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血管 生物 数学模型 非线性 状态 反馈 同步

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1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 第38卷第8期 2008年4月 数学的实践与认识 MA THEMA T ICS I N PRACT ICE AND THEORY Vol138 No18 April 2008 肌型血管生物数学模型的非线性状态反馈同步 贡崇颖1 2 李医民1 孙曦浩1 1 江苏大学理学院 数学系 江苏 镇江 212003 2 江苏大学 京江学院 江苏 镇江 212003 摘要 用非线性状态反馈方法研究肌型血管生物数学模型的同步问题 利用驱动系统与响应系统的误差 信号 通过施加反馈控制 设计一个单变量非线性反馈控制器 使响应系统跟踪驱动系统 即误差系统渐近稳 定到平衡点 从而实现了两个混沌系统在单变量驱动的情况下 消耗更少的能量达到同步 从理论上验证了 处于痉挛状态下的血管运动可以与正常血管运动同步 为有效防治和治疗心肌梗塞等疾病提供一定的理论 依据 仿真结果表明了此方法的有效性 关键词 肌型血管 混沌同步 非线性反馈控制 血管痉挛 1 引 言 收稿日期 2005211221 基金项目 国家自然科学基金重点资助项目 60234010 从科学史上 最早观察到同步现象在1665年由荷兰物理学家 摆钟的发明者惠更斯 他 偶然看到两个并排的钟摆的振荡居然达到了完全同步 正是这一发现开辟了数理科学中的 一个分支 耦合振 荡 子理论 并以此为一条主线 揭示了自然界中相当普遍的同步现象及 其机理 尤其是生物体内外的同步现象 诸如 心脏中的起搏细胞 管人体节律动作的神经网 络 无数萤火虫的同步发光与同步熄灭以及众多蟋蟀齐声鸣叫 等等 1 但是发现混沌同步现象 却是20世纪90年代初的事情 1990年美国海军实验室的学者 Pecora和Carroll在电子学线路的设计实验中首次观察到了混沌同步的现象 他们发现一个 混沌系统的某些相同的子系统在特定的条件下可以做到相互同步 他们在理论上提出了同 步原理 极大地推动了混沌同步的理论研究 奠定了混沌同步研究的理论基础 然而将混沌理论应用于生物学 医学领域是上世纪八 九十年代开始蓬勃发展起来的边 缘科学 混沌控制与同步同样可以应用于心脏系统 神经系统和脑功能的机理分析 2 首次在生物系统中诞生的混沌控制技术可以追溯到1991年第一届国际实验混沌大会之 后 洛杉矶加利福尼亚大学医学院的一个研究小组研究了一个兔子心脏的一个隔离区 当他们 在该心脏的冠状动脉中注射乌苯苷药物时发现 乌苯苷能够引起心脏的不规则收缩 然后他们 根据OGY控制方法用一个电信号去刺激心脏意外地发现心脏又恢复了有节奏的跳动 有时还 能将心脏的跳动次数降到正常水平 3 现在人们正在将该思想用到人类心脏疾病的治疗 4 5 近几年来 心血管系统行为的混沌性 6 也越来越受到人们的重视 这方面的研究及其应 用于一些心血管疾病的机理探索 诊治等均取得了不小的进步 2 冠状动脉是负责输送氧气及养份到心脏肌肉的血管 当这条重要血管因脂肪积聚而收 窄及硬化 便会影响心脏的血流 心肌也可能因血流减少而受到损害 从而容易引起一些心 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 脏方面的疾病 近年来 人们对冠状动脉的研究也比较多 7 除了研究了正常的冠状动脉中 的血液流动外 还对冠状动脉出现局部狭窄的情况进行了血液动力学和管壁力学性质的研 究 8 9 文献 10 利用Ham ilton系统讨论了肌型血管生物数学模型的混沌现象 得出由血 管静态液变特性的参数大小的变化使得血管进入混沌状态 而文献 11 也用数学方法证明 了肌型血管生物数学模型至少存在一个周期解 为医学上掌握血管功能的变化趋势及治疗 手段提供了一定的信息 继而研究了此模型的渐近解问题 12 13 得出只要对肌型血管施加 一周期的弱外激励 使其相位与某一参数充分接近 则可改变肌型血管的功能 Griffith等 应用非线性动力学方法与分子细胞生物学技术相结合的实验中 14 他们发现血管的混沌运 动方式比正弦的周期运动方式更容易对抗外界的干扰 从而保持微循环灌注的稳定性 15 因此认为生理系统中的混沌现象对正常机体是一种保护机制 血管的混沌行为对于组织和 器官也是有益的 16 所以说混沌态并不总是有害的 17 在一些实际问题中 混沌态本身就是 很有用的运动形态 甚至恰恰是我们追求的目标 本文运用非线性状态反馈同步控制方法 结合肌型血管生物数学自身的特点 对误差系统设 计一非线性反馈控制器 在消耗较小能量的情况下 实现了肌型血管生物数学模型同步化 从生 物意义上讲 就是使病变血管的混沌运动状态同步到正常血管的运动状态 达到治疗的目的 2 肌型血管生物数学模型 冠状动脉是指供应心脏肌肉氧气及营养的血管 又称为肌型血管 当向心肌输送营养与 氧气的冠状动脉阻塞时 就会引起狭心症 心肌梗塞等疾病 所以在探讨心肌梗塞的病理研 究中 一些医学家认为冠状动脉粥样硬化和冠状动脉的痉挛是导致发病的共同原因 文献 10 给出了一个肌型血管含集中参数的力学模型 d R dt h 1 2 L R 2 0 R 3 16 L 2 p R 2 0P0 4 L 2 R 1 h Pa Pb 2 P0R 4 0 8 L R R R0 p P P0 2 d p dt R P K d R dt 3 其中 R R0 P P0且有 R P R P R 1 R 1 R R1 1 R R2 4 式中 K R1 R2均为正常量 引入无量纲变量x y 其中x是无量钢血管内径的变化差 y是无量纲血管内的压力 差 是与时间成正比的 时间变量 令 R x R1 P 1 y R1 t t3 5 取 R1 R2 t3 R1h 0 t3 K 则 1 与 3 式变为 401数 学 的 实 践 与 认 识38卷 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved dx d K 1 2 L R 2 0 R 3 16 L 2y K R 2 0P0 4 L 2x dy d K x 1 x 2 y K dx d 6 引入记号K K 1 2 L R 2 0 R 3 16 L 2 c K R 2 0P0 4 L 2 b 那么 6 式就变为 dx d bx cy dy d x x 3 y dx d 7 此时就得到了肌型血管的生物数学模型 则 7 式可以化成 dx d bx cy dy d b x c y x 3 8 再加上血管受到的周期性刺激Ecos 之干扰 则系统 8 式又可变成 dx d bx cy dy d b x c y x 3 Ecos 9 心肌梗塞的病因是心脏的冠状动脉血管的粥样硬化和冠状动脉的痉挛 冠状动脉的痉挛是 指心外膜下传导动脉发生一过性收缩 引起血管部分或完全闭塞 导致心肌缺血的一组临床 综合症 文献 10 已发现在一定条件下混沌的产生是由表征血管静态液变特征参数 变化 引起的 可知血管的病态变化使 从大到小时使血管进入混沌状态 对于系统 9 当参数b 0 15 c 1 7 0 65 E 0 3 1时 系统 9 进入混沌状态 从数学上看 所谓血管的痉挛 就是血管的混沌状态 18 血管痉挛是构成多种心脏缺血性疾病的基本病 因 主要包括变异型心绞痛 不稳定型心绞痛 急性心肌梗塞 猝死 由此可见 血管运动一旦 进入此种混沌状态立即危急人类健康 所以要控制此种混沌 使病情朝着有益的方向发展 对肌型血管生物数学模型利用非线性状态反馈同步控制 使得处于病变的混沌状态下的血 管同步到正常血管的运动状态 即使得两个系统对应状态之间的误差为零 从而达到同步 3 非线性状态反馈同步 一般说来 非线性状态反馈指的是反馈的信号直接加到响应系统的状态变量上去 不改 变系统的参数 而且非线性反馈有时候能够在单变量驱动的情况下 使系统消耗更少的能量 达到同样的同步效果 考虑如下的驱动系统 x 1 bx1 cy1 y 1 b x1 c y1 x 3 1 Ecos 10 那么相应的响应系统形式为 5018期贡崇颖 等 肌型血管生物数学模型的非线性状态反馈同步 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved x 2 bx2 cy2 y 2 b x2 c y2 x 3 2 Ecos 11 混沌同步控制的目的就是通过施加合适的控制器 即控制函数 U f x1 y1 x2 y2 使得lim x 2 x1 0 lim y 2 y1 0 为使响应系统 11 与驱动系统 10 同步 在响应系统的第二个方程右端加控制函数u 因此响应系统可改写成 x 2 bx2 cy2 y 2 b x2 c y2 x 3 2 Ecos u 12 定义响应系统 12 与驱动系统 10 的状态误差为 e1 x2 x1 e2 y2 y1 13 得到如下的同步误差系统 e 1 be1 ce2 e 2 b 3x 2 1 e1 c e2 e21 e1 3x1 u 14 上述同步问题转化为式 14 的稳定性问题 只要将系统式 14 稳定至状态空间原点处 则可达到同步目的 这里先介绍一个引理 19 引理 设非线性系统 x A t x O x t 15 对所有的t有O x t 0 如果满足下列3个条件 1 lim x 0 O x t x 0对t一致成立 2 A t 对所有t有界 3 线性系统x A t x的零解是一致渐近稳定的 则式 15 的零解是一致渐近稳定的 在系统 14 中 令O x t e21 e1 3x1 显然它满足引理的其余两个条件 则必有 lim t e t 0 对误差系统设计非线性反馈控制器 u 3x 2 1 e1 ke1 16 其中k为反馈增益 则误差系统变为如下形式 e A e O x t 其中A b c b k c 考虑系统的特征多项式 D s s2 c b s b c ck 由Hurw itz稳定性判据知 D s 为稳定多项式的条件是 c b 0 c b b c ck 0 当肌型血管生物数学模型处于混沌时 有b 0 15 c 1 7 0 65 E 0 3 1 只需选择k 使 c b b c ck 0 即k 0 53 则控制器增益需满足的 条件是k 0 53 显然 此时 必存在一正定阵P 满足R iccati方程 A TP PA Q 601数 学 的 实 践 与 认 识38卷 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved Q Q T 0 若选取L yapunv函数为V eTPe是定正的 将其沿系统轨迹对时间求导 则 V e Tpe e tp e A e TPe eTP A e eT A TP PA e eTQ e 0 于是引理中的条件3满足 由于A 是常数阵必定有界 所以条件2满足 由此可知 误差系统 在控制器的作用下能稳定至状态空间原点处 即两个混沌系统能够实现同步 4 仿真结果 用文中给定的系统参数 对肌型血管生物数学模型混沌同步进行仿真 设计的控制器 16 中的反馈控制增益选择为k 1 出始状态为x1 0 0 2 y1 0 0 2 x2 0 0 4 y2 0 0 4 且Q I 同步误差仿真结果如图 1 和 2 所示 实现了lim x 2 x1 0 li m y 2 y1 0 这表明了非线性状态反馈同步对肌型血管生物数学模型是有效的 也就是从理论上 使得处于血管痉挛混沌状态下的血管可以与正常的血管同步 从而达到治疗目的 图1 同步误差e1变化图图2 同步误差e2变化图 5 结 论 本文针对肌型血管生物数学模型 将非线性状态反馈同步方法应用于生物数学模型 根 据系统自身特点 设计一个单变量非线性反馈控制器 该非线性反馈控制器结构简单 涉及 的系统变量和需调节的参数少 在有限的步骤中使系统全局稳定 并使得系统的状态误差渐 近稳定到平衡点处而且反馈控制增益的调节范围较大 反馈控制增益取值小 所以 只要消 耗较少的能量 就能使两个初始值不同的混沌系统很快实现同步 最后的仿真结果显示了此 方法的有效性 从生物意义上说 就是从理论上研究了肌型血管生物数学模型的同步 当发 生血管痉挛时 可以通过控制使处于痉挛的混沌状态的血管与正常的血管运动达到同步 为 有效的防治和治疗狭心症 心肌梗塞等疾病提供了一定的理论参考 参考文献 1 方锦清 非线性系统中混沌控制方法 同步原理及其应用前景 二 J 物理学进展 1996 16 2 137 161 2 方锦清 高科技发展的新领域 驾驭混沌的应用前景 J 科技导报 2003 10 3 6 3 阮炯 混沌应用研究的动态及分析 J 自然杂志 1995 17 6 318 322 7018期贡崇颖 等 肌型血管生物数学模型的非线性状态反馈同步 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 4 曲正修 张金春 孔敏等 混沌学研究进展评述 J 飞航导弹 2001 12 30 33 5 Q inM ingxin Ying K e Application of the methods of nonlinear dynam ics to heart rate variability analysis J Chinese Journal of Biomedical Engineering 1995 4 3 122 6 裴文江 杨绿溪 蔚承建等 多目标优化方法检测随机受迫系统的混沌现象以及在心率变异信号分析中的应用 J 中国生物医学工程学报 2002 21 1 59 68 7 刘国涛 王先菊 艾保全等 复杂动脉血管内血液流动的研究进展 J 中国医学物理学杂志 2003 20 3 168 171 8 Lee D Su J M L iang H Y A numerical simulation of steady flow fields in a bypass tube J J Biomech 2001 34 11 1407 1416 9 M igliavacca F PetriniL Colombo M et al M echanical behavior of coronary stents investigated through the finite element method J J Biomech 2002 35 6 803 811 10 徐振源 刘曾荣 两类肌型血管模型的混沌现象 J 生物数学学报 1986 1 2 109 115 11 孟国明 宗序平 肌型血管生物数学模型的周期解 J 扬州大学学报 自然科学版 2000 3 2 15 19 12 孟国明 肌型血管生物数学模型的渐近解 J 扬州大学学报 自然科学版 2001 4 3 7 9 13 孟国明 肌型血管生物数学模型的渐近解 J 扬州大学学报 自然科学版 2002 5 1 18 20 14 刘亦未 非线性动力学分析在心血管系统的研究现状 J 心肺血管病杂志 1998 17 3 239 241 15 Parthimos Edwards DH Fractal analysis of smooth muscle Ca2 fluxes in the genesis of chaotic arterial pressure oscillations J Am J Physiol 1994 266 H1801 H1811 16 洪新如 刘超斌 心血管系统的混沌性质及其在心肌梗死危险等级预测中的应用 J 心血管病学进展 2003 24 3 198 200 17 关新平 范正平 陈彩莲等 混沌控制及其在保密通信中的应用 M 国防工业出版社 2002 18 王树禾 微分方程模型与混沌 M 中国科技大学出版社 1999 19 W illem s J L 1973 Stabilitat Dynam ischer System M unchenW ien Verlag 1973 Nonlinear Feedback Synchron ization Control of the BiomathematicalM odel of M uscular Blood Vessel GON G Chong2ying1 2 L I Yi2m in1 SUN Xi2hao 1 1 Faculty of Science Jiangsu U niversity Zhenjiang Jiangsu 212003 China 2 Jingjiang College Jiangsu U niversity Zhenjiang Jiangsu 212003 China Abstract W e use the nonlinear feedback synchronization control to study the synchronous problem on the biomathematicalmodel of muscular blood vessel using the error signal of the master system and the slave system and adding the feedback control to design a nonlinear feedback controller w ith a single variable making the slave system follow the tracks of the master system i e the error dynam ice asymptotically to the equilibrium point Therefore we made two chaos system s to be synchronized under the circum stance of single variable drive and less energy From theory we can see that the vessel in vasospasm state would synchronous normality which offer the theory basis on curing myocardial infarction Si mulation results are conducted to show the effectiveness of this method Keywords muscular blood vessel synchronization nonlinear feedback control vasospasm 801数 学 的 实 践 与 认 识38卷

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