贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 19第十九讲 转化灵活的圆中角 人教新课标版.doc

贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 19第十九讲 转化灵活的圆中角 人教新课标版【例题求解】【例1】 如图，直线ab与o相交于a，b再点，点o在ab上，点c在o上，且aoc40，点e是直线ab上一个动点(与点o不重合)，直线ec交o于另一点d，则使de=do的点正共有 个 思路点拨 在直线ab上使de=do的动点e与o有怎样的位置关系?分点e在ab上(e在o内)、在ba或ab的延长线上(e点在o外)三种情况考虑，通过角度的计算，确定e点位置、存在的个数注： 弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法 【例2】 如图，已知abc为等腰直角三形，d为斜边bc的中点，经过点a、d的o与边ab、ac、bc分别相交于点e、f、m，对于如下五个结论：fmc=45；ae+afab；2bm2=bfba；四边形aemf为矩形其中正确结论的个数是( ) a2个 b3个 c4个 d5个 思路点拨 充分运用与圆有关的角，寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形，逐一验证注：多重选择单选化是近年出现的一种新题型，解这类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐合条件，作深入的探究，方能作出小正确的选择【例3】 如图，已知四边形abcd外接o的半径为5，对角线ac与bd的交点为e，且ab2=aeac，bd8，求abd的面积思路点拨 由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得a为弧bd中点，这是解本例的关键【例4】 如图，已知ab是o的直径，c是o上的一点，连结ac，过点c作直线cdab于d(addb)，点e是ab上任意一点(点d、b除外)，直线ce交o于点f，连结af与直线cd交于点g (1)求证：ac2=agaf；(2)若点e是ad(点a除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立?若成立请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由 思路点拨 (1)作出圆中常用辅助线证明acgafc； （2）判断上述结论在e点运动的情况下是否成立，依题意准确画出图形是关键注：构造直径上90的圆周角，是解与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件【例5】 如图，圆内接六边形abcdef满足ab=cd=ef，且对角线ad、be、cf相交于一点q，设ad与cf的交点为p 求证：（1）；(2) 思路点拨 解本例的关键在于运用与圆相关的角，能发现多对相似三角形(1) 证明qdeacf；(2)易证，通过其他三角形相似并结合(1)把非常规问题的证明转化为常规问题的证明注：有些几何问题虽然表面与圆无关，但是若能发现隐含的圆，尤其是能发现共圆的四点，就能运用圆的丰富性质为解题服务，确定四点共圆的主要方法有： (1)利用圆的定义判定；(2)利用圆内接四边形性质的逆命题判定学历训练1一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 2如图，ab是o的直径，c、d、e都是o上的一点，则1+2= 3如图，ab是o的直径，弦cdab，f是cg的中点，延长af交o于e，cf=2，af=3，则ef的长为 4如图，已知abc内接于o，ab+ac=12，adbc于d，ad3，设o的半径为，ab的长为，用的代数式表示，= 5如图，abcd是o的内接四边形，延长bc到e，已知bcd：ecd3：2，那么bod等于( )a120 b136 c144 d1506如图，o中，弦adbc，da=dc，aoc=160，则boc等于( ) a20 b30 c40 d507如图，bc为半圆o的直径，a、d为半圆o上两点，ab=，bc=2，则d的度数为( ) a60 b 120 c 135 d150 8如图，o的直径ab垂直于弦cd，点p是弧ac上一点(点p不与a、c两点重合)，连结pc、pd、pa、ad，点e在ap的延长线上，pd与ab交于点f给出下列四个结论：ch2=ahbh；ad=ac；ad2=dfdp； epc=apd，其中正确的个数是( ) a1 b2 c3 d4 9如图，已知b正是abc的外接圆o的直径，cd是abc的高 (1)求证：acbc=becd；(2) 已知cd=6，ad=3，bd=8，求o的直径be的长 10如图，已知ad是abc外角eac的平分线，交bc的延长线于点d，延长da交abc的外接圆于点f，连结fb，fc (1)求证：fb=fc；(2)求证：fb2=fafd；(3)若ab是abc的外接圆的直径，eac=120，bc=6cm，求ad的长 11如图，b、c是线段ad的两个三等分点，p是以bc为直径的圆周上的任意一点(b、c点除外)，则tanapbtancpd= 12如图，在圆内接四边形abcd中，ab=ad，bad=60，ac=，则四边形abcd的面积为 13如图，圆内接四边形abcd中，a60，b90，ad=3，cd=2，则bc= 14如图，ab是半圆的直径，d是ac的中点，b=40，则a等于( ) a60 b50 c80 d70 15如图，已知abcd是一个以ad为直径的圆内接四边形，ab=5，pc=4，分别延长ab和dc，它们相交于p，若apd=60，则o的面积为( ) a25 b16 c15 d13 (2001年绍兴市竞赛题)16如图，ad是rtabc的斜边bc上的高，ab=ac，过a、d两点的圆与ab、ac分别相交于点e、f，弦ef与ad相交于点g，则图中与gde相似的三角形的个数为( ) a5 b4 c3 d217如图，已知四边形abcd外接圆o的半径为2，对角线ac与bd的交点为e，ae=ec，ab=ae，且bd=，求四边形abcd的面积 18如图，已知abcd为o的内接四边形，e是bd上的一点，且有bae=dac 求证：(1)abeacd；(2)abdc+adb cacbd19如图，已知p是o直径ab延长线上的一点，直线pcd交o于c、d两点，弦dfab于点h，cf交ab于点e (1)求证：papb=pope；(2)若decf，p=15，o的半径为2，求弦cf的长 20如图，abc内接于o，b