第七章习题解答.doc

习 题 七1. 判断下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是：(1) 在向量空间V中，s (x)xa，a是V中一固定的向量；(2) 在向量空间R3中，s (x1, x2, x3)；(3) 在向量空间R3中，s (x1, x2, x3)；(4) 把复数域看作复数域上的向量空间，s (x).解 （1）当时，是线性变换； 当时，不是线性变换；（2）不是线性变换；（3）是线性变换；（4）不是线性变换；2. 设V是数域F上一维向量空间. 证明，s是V的一个线性变换的充要条件是：存在F中的一个数a，使得对任意xV，都有s (x)ax .证明：充分性显然.必要性:令是的一个线性变换,设是的一个基.则.那么可由线性表示,不妨设.对任意的,有,则.3. 设s是向量空间V的线性变换，如果s k1x0, 但s kx0，求证x, sx, , s k1x (k0)线性无关.证明: 令 + (1) (1)式两端用作用得:+ 由已知得:= ,所以有 .则(1)式变为: + (2)(2)式两端用 作用得:+同理.重复上述过程有:. 4. 在向量空间Rx中，s (f (x)f (x), t (f (x)xf (x), 证明，st tsi.证明:对任意,有.所以st tsi.5. 在向量空间R3中，线性变换s, t如下：s (x1, x2, x3)(x1, x2, x1x2)t (x1, x2, x3)(x1x2x3, 0, x3x1x2)(1) 求st, ts, s2；(2) 求st, s t, 2s. 解: (1) 0,.,=.(2) =+.=.=.6. 已知向量空间R3的线性变换s为s (x1, x2, x3)(x1x2x3, x2x3,x3)证明，s是可逆变换，并求s1. 证明:, ,.关于的一个基, ,的矩阵为:.显然,可逆,所以是可逆变换,而且所以.7. 设s, t, r都是向量空间V的线性变换，试证, （1）如果s, t都与r可交换，则st, s2也都与r可交换（若对任意aV，都有st (a)ts (a)，就说s与t可交换）；（2）如果st, st都与r可交换，则s, t也都与r可交换. 证:(1)由已知.那么=.(2)同理可证.8. 证明，数域F上的有限维向量空间V的线性变换s是可逆变换的充分必要条件是s把非零向量变为非零向量. 证明:不妨设是n维的.,是它的一个基.关于这个基的矩阵为.显然,可逆当且仅当可逆. 把非零向量变为非零向量当且仅当,而秩=秩,的零度=.且秩+的零度=n.所以秩=n当且仅当的零度是0,即可逆当且仅当.故可逆当且仅当把非零向量变为非零向量.9. 证明，可逆线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的向量组. 证明:令是向量空间的可逆线性变换,是的一组线性无关的向量,令+.两端用 作用得: +.由已知, 线性无关,所以:=.故, 线性无关.10. 设e1, e2, e3是F上向量空间V的一个基. 已知V的线性变换s在e1, e2, e3下的矩阵为A(1) 求s在e1, e3, e2下的矩阵；(2) 求s在e1, ke2, e3下的矩阵(k0，kF)；(3) 求s在e1, e1e2, e3下的矩阵. 解:(1).(2).(3) 11. 在R3中定义线性变换s如下s (x1, x2, x3)(2x2x3, x14x2, 3x1)，(x1, x2, x3)R3. (1) 求s在基e1(1, 0, 0), e2(0, 1, 0), e3(0, 0, 1)下的矩阵；(2) 利用(1)中结论，求s在基a1(1, 1, 1)，a2(1, 1, 0)，a3(1, 0, 0)下的矩阵. 解:(1) (2)从基到基的过渡矩阵为.在下的矩阵为:=.12. 已知M2(F)的两个线性变换s，t如下s (X)X, t (X)X, XM2(F).试求st, st在基E11, E12, E21, E22下的矩阵. 又问s和t是否可逆？若可逆，求其逆变换在同一基下的矩阵. 证明:=.=.=.=.所以在基下的矩阵为.同理可证在基下的矩阵. ,.所以在此基下的矩阵为：.显然,可逆.所以可逆. 在同一基下的矩阵为: .同理可讨论的可逆性及求的矩阵.13. 设s是数域F上n维向量空间V的一个线性变换. W1, W2是V的子空间，并且VW1W2 证明，s是可逆变换的充要条件是Vs ( W1)s ( W2)证明:令,是的一个基. 令,是的一个基.由已知得: , 是的一个基.必要性:设s可逆,则, 也是的一个基.但(,).(,)所以,故Vs ( W1) s ( W2).充分性:将必要性的过程倒过去即可.14. 设R3的线性变换s定义如下：s (x1, x2, x3)(2x1x2, x2x3, x2x3)求s在基e1(1, 0, 0), e2(0, 1, 0), e3(0, 0, 1)及基h1(1, 1, 0), h2(0, 1, 1),h3(0, 0, 1)下的矩阵. 解: s在基e1, e3, e2下的矩阵为:. s在基下的矩阵为:=.15. 在M2(F)中定义线性变换s为s (X)X， XM2(F). 求s在基 E11, E12, E21, E22下的矩阵，其中E11, E12, E21, E22. 解: 在基下的矩阵为.16. 证明，与n维向量空间V的全体线性变换可交换的线性变换是数量变换. 证明:由习题二及第10题的结论易得.17. 给定R3的两个基a1(1, 0, 1), a2(2, 1, 0), a3(1, 1, 1)；和 b1(1, 2,1), b2(2, 2, 1), b3(2, 1, 1). s是R3的线性变换，且s(ai)bi，i1, 2,3. 求(1) 由基a1, a2 , a3到基b1, b2 , b3的过渡矩阵；(2) s关于基a1, a2 , a3的矩阵；(3) s关于基b1, b2 , b3的矩阵. 解: (1)令,.则由a1, a2 , a3到e1, e3, e2的过渡矩阵为:. 由基e1, e3, e2到基b1, b2 , b3的过渡矩阵为:.所以由基a1, a2 , a3到基b1, b2 , b3的过渡矩阵为:=(2) s .所以s在下的矩阵为:. s关于基b1, b2 , b3的矩阵为: 18. 设a1(1, 0, 2), a2(0, 1, 2), a3(1, 2, 5)，b1(1, 1, 0), b2(1, 0, 1), b3(0, 1, 2)，x(0, 3, 5)是R3中的向量，s是R3的线性变换，并且s(a1)(2, 0, 1), s(a2)(0, 0, 1),s(a3)(0, 1, 2). (1) 求s关于基b1, b2 , b3的矩阵；(2) 求s(x)关于基a1, a2 , a3的坐标；(3) 求s(x)关于基b1, b2 , b3的坐标. 解:令,.则从基a1, a2 , a3到基b1, b2 , b3的过渡矩阵为:.又 所以s关于的矩阵为:.从而s关于基b1, b2 , b3的矩阵为:=.(2).所以的坐标为:由(2)可知=(b1, b2 , b3) 所以b1, b2 , b3的坐标为:=.19. 设R3有一个线性变换s定义如下：s (x1, x2, x3)(x1x2，x2x3，x3)，(x1, x2, x3)R3.下列R3的子空间哪些在s之下不变？(1) (0, 0, c)| cR; (2) (0, b, c)| b, cR;(3) (a, 0, 0)| a R; (4) (a, b, 0)| a, b R;(5) (a, 0, c)| a, c R; (6) (a, a, 0)| a R. 解:(3)与(4)在s之下不变.20. 设s是n维向量空间V的一个线性变换，证明下列条件等价:(1) s (V)V； (2) kers0. 证明:因为秩+的零度=n. 所以秩=n当且仅当的零度是0,即当且仅当,因此当且仅当.21. 已知R3的线性变换s定义如下：s (x1, x2, x3)(x12x2x3, x2x3, x1x22x3)，(x1, x2, x3)R3.求s的值域s (V)与核Kers的维数和基. 解: 关于基,的矩阵为:.,.其中,.22. 设s是向量空间V的一个线性变换，W是s的一个不变子空间，证明，W是s 2的不变子空间.证明:由不变子空间的定义易证.23. 设s是数域F上n(0)维向量空间V的一个线性变换，a1, a2 , ar, ar1, an是V的基. 证明，如果a1, a2 , ar 是Kers的基，那么s (ar1), s (an)是Ims的基.证明:已知a1, a2 , ar是Kers的基, 则s (ai)=0, i=1,2, , r .令 lr+1s (ar1)+ lr+2s (ar2)+ + lns (an)=0, 则 s ( lr+1ar1+ lnan)=0, lr+1ar1+ lnan Kers .所以 lr+1ar1+ lnan=l1a 1+ lrar但 a1, a2 , ar, ar1, an是V的一个基, 故 lr+1= ln=0. 所以 s (ar1), s (an) 线性无关.又 Ims = (s (a1), s (a2), s (an) = (s (ar1), s (an).从而结论成立.24. 对任意aR4，令s (a)Aa，其中A求线性变换s的核与象. 解: a1 = , a2 = , Kers =(a1,a2). s (1) = , s (2) = .Ims =(s (1), s (2).25. 设 s，t 是向量空间V的线性变换，且sti，sttsq. 这里i是V的恒等变换，q 是V的零变换. 证明:(1) Vs(V)t (V)；(2) s(V)Kert. 证明: (1) V, =i ()=(st)()=s ()+t ().所以Vs (V)+t (V).对任意s (V)t (V). 则=s (1)+ t (2).由已知条件可得= i (s (1) = (st)(s (1) = s(s (1) = s(t (2)= st (2) = 0 .故结论成立. (2 ) 对任意s ()s (V), 则 t(s ()= 0, 所以 s ()Kert .反之, 对任意Kert , 则t()= 0.由已知条件可得,= (st)()=s ()+t ()=s (),所以s (V).26. 在向量空间Fnx中，定义线性变换t为：对任意f(x)Fnx，t(f(x) x f (x)f(x). 这里f (x)表示f(x)的导数. (1)求Kert及Imt；(2)证明,VKertImt. 解: (1) 令 t ( f(x) = x f (x)f(x) = 0其中 f(x) = a 0 + a1x + + anxn . 则(a1x +2a2x2+ +n anx n)- f(x) = 0(0- a 0) + ( a1- a1)x + (2a2- a2) x2 + + (n an-an)x n = 0有 , 所以 f(x) = a1x , Kert =(x), Imt=(1,x2, ,x n).(2) 显然 .27. 已知向量空间V的线性变换s在基e1, e2, e3下的矩阵为A求s的本征值及相应的本征向量. 问是否存在V的一个基使得s 关于这个基的矩阵是对角阵? 解: 本征值=2 (三重), 属于=2的线性无关的本征向量为:1= , 2=,故s 不能对角化.28. 设s是向量空间V的可逆线性变换，证明(1) s的本征值一定不为0；(2) 如果l是s 的本征值，那么是s1的本征值.证明: (1) 反设s 有一本征值为0,则存在0, V, 使得s ()=0= 0 . 因为s 可逆, 所以 s -1(s ()=0, 即= 0.矛盾. (2) 设l是s 的本征值,由(1)得l0,且有s ()=l,0.s -1(s ()=ls -1 (). 即 s -1 ()=, 所以结论成立.补 充 题1. 设s是数域F上n维向量空间V的一个线性变换. 证明(1) Kers Kers2 Kers3 (2) Ims Ims2 Ims3 证明: (1)对任意正整数n,下证Kers n Kers n+1对任意 Kers n., s n()=0, s (s n()=0即s n+1()=0, 所以 Kers n+1. (2) 对任意正整数n,下证Ims n Ims n+1.对任意Ims n+1, 则存在 V, 使得=s n+1()=s n(s ()Ims n.2. 设A是数域F上的n阶矩阵. 证明，存在F上的一个非零多项式f(x), 使得f(A)0.不用Cayley-Hamilton定理证. 证明: 由于dimMn(F) = n2, 所以I, A, A2, , A线性相关,故存在F上的不全为零的一组数k0, k1, ,k,使得+ .取+ ,结论得证.3. 设V是n维向量空间, s是V的一个可逆线性变换, W是s的一个不变子空间. 证明, W也是s1的不变子空间.证明:令a1, a2 , ar是W的一个基,因为W是s的不变子空间,所以,.又s是可逆的,所以,线性无关,故,也是W的一个基.因为.所以W关于不变.4. 设s是数域F上向量空间V的一个线性变换, s2s. 证明:(1) Kers xs (x)|xV;(2) VKers Ims ;(3) 若t是V的一个线性变换, 那么Kers 和Ims 都在t之下不变的充要条件是stts.提示：证(3)的必要性，利用(2). 证明:(1)对于任意的则那么.反之,任意的,有,故. (2)由(1)的解果可知:,对任意的,则有:,因此.同时还有:所以,结论成立.(3)充分性易证.必要性:设Kers 和Ims 都在t之下不变,由(2)的结论得:其中.又因为 .由已知,不妨设,所以 .5. 设s是数域F上n维向量空间V的一个线性变换, s2. 证明, VW1