贵州省遵义航天中学高二数学下学期期末试卷 文（含解析）.doc

2014-2015学年贵州省遵义航天中学高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12大题，每小题5分，共60分）1已知集合m=1，0，1，2和n=0，1，2，3的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示的集合是（）a0b0，1c0，1，2d1，0，1，2，32若p：=，q：cos（+）=，那么p是q的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c非充分非必要条件d充要条件3若复数=（i是虚数单位，b是实数），则b=（）a2bcd24已知平面向量=（1，2），=（2，y），且=0，则2+3=（）a（8，1）b（8，7）c（8，8）d（16，8）5在abc中，a，b，c分别为三个内角a，b，c所对的边，设向量=（bc，ca），=（b，c+a），若，则角a的大小为（）abcd6已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）a2b3c4d67abcd为长方形，ab=2，bc=1，o为ab的中点，在长方形abcd内随机取一点，取到的点到o的距离大于1的概率为（）abcd8已知直线ax+y+c=0，其中a，c，4成等比数列，且直线经过抛物线y2=8x的焦点，则a+c=（）a1b0c1d49如图所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体体积为（）abcd10阅读如图的程序框图，则输出的s（）a6b14c26d4011已知的最小值是（）a4b2c2d212已知函数y=（x0）上两点a1（x1，y1）和a2（x2，y2），其中x2x1过a1，a2的直线l与x轴交于a3（x3，0），那么（）ax1，x2成等差数列bx1，x2成等比数列cx1，x3，x2成等差数列dx1，x2，x3成等比数列二、填空题13函数f（x）=+lg（3x）的定义域是14某公司为了了解员工们的健康状况，随机抽取了部分员工作为样本，测量他们的体重（单位：公斤），体重的分组区间为50，55），55，60），60，65），65，70），70，75，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示根据频率分布直方图，估计该公司员工体重的众数是；从这部分员工中随机抽取1位员工，则该员工的体重在65，75的概率是15已知abc中，a，b，c的对边分别为a，b，c，若a=1，b=，b=2a，则a=16设等差数列an的前n项和为sn，若存在正整数m，n（mn），使得sm=sn，则sm+n=0类比上述结论，设正项等比数列bn的前n项积为tn，若存在正整数m，n（mn），使得tm=tn，则tm+n=三、解答题：本大题共5小题，满分60分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17设等差数列an的前n项和为sn，且a1=2，s3=12（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为tn，求t2015的值18“孝敬父母感恩社会”是中华民族的传统美德从出生开始，父母就对们关心无微不至，其中对我们物质帮助是最重要的一个指标，下表是一个统计员在统计父母为我花了多少当中使用处理得到下列的数据：参考数据公式： =1024.6， =730，线性回归方程： =x+，（ =， =）岁数x126121617花费累积y（万元）12.89172224假设花费累积y与岁数x符合线性相关关系，求（1）花费累积y与岁数x的线性回归直线方程（系数保留3位小数）；（2）24岁大学毕业之后，我们不再花父母的钱，假设你在30岁成家立业之后，在你50岁之前偿还父母为你的花费（不计利息）那么你每月要偿还父母约多少元钱？19将棱长为a的正方体截去一半（如图甲所示）得到如图乙所示的几何体，点e，f分别是bc，dc的中点（1）证明：afed1；（2）求三棱锥eafd1的体积20在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆c位于y轴的右侧，且与y轴相切，（）求圆c的方程；（）若椭圆的离心率为，且左右焦点为f1，f2，试探究在圆c上是否存在点p，使得pf1f2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的p点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）21已知函数f（x）=x3+3ax+b，xr在（0，1）处的切线方程是y=9x+1（1）求a，b的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若函数f（x）在区间m，2上的最大值为28，求m的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22如图，直线ab经过o上的点c，并且oa=ob，ca=cb，o交直线ob于e、d，连接ec、cd（1）求证：直线ab是o的切线；（2）若tanced=，o的半径为3，求oa的长选修4-4：极坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23（2014扶沟县校级模拟）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆c的方程为=2cos（1）求圆c的直角坐标方程；（2）设圆c与直线l交于点a，b若点p的坐标为（，3），求|pa|+|pb|选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24（2016延边州模拟）已知函数f（x）=|x1|（1）解不等式f（x）+f（x+4）8；（2）若|a|1，|b|1，且a0，求证：f（ab）|a|f（）2014-2015学年贵州省遵义航天中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12大题，每小题5分，共60分）1已知集合m=1，0，1，2和n=0，1，2，3的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示的集合是（）a0b0，1c0，1，2d1，0，1，2，3【考点】venn图表达集合的关系及运算【专题】集合【分析】图中阴影部分对应的集合为mn，然后根据集合的基本运算即可得到结论【解答】解：由图可知阴影部分对应的集合为mn，m=1，0，1，2和n=0，1，2，3，mn=0，1，2，故选：c【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据图象确定阴影部分对应的集合关系是解决本题的关键，比较基础2若p：=，q：cos（+）=，那么p是q的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c非充分非必要条件d充要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由cos（+）=得sin=，若=，则sin=，成立，当=时，满足sin=，但=不成立，即p是q的充分不必要条件，故选：a【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础3若复数=（i是虚数单位，b是实数），则b=（）a2bcd2【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】把等式左边的部分化简成a+bi（a，br）的形式，然后由实部等于且虚部等于0解得b的值【解答】解：=，则，解得：b=故选：c【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数相等的条件，是基础的计算题4已知平面向量=（1，2），=（2，y），且=0，则2+3=（）a（8，1）b（8，7）c（8，8）d（16，8）【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】利用向量垂直与数量积的关系、向量的坐标运算即可得出【解答】解：向量=（1，2），=（2，y），且=0，2+2y=0，解得y=1=（2，1）2+3=2（1，2）+3（2，1）=（8，1）故选：a【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的坐标运算，属于基础题5在abc中，a，b，c分别为三个内角a，b，c所对的边，设向量=（bc，ca），=（b，c+a），若，则角a的大小为（）abcd【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【专题】平面向量及应用【分析】利用，可得=0，再利用余弦定理即可得出【解答】解：，=b（bc）+（c+a）（ca）=0，化为b2bc+c2a2=，即b2+c2a2=bc=a（0，），故选：b【点评】本题考查了数量积与向量垂直的关系、余弦定理，属于基础题6已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）a2b3c4d6【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分abc）由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点b时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即b（2，2）将b（2，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=22+2=6即z=2x+y的最大值为6故选：d【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法7abcd为长方形，ab=2，bc=1，o为ab的中点，在长方形abcd内随机取一点，取到的点到o的距离大于1的概率为（）abcd【考点】几何概型【专题】计算题【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到o的距离大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解【解答】解：已知如图所示：长方形面积为2，以o为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为因此取到的点到o的距离大于1的概率p=1故选b【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件a的基本事件对应的“几何度量”n（a），再求出总的基本事件对应的“几何度量”n，最后根据p=求解8已知直线ax+y+c=0，其中a，c，4成等比数列，且直线经过抛物线y2=8x的焦点，则a+c=（）a1b0c1d4【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据a，c，4成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，找出已知抛物线的焦点坐标代入直线解析式得到关系式，联立求出a与c的值，即可确定出a+c的值【解答】解：a，c，4成等比数列，c2=4a，直线ax+y+c=0经过抛物线y2=8x的焦点，焦点为（2，0），2a+c=0，联立，解得：a=1，c=2或a=c=0（舍去），则a+c=12=1，故选：a【点评】此题考查了抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的简单性质是解本题的关键9如图所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体体积为（）abcd【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由三视图知几何体是直三棱柱削去两个相同的三棱锥，根据侧视图得三棱柱的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，三棱柱侧棱长为4，根据正视图与俯视图知两个三棱锥的高为1，分别计算棱柱和三棱锥的体积，作差求解【解答】解：由三视图知几何体是直三棱柱削去两个相同的三棱锥，由侧视图得三棱柱的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，三棱柱侧棱长为4，三棱柱的体积为=2，由正视图与俯视图知两个三棱锥的高为1，三棱锥的体积为111=，几何体的体积v=22=故选a【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量10阅读如图的程序框图，则输出的s（）a6b14c26d40【考点】循环结构【专题】算法和程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后，t=2，s=2，i=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，t=5，s=7，i=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，t=8，s=15，i=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，t=11，s=26，i=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，t=14，s=40，i=6，满足退出循环的条件；故输出的s的值为40，故选：d【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答11已知的最小值是（）a4b2c2d2【考点】基本不等式；对数的运算性质【分析】由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y=1；【解答】解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+4，故选a【点评】本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换12已知函数y=（x0）上两点a1（x1，y1）和a2（x2，y2），其中x2x1过a1，a2的直线l与x轴交于a3（x3，0），那么（）ax1，x2成等差数列bx1，x2成等比数列cx1，x3，x2成等差数列dx1，x2，x3成等比数列【考点】数列与函数的综合【专题】等差数列与等比数列【分析】先求出b1，b2两点的坐标，进而得到直线b1b2的方程，再令y=0求出x3，即可得出结论【解答】解：由题得：a1（x1，），a2（x2，），过a1，a2的直线l的方程为：y=（xx1）y=（xx1）令y=0x=x1+x2，即x3=x1+x2，故选 a【点评】本题主要考查直线方程的求法，点的坐标的求法以及等差关系的确定问题，是对基础知识的考查，属于中档题二、填空题13函数f（x）=+lg（3x）的定义域是（2，3）【考点】函数的定义域及其求法【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可【解答】解：函数f（x）=+lg（3x），解得2x3，f（x）的定义域是（2，3）故答案为：（2，3）【点评】本题考查了根据函数的解析式求定义域的问题，是基础题目14某公司为了了解员工们的健康状况，随机抽取了部分员工作为样本，测量他们的体重（单位：公斤），体重的分组区间为50，55），55，60），60，65），65，70），70，75，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示根据频率分布直方图，估计该公司员工体重的众数是62.5；从这部分员工中随机抽取1位员工，则该员工的体重在65，75的概率是0.3【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图【专题】概率与统计【分析】根据众数的估计值为频率最高的数据组的组中值，可得该公司员工体重的众数，计算体重在65，75的累积频率，可得到其概率的估计值【解答】解：由已知中的频率分布直方图可得：60，65）这一组的频率最大，且该数据组的组中值为：62.5，故该公司员工体重的众数约为62.5，该员工的体重在65，75的累积频率为：5（0.04+0.02）=0.3，故从这部分员工中随机抽取1位员工，则该员工的体重在65，75的概率是0.3，故答案为：62.5，0.3【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，熟练掌握利用频率分布直方图估算众数及计算频率的方法是解答的关键15已知abc中，a，b，c的对边分别为a，b，c，若a=1，b=，b=2a，则a=【考点】正弦定理；余弦定理【专题】解三角形【分析】由b=2a，得到sinb=sin2a，利用正弦定理求出cosa的值，再结合角的范围即可得解【解答】解：abc中，b=2a，a=1，b=，由正弦定理得：，整理得：cosa=，0aa=故答案为：【点评】此题考查了正弦定理、以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题16设等差数列an的前n项和为sn，若存在正整数m，n（mn），使得sm=sn，则sm+n=0类比上述结论，设正项等比数列bn的前n项积为tn，若存在正整数m，n（mn），使得tm=tn，则tm+n=1【考点】类比推理【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】在类比推理中，等差数列到等比数列的类比推理方法一般为：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘，由“已知数列an为等差数列，它的前n项和为sn，若存在正整数m，n（mn），使得sm=sn，则sm+n=0”类比推理可得：“已知正项数列bn为等比数列，它的前n项积为tn，若存在正整数m，n（mn），使得tm=tn，则tm+n=1【解答】解：在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘，故由“已知数列an为等差数列，它的前n项和为sn，若存在正整数m，n（mn），使得sm=sn，则sm+n=0”类比推理可得：“已知正项数列bn为等比数列，它的前n项积为tn，若存在正整数m，n（mn），使得tm=tn，则tm+n=1故答案为 1【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）三、解答题：本大题共5小题，满分60分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17设等差数列an的前n项和为sn，且a1=2，s3=12（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为tn，求t2015的值【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）通过可知即得结论；（2）通过裂项可知，并项相加即得结论【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，d=2，数列an是以首项和公差均为2的等差数列，其通项公式an=2+（n1）2=2n；（2）an=2n，t2015=t1+t2+t3+t2015=【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题18“孝敬父母感恩社会”是中华民族的传统美德从出生开始，父母就对们关心无微不至，其中对我们物质帮助是最重要的一个指标，下表是一个统计员在统计父母为我花了多少当中使用处理得到下列的数据：参考数据公式： =1024.6， =730，线性回归方程： =x+，（ =， =）岁数x126121617花费累积y（万元）12.89172224假设花费累积y与岁数x符合线性相关关系，求（1）花费累积y与岁数x的线性回归直线方程（系数保留3位小数）；（2）24岁大学毕业之后，我们不再花父母的钱，假设你在30岁成家立业之后，在你50岁之前偿还父母为你的花费（不计利息）那么你每月要偿还父母约多少元钱？【考点】线性回归方程【专题】概率与统计【分析】（1）利用公式计算，及系数a，b，可得回归方程；（2）把x=24代入回归方程可得y值，即为预测父母为我们总的花费，然后除以240可得答案【解答】解：（1）由题中表格数据得： =9，12.633，=1024.6， =730，=1.404，=12.6331.40490.004，故花费累积y与岁数x的线性回归直线方程为=1.404 x+0.004；（2）当x=24时， =1.40424+0.004=33.7（万元）3370002401404（元）所以每月要偿还1404元【点评】本题主要考查了线性回归分析的方法，包括散点图，用最小二乘法求参数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力19将棱长为a的正方体截去一半（如图甲所示）得到如图乙所示的几何体，点e，f分别是bc，dc的中点（1）证明：afed1；（2）求三棱锥eafd1的体积【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）连接de，交af于点o，先证明d1daf，再证明afde，可得af平面d1de，从而可得afed1；（2）利用=，即可求三棱锥eafd1的体积【解答】（1）证明：连接de，交af于点od1d平面abcd，af平面abcd，d1daf点e，f分别是bc，d1c的中点，df=ce又ad=dc，adf=dce=90adfdce，afd=dec又cde+dec=90，cde+afd=90dof=180（cde+afd）=90，即afde又d1dde=d，af平面d1de，又ed1平面d1de，afed1； （2）解：d1d平面abcd，d1d是三棱锥d1aef的高，且d1d=a点e，f分别是bc，d1c的中点，df=cf=ce=be=【点评】本题考查线面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，转换底面是求三棱锥体积的关键，属于中档题20在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆c位于y轴的右侧，且与y轴相切，（）求圆c的方程；（）若椭圆的离心率为，且左右焦点为f1，f2，试探究在圆c上是否存在点p，使得pf1f2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的p点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）求圆c的方程，只要求出圆心与半径即可，而已知圆c的半径为4，圆心在x轴上，圆c位于y轴的右侧，且与y轴相切，故圆心为（4，0），从而可得圆c的方程；（）假设存在满足条件的点p，根据椭圆方程可先求出f1，f2的坐标为（4，0），（4，0），若pf1f2为直角三角形，则过f2作x轴的垂线与圆交与两点，两点都满足题意，过f1作圆的切线，两个切点都满足题意故有4个点符合题意【解答】解：（）圆心在x轴上，半径为4的圆c位于y轴的右侧，可设圆的方程为（xa）2+y2=16，（a0）圆与y轴相切，a=4，圆的方程为：（x4）2+y2=16（）椭圆的离心率为，解得：b=3，f1（4，0），f2（4，0）f2（4，0）恰为圆心c过f2作x轴的垂线与圆交与两点p1，p2，则p1f2f1=p2f2f1=90，符合题意；过f1作圆的切线，分别与圆切于点p3，p4，连接cp1，cp2，则f1p1f2=f1p2f2=90符合题意综上，圆c上存在4个点p，使得pf1f2为直角三角形【点评】本题考查圆的方程，椭圆方程以及与椭圆相关的综合性问题，探索性问题的解决技巧等属于难题21已知函数f（x）=x3+3ax+b，xr在（0，1）处的切线方程是y=9x+1（1）求a，b的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若函数f（x）在区间m，2上的最大值为28，求m的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【专题】导数的综合应用【分析】（1）先求出函数f（x）的导数，得到方程组，解出即可；（2）先求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（3）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出函数f（x）的极大值和极小值，进而求出m的范围【解答】解：（1）f（x）=3x2+3（a1）x3a，a=3，b=1（2）f（x）=x3+3x29x+1f（x）=3x2+6x9，令f（x）=0得x1=1，x2=3，当x3或x1时f（x）0，f（x）在（，3），（1，+）内单调递增，当3x1时f（x）0，f（x）在（3，1）内单调递减；（3）f（x）=x3+3x29x+1，xm，2f（x）=3x2+6x9=3（x+3）（x1）令f（x）=0得x1=1，x2=3将x，f（x），f（x）变化情况列表如下：x（，3）3（3，1）1（1，2f（x）+00+f（x）极大极小由此表可得f（x）极大=f（3）=28，f（x）极小=f（1）=4，又f（2）=328，故区间m，2内必须含有3，即m的取值范围是（，3【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22如图，直线ab经过o上的点c，并且oa=ob，ca=cb，o交直线ob于e、d，连接ec、cd（1）求证：直线ab是o的切线；（2）若tanced=，o的半径为3，求oa的长【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆的位置关系；矩阵与矩阵的乘法的意义；简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程【专题】计算题；证明题【分析】（1）要想证ab是o的切线，只要连接oc，求证aco=90即可；（2）先由三角形判定定理可知，bcdbec，得bd与bc的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出oa的长【解答】解：（1）如图，连接oc，oa=ob，ca=cb，ocabab是o的切线；（2）bc是圆o切线，且be是圆o割线，bc2=bdbe，tanced