湖南省师大附中高二数学上学期期末试卷 文（含解析）(1).doc

湖南师大附中2014-2015学年高 二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1（5分）设集合a=，b=x|1x4，则ab=（）ax|0x2bx|1x2cx|0x4dx|1x42（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3（5分）阅读下列的算法，其功能hi（）第一步：m=a；第二步：bm，则m=b；第三步：若cm，则m=c；第四步：输出ma将a，b，c由小到大排序b将a，b，c由大到小排序c输出a，b，c中的最大值d输出a，b，c中的最小值4（5分）设sin（+）=，则sin2=（）abcd5（5分）下列有关命题的说法正确的是（）a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”b“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件c命题“xr，使得x2+x10”的否定是：“xr，均有x2+x10”d命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题6（5分）若幂函数f（x）图象经过点p（4，2）则它在p点处的切线方程为（）a8xy30=0bx4y+4=0c8x+y30=0dx+4y+4=07（5分）要得到函数y=tan（3x+）的图象，只须将x=tan3x的图象上的所有的点（）a向左平移个单位长度b向右平移个单位长度c向左平移个单位长度d向右平移个单位长度8（5分）已知数列an为等比数列，sn是它的前n项和，若a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则s5=（）a35b33c31d299（5分）如图，abcda1b1c1d1为正方体，下面结论错误的是（）abd平面cb1d1bac1bdcac1平面cb1d1d异面直线ad与cb1所成的角为6010（5分）若双曲线上不存在点p使得右焦点f关于直线op（o为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（）abcd二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为12（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数的定义域是13（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知向量=（1，2），=（3，1），=（x，3），若（2+），则x=14（5分）如图，四边形abcd为矩形，bc=1，以a为圆心，1为半径作四分之一个圆弧de，在圆弧de上任取一点p，则直线ap与线段bc有公共点的概率是15（5分）已知函数f（x）=|2x3|，若02ab+1，且f（2a）=f（b+3），则t=3a2+b的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知雅礼中学2015届高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表x人数yabca7205b9186ca4b若抽取学生n人，成绩分为a（优秀）、b（良好）、c（及格）三个等级，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中数学成绩为b等级的共有20+18+4=42人，已知x与y均为b等级的概率是0.18（1）求抽取的学生人数；（2）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（3）在地理成绩为c等级的学生中，已知a10，b8，求数学成绩为a等级的人数比c等级的人数少的概率17（12分）已知数列an中，a1=1，当n2时，其前n项和sn满足s=an（sn）（1）求sn的表达式（2）设bn=，tn是bn的前n项和，求使得tn对所有nn*都成立的最小正整数m18（12分）如图，等腰梯形abef中，abef，ab=2，ad=af=1，afbf，o为ab的中点，矩形abcd所在平面与平面abef互相垂直（1）求证：af平面cbf；（2）在棱fc上是否存在m，使得om平面daf？（3）求点a到平面bdf的距离19（13分）某棚户区改造工程规划用地近似为图中半径为r的圆面，图中圆内接四边形abcd为拟定拆迁的棚户区，测得ab=ad=4百米，bc=6百米，cd=2百米（1）请计算原棚户区abcd的面积及圆面的半径r；（2）因地理条件的限制，边界ad，cd不能变更，而边界ab、bc可以调整，为了提高棚户区改造建设用地的利用率，请在圆弧abc上求出一点p，使得棚户区改造的新建筑用地apcd的面积最大，并求最大值（注：圆的内接四边形对角互补）20（13分）已知二次函数g（x）=mx22mx+n+1（m0）在区间上有最大值4，最小值0（）求函数g（x）的解析式；（）设f（x）=若f（2x）k2x0在x时恒成立，求k的取值范围21（13分）已知椭圆c的中心为原点o，焦点在x轴上，离心率为，且点在该椭圆上（1）求椭圆c的方程；（2）如图，椭圆c的长轴为ab，设p是椭圆上异于a、b的任意一点，phx轴，h为垂足，点q 满足，直线aq与过点b 且垂直于x 轴的直线交于点m，求证：oqn为锐角湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1（5分）设集合a=，b=x|1x4，则ab=（）ax|0x2bx|1x2cx|0x4dx|1x4考点：交集及其运算 专题：集合分析：根据集合的基本运算进行求解即可解答：解：a=，b=x|1x4=，ab=，故选：b点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义 分析：先将复数z进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限解答：解：=i复数在复平面对应的点的坐标是（，）它对应的点在第四象限，故选d点评：判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果3（5分）阅读下列的算法，其功能hi（）第一步：m=a；第二步：bm，则m=b；第三步：若cm，则m=c；第四步：输出ma将a，b，c由小到大排序b将a，b，c由大到小排序c输出a，b，c中的最大值d输出a，b，c中的最小值考点：顺序结构；算法的概念 专题：算法和程序框图分析：逐步分析各步算法，根据赋值语句的功能，即可得解解答：解：逐步分析算法中的各语句的功能，第一步是把a的值赋值给m，第二步是比较a，b的大小，并将a，b中的较小值保存在变量m中，第三步是比较c与a，b中的较小值的大小，并将两数的较小值保存在变量m中，故变量m的值最终为a，b，c中的最小值故选：d点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视要判断程序的功能就要对程序的流程图（伪代码）逐步进行分析，分析出各变量值的变化情况，特别是输出变量值的变化情况，就不难得到正确的答案，本题属于基本知识的考查4（5分）设sin（+）=，则sin2=（）abcd考点：二倍角的余弦；三角函数的恒等变换及化简求值 专题：计算题分析：根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin2的值解答：解：由sin（+）=sincos+cossin=（sin+cos）=，两边平方得：1+2sincos=，即2sincos=，则sin2=2sincos=故选a点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题5（5分）下列有关命题的说法正确的是（）a命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”b“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件c命题“xr，使得x2+x10”的否定是：“xr，均有x2+x10”d命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题考点：四种命题 专题：简易逻辑分析：a中，写出该命题的否命题，即可判断a是否正确；b中，判断充分性和必要性是否成立，即可得出b是否正确；c中，写出该命题的否定命题，从而判断c是否正确d中，判断原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真假性解答：解：对于a，该命题的否命题为：“若x21，则x1”，a错误；对于b，x=1时，x25x6=0，充分性成立，x25x6=0时，x=1或x=6，必要性不成立，是充分不必要条件，b错误；对于c，该命题的否定是：“xr，均有x2+x10，c错误对于d，x=y时，sinx=siny成立，它的逆否命题也为真命题，d正确故选：d点评：本题考查了四种命题之间的关系，也考查了命题特称命题与全称命题的关系以及命题真假的判断，是基础题6（5分）若幂函数f（x）图象经过点p（4，2）则它在p点处的切线方程为（）a8xy30=0bx4y+4=0c8x+y30=0dx+4y+4=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：先设出幂函数，利用点p确定幂函数的解析式，然后利用导数求出切线方程解答：解：设幂函数的方程为f（x）=x，因为f（x）图象经过点p（4，2），即f（4）=4=22=2，即2=1，解得，所以幂函数方程为，幂函数的导数为，所以切线斜率所以切线方程为，即x4y+4=0故选b点评：本题的考点是利用导数研究曲线上切线方程，先利用条件求出幂函数是解决本题的关键7（5分）要得到函数y=tan（3x+）的图象，只须将x=tan3x的图象上的所有的点（）a向左平移个单位长度b向右平移个单位长度c向左平移个单位长度d向右平移个单位长度考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件利用函数的图象的平移变换规律，可得结论解答：解：将x=tan3x的图象上的所有的点向左平移个单位长度，即可得到函数y=tan3（x+）=tan（3x+）的图象，故选：c点评：本题主要考查函数的图象的平移变换规律，属于基础题8（5分）已知数列an为等比数列，sn是它的前n项和，若a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则s5=（）a35b33c31d29考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：用a1和q表示出a2和a3代入a2a3=2a1求得a4，再根据a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入s5即可解答：解：a2a3=a1qa1q2=2a1a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2q=，a1=16故s5=31故选c点评：本题主要考查了等比数列的性质属基础题9（5分）如图，abcda1b1c1d1为正方体，下面结论错误的是（）abd平面cb1d1bac1bdcac1平面cb1d1d异面直线ad与cb1所成的角为60考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系 分析：a中因为bdb1d1可判，b和c中可由三垂线定理进行证明；而d中因为cb1d1a，所以d1ad即为异面直线所成的角，d1ad=45解答：解：a中因为bdb1d1，正确；b中因为acbd，由三垂线定理知正确；c中有三垂线定理可知ac1b1d1，ac1b1c，故正确；d中显然异面直线ad与cb1所成的角为45故选d点评：本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力10（5分）若双曲线上不存在点p使得右焦点f关于直线op（o为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（）abcd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题分析：由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可根据双曲线方程，设其上一点p的坐标为p（，btan），其中为锐角，求出直线op方程：y=x设右焦点f（c，0）关于直线op的对称点为q（x1，y1），根据点关于直线对称的知识，列方程组并化简消去y1，可得因为不存在点p使得对称点q在y轴上，所以不存在，使x1=0满足该方程，讨论这个方程解的情况，得，可得c22a2，离心率满足得到正确答案解答：解：由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可设双曲线位于第一象限内一点p的坐标为（，btan），其中为锐角，直线op的斜率为k=，可得直线op方程为y=x，设右焦点f（c，0）关于直线op的对称点为q（x1，y1），消去y1得：（*），接下来讨论方程（*）的根的问题，当x1=0时，将此方程进行变量分离，得：0sin21而根据题意，不存在点p使得对称点q在y轴上，所以不存在，使x1=0满足（*）式成立综上所述，可得，即，可得c22a2，离心率双曲线中，ca离心率e1，可得故选c点评：本题给出双曲线上不存在点p使得右焦点f关于直线op（o为双曲线的中心）的对称点在y轴上，求双曲线离心率的取值范围，着重考查了双曲线的简单性质和点关于直线对称等知识点，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为2考点：分层抽样方法 专题：计算题分析：根据本市的甲、乙、丙三组的数目，做出全市共有组的数目，因为要抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以丙组的数目，得到结果解答：解：某城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8本市共有城市数24，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本每个个体被抽到的概率是 ，丙组中对应的城市数8，则丙组中应抽取的城市数为8=2，故答案为2点评：本题考查分层抽样，是一个基础题，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，做出一种情况的概率，问题可以解决12（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数的定义域是（2，8考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法 专题：计算题分析：根据对数函数的真数大于0建立不等关系，然后结合图形求出函数的定义域即可解答：解：要使函数有意义则f（x）0结合图象可知当x（2，8时，f（x）0函数的定义域是（2，8故答案为：（2，8点评：本题主要考查 了对数函数的定义域，以及数形结合的思想，同时考查了识图能力，属于基础题13（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知向量=（1，2），=（3，1），=（x，3），若（2+），则x=1考点：平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用分析：根据平面向量的坐标运算，结合向量平行的坐标表示，列出方程，求出x的值解答：解：向量=（1，2），=（3，1），=（3，1）（1，2）=（2，1），=2（2，1）=（4，2）；2+=2（1，2）+（4，2）=（2，6）；又=（x，3），（2+），236x=0，解得x=1故答案为：1点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目14（5分）如图，四边形abcd为矩形，bc=1，以a为圆心，1为半径作四分之一个圆弧de，在圆弧de上任取一点p，则直线ap与线段bc有公共点的概率是考点：概率的基本性质；几何概型 专题：计算题分析：由题意知本题是一个几何概型，解决几何概型问题时，看清概率等于什么之比，试验包含的所有事件是bad，而满足条件的事件是直线ap在cab内时ap与bc相交时，即直线ap与线段bc有公共点，根据几何概型公式得到结果解答：解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是bad，如图，连接ac交弧de于p，则，cab=30，满足条件的事件是直线ap在cab内时ap与bc相交时，即直线ap与线段bc有公共点概率p=，故答案为：点评：本题考查了几何摡型知识，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到15（5分）已知函数f（x）=|2x3|，若02ab+1，且f（2a）=f（b+3），则t=3a2+b的取值范围为（，0）考点：带绝对值的函数 专题：计算题分析：由题意可得|4a3|=|2b+3|，故4a3和2b+3互为相反数，解得b=2a，代入要求的式子可得 t=3a2+b=3此函数t在 （0，）上是减函数，所以t（）tt（0），由此求得t=3a2+b的取值范围解答：解：f（x）=|2x3|，f（2a）=f（b+3），也就是|4a3|=|2b+3|因为 02ab+1，所以4a2b+2，4a32b+3，所以必须有4a3和2b+3互为相反数4a3+2b+3=0，故 b=2a再由02ab+1可得 02a2a+1，即 0at=3a2+b=3a2 2a=3此函数t在 （0，）上是减函数，所以t（）tt（0），即t0，故答案为（，0）点评：本题主要考查带有绝对值的函数，利用二次函数的单调性求它在某区间上的值域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知雅礼中学2015届高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表x人数yabca7205b9186ca4b若抽取学生n人，成绩分为a（优秀）、b（良好）、c（及格）三个等级，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中数学成绩为b等级的共有20+18+4=42人，已知x与y均为b等级的概率是0.18（1）求抽取的学生人数；（2）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（3）在地理成绩为c等级的学生中，已知a10，b8，求数学成绩为a等级的人数比c等级的人数少的概率考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：（1）由题意x与y由所给的表格可以知道数学与地理成绩均为b等级的总人数为18，设该样本总人数为n，利用古典概型随机事件的概率公式，即可求出；（2）由表格及第一问可以知道样本人数为100，而在该样本中，数学成绩的优秀得人数为7+20+5，利用古典概型随机事件的概率公式可以知道a的值；（3）由题意知a+b=31，且a10，b8，然后列举出所求满足条件的（a，b），找出数学成绩为a等级的人数比c等级的人数少的个数，最后利用古典概型的概率公式解之即可解答：解：（1）依题意，=0.18，得n=100；（2）由=0.3，得a=147+9+a+20+18+4+5+6+b=100，b=17；（3）由题意，知a+b=31，且a10，b8，满足条件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（21，10），（22，9），（23，8）共14组其中数学成绩为a等级的人数比c等级的人数少有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6组数学成绩为a等级的人数比c等级的人数少的概率为=点评：本题重点考查了学生准确的理解题意的能力，还考查了古典概型随机事件的概率公式，属于基础题17（12分）已知数列an中，a1=1，当n2时，其前n项和sn满足s=an（sn）（1）求sn的表达式（2）设bn=，tn是bn的前n项和，求使得tn对所有nn*都成立的最小正整数m考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知得2sn1sn=sn1sn，从而=2，由此得到数列是首项为=1，公差为2的等差数列，从而能求出sn=（2）由bn=（），利用裂项求和法能求出使得tn对所有nn*都成立的最小正整数m的值解答：解：（1）sn2=an（sn），an=snsn1（n2），sn2=（snsn1）（sn），即2sn1sn=sn1sn，由题意sn1sn0，将式两边同除以sn1sn，得=2，数列是首项为=1，公差为2的等差数列=1+2（n1）=2n1，sn=（2）bn=（），tn=（）=（1）tn，使得tn对所有nn*都成立的最小正整数m的值为10点评：本题考查数列的前n项和公式的求法，考查使得tn对所有nn*都成立的最小正整数m的值的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用18（12分）如图，等腰梯形abef中，abef，ab=2，ad=af=1，afbf，o为ab的中点，矩形abcd所在平面与平面abef互相垂直（1）求证：af平面cbf；（2）在棱fc上是否存在m，使得om平面daf？（3）求点a到平面bdf的距离考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）欲证af平面cbf，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证af与平面cbf内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知cb平面abef，而af平面abef，则afcb，而afbf，满足定理所需条件；（2）m为fc的中点，om平面daf欲证om平面daf，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证om与平面daf内一直线平行即可，设df的中点为n，则mnao为平行四边形，则oman，又an平面daf，om不属于平面daf，满足定理所需条件；（3）过a做ahdf于h，根据面面垂直的性质可知ah平面bdf，ah为点a到平面bdf的距离，即可得出结论解答：（1）证明：平面abcd平面abef，cbab，平面abcd平面abef=abcb平面abef，af平面abefafcb又afbf，cbbf=b，af平面cbf；（2）m为fc的中点，om平面daf证明：设df的中点为n，则mn平行且等于cd又ao平行且等于cdmn平行且等于ao，mnao为平行四边形oman，又an平面daf，om不属于平面dafom平面daf；（3）解：过a做ahdf于h，ad平面abef，adbf，afbf，adaf=a，bf平面adf，平面adf平面bdf，ah平面bdf，ah为点a到平面bdf的距离在adf中，ad=af=1，ah=点评：本题主要考查直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定和a到平面bdf的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（13分）某棚户区改造工程规划用地近似为图中半径为r的圆面，图中圆内接四边形abcd为拟定拆迁的棚户区，测得ab=ad=4百米，bc=6百米，cd=2百米（1）请计算原棚户区abcd的面积及圆面的半径r；（2）因地理条件的限制，边界ad，cd不能变更，而边界ab、bc可以调整，为了提高棚户区改造建设用地的利用率，请在圆弧abc上求出一点p，使得棚户区改造的新建筑用地apcd的面积最大，并求最大值（注：圆的内接四边形对角互补）考点：圆方程的综合应用 专题：应用题；解三角形；不等式的解法及应用分析：（1）连接ac，根据余弦定理求得cosab