线性代数必须熟练掌握的方法1213.doc

线性代数课程必须熟练掌握的方法周海港整理2007年12月13日 1 行列式的计算方法： (1) 运用性质化为上（下）三角形行列式；(2) 运用按行（列）展开，化为低一阶的行列式；(3) 运用分块行列式的性质；(4) 运用递推公式；(5) 运用特殊形式的行列式，如范德蒙行列式的公式; (6) ；(7) ；(8) ,是A的特征值；【典型题目】：(p12-21)例7，例8，例9，例10，例11，例12，例13； （p26-28）6. 8.(2)(3)(4)(6),9； (p55-56)14,24, (p135)12,132 可逆矩阵的判定方法及求逆阵方法： (1) ; (2) ; (3) ; (4) .【典型题目】：（p43）逆矩阵唯一性、定理1、定理2、推论的证明； (p44) 性质的证明；(p56)习题21，22，23；(p64)例2，例3 (p78)4,5,63 矩阵方程的求解方法：(1) (2) 【典型题目】： (p78)4,5,64 分块矩阵的应用:(1)分块矩阵的乘法的前提条件(i)左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数； (ii)左边矩阵的列的分块方法与右边矩阵行的分法一致(2)矩阵按行（列）分块.(3) .【典型题目】：(p51)例17，(p56)27,28,(p64)例1，例2，例3(p70)例95 初等变换、初等矩阵的应用：(1) 求矩阵的秩；(2) 求可逆矩阵；(3) 解线性方程组；(4) 解矩阵方程；(5) 求向量组的线性组合；(6) 向量组线性相关性的判断；(7) 求向量组的秩及最大无关组；【典型题目】：(p78)2,3.6 求矩阵秩的方法：(1) 应用初等变换化为阶梯形矩阵；(2) 应用秩的性质；(3) 应用方程组的解的判定定理；(4) 应用向量组的线性相关性；(5) 应用方程组的解的结构定理.【典型题目】：(p69)例7，例8，例9；(p77-78)定理7(p79)9,11,127 线性方程组解的判定及求解方法：(1)n元齐次线性方程组Ax=0有非零解 r n ,(2) n元非齐次线性方程组Ax=b (i) 无解 R(A)R(A, b); (ii) 有唯一解 R(A)=R(A, b)=n; (iii) 有无限多解R(A)=R(A, b)n.(3) 矩阵方程AX=B有解 R(A)=R(A, B).【典型题目】：(p74-76)例11，例12，例13；(p79-80)14,15,16,17,188 线性表示的方法：(1)判断一个向量能否由一个向量组线性表示，求线性表示的系数：(i)找到x1, x2, , xm, 使x1a1+. +xmam=b(ii) R(A)=R(A,b)； (iii) 解线性方程组Ax= b.(2)向量组线性表示(i)矩阵方程AX=B可解;(ii) R(A )= R(A, B).(3)向量组的等价(i) 矩阵方程AX=B, BY=A可解;(ii) R(A )= R(B )= R(A, B).【典型题目】：9 向量组的线性相关性：(1) 向量组A: a1, a2, , am 线性相关： (i) )(定义)存在不全为零的必有k1,k2,=,km使得 k1a1+k2a2+ +kmam=0； (ii)(方程组)Ax=0有非零解； (iii)(矩阵)R(A)m(2) 向量组A: a1, a2, , am 线性无关的充要条件： (i) (定义)若 k1a1+k2a2+ +kmam=0, 必有k1=k2= km=0； (ii) (方程组) Ax=0只有零解； (iii) (矩阵)R(A)=m(3) 若向量组A: a1, a2, , am线性相关, 则向量组B: a1, a2, , am, am+1也线性相关. 反之, 若向量组B线性无关, 则向量组A也线性无关. (4) m个n维向量组成的向量组, 当维数n小于向量个数m时一定线性相关. 特别地, n+1 个n维向量一定线性相关. (5) 设向量组A: a1, a2, , am线性无关, 而向量组B: a1, a2, , am, b线性相关, 则向量 b必能由向量组A线性表示, 且表示式是唯一的. 【典型题目】：10 求正交规范基(正交矩阵)的方法: 单位化:【典型题目】：11 将二次型化为标准形步骤：(i)写出二次型对应的对称矩阵A;(ii)求出A的特征值；(iii)求出特征向量,正交化,单位化;(iv)写出正交矩阵及标准形.【典型题目】：12 判断正定矩阵(二次型)的方法(i)定义;(ii)特征值全为正；(iii)(霍尔维茨定理)顺序主子式全为正.【典型题目】：13 判断线性空间的方法(1)集合V上定义加法和数乘运算满足下面8条运算规律: (i)a+b=b+a; (ii)(a+b)+g=a+(b+g); (iii)在V中存在零元素0,即, 对任何aV, 都有a+0=a ; (iv)对任何aV, 都有a的负元素bV, 也即a+b=0; (v)1a=a; (vi)l(ma)=(lm)a; (vii)(l+m)a=la+ma; (viii)l(a+b)=la+lb.(2) 线性子空间的判断只需验证对加法和数乘运算封闭.【典型题目】：14 求线性空间基变换公式，坐标变换公式的方法(1)基坐标变换公式: (i)(定义) b1=a11a1+a21a2+ +an1an, . bi=a1ia1+a2ia2+ +anian; . bn=a1na1+a2na2+ +annan 则 (b1, b2, , bn)= (a1, a2, , an)A. (ii)(定理) 已知(a1, a2, , an)= (e1, e2, , en)A, (b1, b2, , bn)= (e1, e2, , en)B,则 (b1, b2, , bn)=(a1, a2, , an)A-1B (2)基坐标变换公式:若(b1, b2, , bn)= (a1, a2, , an)A, g=(a1, a2, , an)X=(b1, b2, , bn)Y,则X=AY,或Y=A-1X.【典型题目】：15 求线性变换的矩阵的方法(i)(定义) T(a1)=a11a1+a21a2+ +an1an, . T(ai)=a1ia1+a2ia2+ +anian; . T(an)=a1na1+a2na2+ +annan 则T(a1, a2, , an)= (a1, a2, , an)A，(i