若取出的4球均为红球，则获得价值100元的奖品；若取出的4球中恰有3只红球，则获得价值80元的奖品；若取出的4球中恰有2只红球，则获得价值50元的奖品；否则没有任何奖品求顾客甲获得奖品价值x的分布列与期望考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：（1）判断“4次取球中有k次取得白球”服从二项分布，每次恰好取得白球的概率为，利用概率公式求解即可（2）确定x的取值为100，80，50，0，根据排列组合公式求解相应的概率即可，列出分布列，求解数学期望解答：解：（1）即事件为a：“4次取球中至少有3次取得白球”，则“4次取球中有k次取得白球”服从二项分布，每次恰好取得白球的概率为，p（a）=c（）4+（）4=，（2）x的取值为100，80，50，0，p（x=100）=，p（x=80）=，p（x=50）=，p（x=0）=，x的分布列为： x 100 80 50 0 pe（x）=100=点评：本题考查了离散型的概率分布列，数学期望的求解，关键是分清随机变量的取值，及相应的概率，计算准确18（12分）已知f（x）=2cos（cossin）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在abc中，ab=1，f（c）=+1，sabc=，求sina+sinb考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得：f（x）=2sin（x）+，由2k+x2k，kz可解得f（x）的单调递增区间（2）由f（c）=，结合c的范围，可求c的大小，由sabc=可求ab，由余弦定理可求a2+b2=7，从而可得a+b=，由正弦定理即可得解解答：解：（1）f（x）=+cosxsinx=2sin（x）+，（3分）由2k+x2k，kz可解得f（x）的单调递增区间为2k+，2k，kz（5分）（2）由f（c）=2sin（c）+=，可得sin（c）=，0c，可得c可解得：c=，由sabc=absinc=有ab=2，由c2=a2+b22abcosc有a2+b2=7，（8分）a+b=，（10分）sina+sinb=1+（12分）点评：本题主要考查了三角函数恒等变换，三角函数的图象与性质，余弦定理，正弦定理以及三角形面积公式的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键，属于基本知识的考查19（12分）如图，已知四棱锥pabcd的底面为直角梯形，abdc，dab=90，ad=dc=ab=1，pa平面abcd，异面直线ac与pb所成角的余弦值为，m为pb的中点，g为amc的重心（1）求证：bc平面pac；（2）求dg与平面amc所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）首先根据已知条件，利用线段的值求出ac2+bc2=ab2，进一步利用线面垂直的性质定理，求出线线垂直，进一步得到线面垂直（2）利用异面直线夹角求出pa=1，进一步建立空间直角坐标系，利用法向量，求出线面的夹角的余弦值解答：证明：（1）已知四棱锥pabcd的底面为直角梯形，abdc，dab=90，ad=dc=ab=1，利用勾股定理解得：bc=ac=，所以：ac2+bc2=ab2所以：acbc，又pa平面abcd，所以：pabc，所以：bc平面pac（2）过点b作beac，交cd的延长线于点e，连接pe，设pa=x，异面直线ac与pb所成角的余弦值为，即：pb与be所成角的余弦值为，所以解得：，ae=，在pbe中，cospbe=，解得：x=1，即：pa=1建立空间直角坐标系：axyz，m为pb的中点，g为amc的重心则：a（0，0，0），p（0，0，1），b（0，2，0），d（1，0，0），c（1，1，0），m（0，1，），g（，），则：，设平面amc的法向量为：，则：，解得：设dg与平面amc所成角为，sin=即：dg与平面amc所成角的正弦值为点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理，异面直线的夹角的应用，空间直角坐标系，法向量，向量的数量积，线面的夹角的应用及相关的运算问题20（13分）已知数列an的前n项为sn，a1=1，s10=100，且对任意正整数n，均有sn=（1）求证an是等差数列，并求an；（2）数列bn满足bn=，记bn的前n项和为tn，求证tnln（n+1）考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由sn=，即2sn=nan+n，当n2时，2sn1=（n1）an1+（n1），可得2an=nan（n1）an1+1，同理可得2an+1=（n+1）an+1nan+1，可得2an=an1+an+1，再利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由（1）可得：sn=n2，可得bn=，因此bn的前n项和为tn=1+首先证明ln（1+x）x，x0，利用导数研究其单调性即可得出再利用数学归纳法证明：tnln（n+1）即可解答：证明：（1）sn=，即2sn=nan+n，当n2时，2sn1=（n1）an1+（n1），2an=nan（n1）an1+1，同理可得2an+1=（n+1）an+1nan+1，2an=an1+an+1，an是等差数列，设公差为d，a1=1，s10=100，=100，解得a10=19，1+9d=19，解得d=2，an=1+2（n1）=2n1（2）由（1）可得：sn=n2，bn=，bn的前n项和为tn=1+，首先证明ln（1+x）x，x0，令f（x）=ln（1+x）x，f（x）=0，函数f（x）在（0，+）上单调递减，f（x）f（0）=0，ln（1+x）x，x0，成立下面利用数学归纳法证明：tnln（n+1）（i）当n=1时，1ln2，成立；（ii）假设当n=k时，tkln（k+1），则当n=k+1时，ln（k+1）+=ln（k+1）ln（k+2）+ln（k+2）=+ln（k+2）ln（k+1+1），因此当n=k+1时，不等式成立综上可得：nn*，tnln（n+1）成立点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式、数学归纳法，考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（13分）椭圆c：+=1（ab0）的左、右焦点分别为f1、f2，点p（1，）作圆x2+y2=1的切线，切点分别为a、b，直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点（1）求椭圆c的方程；（2）过点q（5，0）作一直线l交椭圆c于m、n两点，记=，线段mn上的点r满足=，求点r的轨迹方程考点：轨迹方程；椭圆的标准方程 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用圆的方程相减即可得出两圆相交的交点所在的直线的方程，进而得出椭圆的焦点、顶点，再利用椭圆的性质即可得出方程；（2）由题意知，设方程为x=ty5），m（x1，y1），n（x2，y2），r（x0，y0）把直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，再利用向量=，即可得出坐标之间的关系，=，消去及k即可得出结论解答：解：（1）设点p（1，），o（0，0）则以线段op为直径的圆的方程为：（x）2+（y）2