湖南省五市十校联考高考数学一模试卷 文（含解析）.doc

湖南省五市十校联考2015届高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（本大题共有10个小题，每小题5分，共50分）1（5分）复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）a1b1c2d22（5分）已知a=x|1x1，b=x|x1或x0，则ab=（）ax|1x1bx|0x1cx|x0dx|0x13（5分）等差数列an中，a6=16，s9=117，则a10的值为（）a26b27c28d294（5分）命题p：（+）（）=0，q：=，则p是q的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件5（5分）一学生在河岸紧靠河边笔直行走，经观察，在和河对岸靠近河边有一参照物与学生前进方向成30度角，学生前进200米后，测得该参照物与前进方向成75度角，则河的宽度为（）a50（+1）米b100（+1）米c50米d100米6（5分）若一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）a5b6c7d87（5分）阅读如图所示的程序框图，运算相应程序，若输入的m=1，则输出m应为（）a1b2c3d48（5分）已知函数f（x）=x25xlog2x+7，其零点的个数为（）a0b1c2d39（5分）若一个三角形某边长为4，周长为10，则此三角形面积的最大值为（）a2b4cd310（5分）定义域为（，1）（1，+）的函数y=f（x）满足f（x）=f（2x），（x1）f（x）0若x1+x22且x1x2，则（）af（x1）f（x2）bf（x1）f（x2）cf（x1）=f（x2）df（x1），f（x2）大小不确定二、填空题（本大题共有5个小题，每小题5分，共25分）11（5分）函数y=的定义域为 12（5分）一双曲线中心在原点，左焦点与抛物线y2=16x焦点重合，渐近线方程式为y=x，则双曲线方程为13（5分）有一个边长为2的正六边形墙洞，一蜘蛛编制了一个近似为内切圆的蛛网，蚊子只有蛛网边缘与洞壁间的间隙处才能飞过，则飞过此洞的蚊子被捕食的概率为14（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为15（5分）如果函数y=|x1|的图象与曲线c：（x1）2+（y2）2=恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围为三、解答题（本大题共有6个小题，共75分）16（12分）在abc中，a、b、c为三个内角，f（b）=4cos bsin2（+）+cos 2b2cos b（）若f（b）=2，求角b； （）若f（b）m2恒成立，求实数m的取值范围17（12分）某单位n名员工参加“社区低碳你我他”活动他们的年龄在25岁至50岁之间按年龄分组：第1组25，30），第2组30，35），第3组35，40），第4组40，45），第5组45，50，得到的频率分布直方图如图所示下表是年龄的频率分布表区间25，30）30，35）35，40）40，45）45，50人数25ab（1）求正整数a，b，n的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率18（12分）已知四棱锥pabcd，底面abcd是a=60，边长为a的菱形，又pd底abcd，且pd=cd，点m、n分别是棱ad、pc的中点（1）证明：dn平面pmb；（2）证明：平面pmb平面pad；（3）求直线pb与平面abcd所成的角19（13分）数列an的前n项和为sn，且sn=（anl），数列bn满足bn=（n2），b1=3（1）求数列an与bn的通项公式（2）设数列cn 满足cn=anlog2（bn+1），其前n项和为tn，求tn20（13分）已知椭圆c1，抛物线c2的焦点均在x轴上，c1的中心和c2的顶点均为原点o，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于表中：x324y204（1）求c1、c2的标准方程；（2）请问是否存在直线l满足条件：过c2的焦点f；与c1交不同两点m、n，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由21（13分）已知函数，（其中常数m0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m3，+）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点p（x1，f（x1）、q（x2，f（x2），使得曲线y=f（x）在点p、q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围湖南省五市十校联考2015届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10个小题，每小题5分，共50分）1（5分）复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）a1b1c2d2考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：通过复数的分母实数化，利用复数的概念得到结果即可解答：解：复数z=1+i复数的虚部为1故选：a点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力2（5分）已知a=x|1x1，b=x|x1或x0，则ab=（）ax|1x1bx|0x1cx|x0dx|0x1考点：交集及其运算 专题：集合分析：由a与b，求出两集合的交集即可解答：解：a=x|1x1，b=x|x1或x0，ab=x|0x1，故选：d点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3（5分）等差数列an中，a6=16，s9=117，则a10的值为（）a26b27c28d29考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：根据等差数列的性质，列出方程组，求出首项与公差即可解答：解：等差数列an中，a6=16，s9=117，解得d=3，a1=1；a10=a1+9d=1+93=28故选：c点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和的应用问题，是基础题目4（5分）命题p：（+）（）=0，q：=，则p是q的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：由命题p得到|=|，从而得到p和q的关系，进而求出答案解答：解：由命题p：（+）（）=0，得：|=|，推不出=，由=，能推出|=|，故p是q的必要不充分条件，故选：b点评：本题考查了充分必要条件，考查了向量问题，是一道基础题5（5分）一学生在河岸紧靠河边笔直行走，经观察，在和河对岸靠近河边有一参照物与学生前进方向成30度角，学生前进200米后，测得该参照物与前进方向成75度角，则河的宽度为（）a50（+1）米b100（+1）米c50米d100米考点：解三角形的实际应用 专题：应用题；解三角形分析：通过已知条件求出acb，利用正弦定理求出bc，然后求解河的宽度解答：解：如图所示，在abc中bac=30，acb=7530=45，ab=200由正弦定理，得bc=100所以，河的宽度为bcsin75=100=50（+1）米，故选：a点评：本题考查正弦定理的应用，直角三角形的求法，考查计算能力6（5分）若一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）a5b6c7d8考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，分别求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，其底面面积s=（2212）=3，高h=2，故体积v=sh=32=6，故选：b点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状7（5分）阅读如图所示的程序框图，运算相应程序，若输入的m=1，则输出m应为（）a1b2c3d4考点：循环结构 专题：计算题；图表型分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，不满足条件执行语句m=m+1，满足条件结束循环，从而到结论解答：解：因输入的m值为1，1lg1=01，执行m=1+1=2，2lg2=lg41，执行m=2+1=3，3lg3=lg271，满足条件，输出的m值为3，结束循环故选c点评：本题主要考查循环结构，虽然是先判断后执行，但根本是满足条件时结束循环，应为直到型循环8（5分）已知函数f（x）=x25xlog2x+7，其零点的个数为（）a0b1c2d3考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：将问题转化为函数y=x25x+7和y=的交点个数问题，画出函数的图象，从而得到答案解答：解：令f（x）=0，得到x25x+7=，画出函数y=x25x+7和y=的图象，如图示：，由图象得函数f（x）有2个零点，故选：c点评：本题考查了函数的零点问题，考查了数形结合思想，是一道基础题9（5分）若一个三角形某边长为4，周长为10，则此三角形面积的最大值为（）a2b4cd3考点：基本不等式 专题：解三角形分析：设三角形另外两边分别为a，b可得a+b=6由余弦定理可得：42=a2+b22abcosc，化为，利用=5ab25，再利用基本不等式的性质即可得出解答：解：设三角形另外两边分别为a，b则4+a+b=10，a+b=6由余弦定理可得：42=a2+b22abcosc，16=（a+b）22ab2abcosc，化为，=5ab25=20，当且仅当a=b=3时取等号故选：a点评：本题考查了三角形的周长及其面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题10（5分）定义域为（，1）（1，+）的函数y=f（x）满足f（x）=f（2x），（x1）f（x）0若x1+x22且x1x2，则（）af（x1）f（x2）bf（x1）f（x2）cf（x1）=f（x2）df（x1），f（x2）大小不确定考点：抽象函数及其应用 专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用分析：由（x1）f（x）0可判断函数y=f（x）在（1，+）上是增函数，在（，1）上是减函数；再由函数的性质比较大小即可解答：解：（x1）f（x）0，当x1时，f（x）0，当x1时，f（x）0；函数y=f（x）在（1，+）上是增函数，在（，1）上是减函数，若1x1x2，则f（x1）f（x2）；若x11x2，则x22x1，又x11，2x11；故f（2x1）f（x2）；又f（2x1）=f（x1），f（x1）f（x2）；综上所述，f（x1）f（x2）；故选a点评：本题考查了导数的综合应用及函数的性质综合应用，属于中档题二、填空题（本大题共有5个小题，每小题5分，共25分）11（5分）函数y=的定义域为 0，+）考点：函数的定义域及其求法 专题：计算题分析：根据负数不能开偶次方根，可得ex10求解即可解答：解：根据题意：ex10x0故函数的定义域为：0，+）故答案为：0，+）点评：本题主要考查函数定义域的求法，一般来讲给出解析式的类型，主要考查分式函数，根式函数等，抽象函数类型，则考查定义域的定义12（5分）一双曲线中心在原点，左焦点与抛物线y2=16x焦点重合，渐近线方程式为y=x，则双曲线方程为考点：双曲线的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意设出双曲线的标准方程，求出抛物线的焦点坐标后得到双曲线的半焦距，结合渐近线方程及隐含条件求得双曲线的标准方程解答：解：由题意设双曲线方程为，由抛物线y2=16x得其焦点f（4，0），c=4又双曲线渐近线方程式为y=x，即联立，解得a2=9， b2=7双曲线方程：故答案为：点评：本题考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的简单几何性质，是基础题13（5分）有一个边长为2的正六边形墙洞，一蜘蛛编制了一个近似为内切圆的蛛网，蚊子只有蛛网边缘与洞壁间的间隙处才能飞过，则飞过此洞的蚊子被捕食的概率为考点：几何概型 专题：概率与统计分析：根据几何概型概率求法，飞过此洞的蚊子被捕食的概率为内切圆的面积与正六边形的面积比解答：解：正六边形的边长为2，所以面积为，其内切圆的半径为2，面积为，所以飞过此洞的蚊子被捕食的概率；故答案为：点评：本题主要考查了几何概型，以及正六边形与其内切圆的面积的计算，解题的关键是弄清几何测度，属于基础题14（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为10考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点c时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即c（2，1），代入目标函数z=2x+y得z=22+1=4+1=5即目标函数z=2x+y的最大值为5故答案为：5点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法15（5分）如果函数y=|x1|的图象与曲线c：（x1）2+（y2）2=恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围为2（4，+）考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：根据题意画出函数y=|x1|与曲线c：x2+y2=的图象，抓利用数形结合，即可确定出所有满足题意的范围解答：解：画出函数y=|x1|与曲线c：x2+y2=的图象，如图所示，则函数y=|x1|关于x=1对称，圆心c（1，2），半径r=，0，当射线与圆o相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，此时圆心到直线y=x1，即xy1=0的距离d=，解得=2，当圆o半径大于2，即4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数的取值范围是2（4，+）故答案为：2（4，+）点评：此题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键三、解答题（本大题共有6个小题，共75分）16（12分）在abc中，a、b、c为三个内角，f（b）=4cos bsin2（+）+cos 2b2cos b（）若f（b）=2，求角b； （）若f（b）m2恒成立，求实数m的取值范围考点：三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用 专题：计算题；三角函数的求值分析：（）利用二倍角公式化简函数，利用f（b）=2，即可求角b； （）f（b）m2恒成立，2sin（2b+）2+m恒成立，求出函数的最值，即可求实数m的取值范围解答：解：（）f（b）=4cos bsin2（+）+cos 2b2cos b=2cosbsinb+cos 2b=2sin（2b+）f（b）=2，2sin（2b+）=20b2b+，2b+=，b=；（）f（b）m2恒成立，等价于2sin（2b+）2+m恒成立0b，22sin（2b+）22+m2m4点评：本题考查三角函数的化简，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题17（12分）某单位n名员工参加“社区低碳你我他”活动他们的年龄在25岁至50岁之间按年龄分组：第1组25，30），第2组30，35），第3组35，40），第4组40，45），第5组45，50，得到的频率分布直方图如图所示下表是年龄的频率分布表区间25，30）30，35）35，40）40，45）45，50人数25ab（1）求正整数a，b，n的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图 专题：图表型；概率与统计分析：（1）根据小矩形的高=，故频数比等于高之比，由此可得a、b的值；（2）计算分层抽样的抽取比例为=，用抽取比例乘以每组的频数，可得每组抽取人数；（3）利用列举法写出从6人中随机抽取2人的所有基本事件，分别计算总个数与恰有1人在第3组的个数，根据古典概型概率公式计算解答：解：（1）由频率分布直方图可知，25，30）与30，35）两组的人数相同，a=25人且人总人数人（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人（3）由（2）可设第1组的1人为a，第2组的1人为b，第3组的4人分别为c1，c2，c3，c4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：（a，b），（a，c1），（a，c2），（a，c3），（a，c4），（b，c1），（b，c2），（b，c3），（b，c4），（c1，c2），（c1，c3），（c1，c4），（c2，c3），（c2，c4），（c3，c4），共有15种其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：（a，c1），（a，c2），（a，c3），（a，c4），（b，c1），（b，c2），（b，c3），（b，c4），共有8种所以恰有1人年龄在第3组的概率为点评：本题考查了频率分布直方图及古典概型的概率计算，解答此类题的关键是读懂频率分布直方图的数据含义，小矩形的高=18（12分）已知四棱锥pabcd，底面abcd是a=60，边长为a的菱形，又pd底abcd，且pd=cd，点m、n分别是棱ad、pc的中点（1）证明：dn平面pmb；（2）证明：平面pmb平面pad；（3）求直线pb与平面abcd所成的角考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）取pb中点q，连接mq、nq，再加上qnbcmd，且qn=md，于是dnmq，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；（2）易证pdmb，又因为底面abcd是a=60、边长为a的菱形，且m为ad中点，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；（3）连结bd，由pd底abcd，且pd=cd，得pbd是直线pb与平面abcd所成的角，由此能求出直线pb与平面abcd所成的角解答：（1）证明：取pb中点q，连结mq、nq，点m、n分别是棱ad、pc的中点，qnbcmd，且qn=md，四边形mqnd是平行四边形，dnmq，mq平面pmb，dn平面pmb，dn平面pmb（2）证明：pd底abcd，mb平面abcd，pdmb，又底面abcd是a=60、边长为a的菱形，且m为ad中点，mbad又adpd=d，mb平面padmb平面pad，mb平面pmb，平面pmb平面pad（3）解：连结bd，底面abcd是a=60、边长为a的菱形，abd是边长为a的等边三角形，pd底abcd，且pd=cd，pbd是直线pb与平面abcd所成的角，又rtpbd中，pd=bd=a，pbd=45，直线pb与平面abcd所成的角为45点评：本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想19（13分）数列an的前n项和为sn，且sn=（anl），数列bn满足bn=（n2），b1=3（1）求数列an与bn的通项公式（2）设数列cn 满足cn=anlog2（bn+1），其前n项和为tn，求tn考点：数列递推式；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用即可得出an；对于数列bn满足bn=（n2），变形可得利用等比数列的通项公式即可得出（2）利用“错位相减法”即可得出解答：解：（1）对于数列an，当n=1时，解得a1=3当n2时，an=snsn1=，化为an=3an1数列an是首项为3，公比为3的等比数列，对于数列bn满足bn=（n2），b1=3可得数列bn+1是以b1+1=4为首项，为公比的等比数列，化为（2）=3n（42n）+（42n）3n+（62n）3n+（42n）3n+1+（2）3n（42n）3n+1=62（42n）3n+1点评：熟练掌握利用即可得出an；变形利用等比数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式等是解题的关键20（13分）已知椭圆c1，抛物线c2的焦点均在x轴上，c1的中心和c2的顶点均为原点o，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于表中：x324y204（1）求c1、c2的标准方程；（2）请问是否存在直线l满足条件：过c2的焦点f；与c1交不同两点m、n，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由考点：圆锥曲线的共同特征 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设抛物线c2：y2=2px（p0），则有=2p（x0），据此验证4个点知（3，2）、（4，4）在抛物线上，易求c2：y2=4x，设c1：，把点（2，0）（，）代入得：，由此能够求出c1方程（2）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点f（1，0），设其方程为y=k（x1），与c1的交点坐标为m（x1，y1），n（x2，y2），由y=k（x1）代入椭圆方程消掉y，得（1+4k2）x28k2x+4（k21）=0，再由韦达定理能够导出存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x2或y=2x+2解答：解：（1）设抛物线c2：y2=2px（p0），则有=2p（x0），据此验证4个点知（3，2）、（4，4）在抛物线上，易求c2：y2=4x（2分）设c1：，把点（2，0）（，）代入得：解得a=2，b=1c1方程为；（2）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；（6分）当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点f（1，0），设其方程为y=k（x1），与c1的交点坐标为m（x1，y1）