湖南省师大附中高三数学第一次月考试题 文（含解析）湘教版(1).doc

湖南师大附中2015届高三第一次月考文科数学试卷【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。时量120分钟。满分150分。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1已知a是实数，是纯虚数，则a( )a1 b1 c. d【知识点】复数代数形式的运算. l4【答案解析】a 解析：因为是纯虚数，所以，即，故选a.【思路点拨】先把原复数化简，再令实部等于0即可解得a的值.【题文】2极坐标方程所表示的曲线是( )a一条直线 b一个圆 c一条抛物线 d一条双曲线【知识点】极坐标方程.n3 【答案解析】c 解析：把两边同时乘以可得：，又因为，代入可得,表示一条抛物线,故选c.【思路点拨】把原式变形，再把代入即可化简.【题文】3设集合ax|x1，bx|x1，则“xa且xb”成立的充要条件是( )a11 d1x1，bx|x1，所以xa且xb可得1x1.故选d.【思路点拨】利用交集与补集的运算即可.【题文】4如果函数f(x)sin(x)(0)是最小正周期为t的偶函数，那么( )at4， bt4， ct4， dt4，【知识点】函数的周期性；函数的奇偶性.b4 b5【答案解析】b 解析：由周期的公式可得：，若为偶函数，则必为的奇数倍，而在中只有满足题意，所以，故选b.【思路点拨】先利用公式求出周期，再结合偶函数的性质得到即可.【题文】5已知a，b为两条直线，为两个平面，下列命题中正确的是( )a若b，b，则 b若a，b，则abc若a，b，则 d若a，a，则【知识点】 空间中线线、线面间的位置关系. g4 g5 【答案解析】d 解析：对于a：若b，b，则或相交，故a错误；对于b：若a，b，则a与b平行、相交或异面.故b错误；对于c：明显错误；对于d：若a，a，则，正确.故选d.【思路点拨】依据定理、公理依次排除即可.【题文】6若ax2bxc0的解集为x|x4,则对于函数f(x)ax2bxc应有( )af(5)f(2)f(1) bf(5)f(1)f(2) cf(1)f(2)f(5) df(2)f(1)f(5)【知识点】函数的单调性；函数的对称性.b3 b5 【答案解析】b 解析：因为ax2bxc0的解集为x|x4，可知：，解得：，代入，即，所以，表示开口方向向下，对称轴为1的抛物线，则函数在递减，所以，而由对称性可得：，所以，故选b.【思路点拨】先由不等式的解集判断出a的符号以及与b，c的关系，再由单调性得到的关系为，而由对称性可得：即可得解.【题文】7.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为( )a锐角三角形 b直角三角形 c钝角三角形 d由增加的长度决定【知识点】余弦定理.c8 【答案解析】a 解析：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2a2b2，abc.新的三角形的三边长为ax、bx、cx，知cx为最大边，其对应角最大而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形故选a.【思路点拨】设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2a2b2，abc.新的三角形的三边长为ax、bx、cx，知cx为最大边，其对应角最大而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正即可判断.【题文】8若0，则下列不等式中不正确的是( )aabb2 babb2 d.2【知识点】比较大小.e1 【答案解析】c 解析：令代入检验可排除a,b,d；故选c.【思路点拨】利用排除法与赋值法相结合可得结果.【题文】9已知anlogn1(n2)(nn*)，观察下列运算：( )a1a2log23log342；a1a2a3a4a5a6log23log34log783；.若a1a2a3ak(kn*)为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1a2a3ak2 014时，“企盼数”k为a22 0142 b22 014 c22 0142 d22 0144【知识点】对数的运算.b7 【答案解析】c 解析： a1a2a3ak2 014lg(k2)lg 22 014k22 0142.【思路点拨】由新定义计算a1a2a3ak后再解方程即可.【题文】10过点(2，0)的直线l与抛物线y相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于( )a b c. d.【知识点】导数的几何意义；抛物线的性质.b11 h7 【答案解析】c 解析：对抛物线y，yx，l的方程是yk(x2)代入y得：x22kx4k0，设两个交点是a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即x1x21.k且满足0.【思路点拨】设出直线方程再与抛物线方程联立转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系以及判别式求出，然后结合在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即可得到结果.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分请把答案填在答题卷对应题号后的横线上11在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取_个【知识点】分层抽样.i1 【答案解析】12 解析：用分层抽样的方法抽取的比例为，所以从二等品中应抽取，故答案为12.【思路点拨】分层抽样的特点是按比例进行抽取，先计算出抽取的比例，在计算从二等品中应抽取的个数即可.【题文】12阅读右边的框图填空：若a0.80.3，b0.90.3，clog50.9，则输出的数是_【知识点】程序框图；指数函数、对数函数的性质.b6 b7 l1 【答案解析】b(或0.90.3)解析：因为由指数函数、对数函数的性质可知：且，根据框图的流程指向可得输出的结果为b，故答案为b(或0.90.3).【思路点拨】先根据指数函数、对数函数的性质判断出a，b，c的大小关系，再由框图的流程指向可得输出的结果.【题文】13若直线ykx与圆x2y24x30相切，则k的值是_【知识点】直线与圆的位置关系.h4 【答案解析】 解析：因为直线ykx与圆x2y24x30相切，所以圆心到直线的距离，解得，故答案为.【思路点拨】直线ykx与圆x2y24x30相切转化为圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程解之即可.【题文】14设函数f(x)x(ex1)x2，则函数f(x)的单调递增区间为_【知识点】函数的单调性与导数的关系.b12 【答案解析】解析：因为函数f(x)x(ex1)x2，所以其导函数为：，又因为求其单调递增区间，所以，即，解得：，故答案为.【思路点拨】先求导，再利用解不等式即可.【题文】15当n为正整数时，定义函数n(n)表示n的最大奇因数如n(3)3，n(10)5，.记s(n)n(1)n(2)n(3)n(2n)则(1)s(3)_；(2)s(n)_.【知识点】函数值的求解.b1 【答案解析】22； 解析：由题设知，n(2n)n(n)，n(2n1)2n1.又s(0)n(1)1.(1)s(3)n(1)n(3)n(5)n(7)n(2)n(4)n(6)n(8)1357n(1)n(2)n(3)n(4)42s(2)4241s(1)424140s(0)22.(2)s(n)135(2n1)n(2)n(4)n(6)n(2n)135(2n1)n(1)n(2)n(3)n(2n1)，s(n)4n1s(n1)(n1)，s(n)4n14n241401.【思路点拨】（1）由题意可得，s（3）=n（1）+n（2）+n（3）+n（8），分别寻求每一项的值，然后可求;（2）先根据题意求出当n=1时，s（1）=n（1）+n（2），s（2）=n（1）+n（2）+n（3）+n（4），s（3）=n（1）+n（2）+n（3）+n（4）+n（8），s（4）=n（1）+n（2）+n（3）+n（4）+n（16），根据值出现的规律总结一般规律，然后可求.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16(本题满分12分)已知函数f(x)sin xcos xcos2x1(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)求当x(0，时f(x)的值域【知识点】二倍角公式；三角函数的最值.c4 c6 【答案解析】(1) 2. (2) 解析：(1)f(x)sin xcos x1sin 2xcos 2xsin.0，t，2.(6分)(2)由(1)得：f(x)sin., 0x，2x，sin(2x)1，1f(x)，f(x)的值域是.(12分)【思路点拨】(1)先利用二倍角公式化简，再利用周期公式求出即可；(2)结合单调性求出最值.【题文】17(本题满分12分)某中学高三(1)班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：组序分组频数频率第一组180，210)50.1第二组210，240)100.2第三组240，270)120.24第四组270，300)ab第五组300，330)6c(1)求表中a、b、c的值；(2)某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样的方法从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，则在第二组学生中应抽取多少人？(3)已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率【知识点】频率分布表；分层抽样；古典概型.i1 i2 k2 【答案解析】 (1) a17，b0.34，c0.12. (2)4 (3) p.解析： (1)由表知51012a650，则a17，b0.34，c0.12.(4分)(2)因为104，所以在第二组学生中应抽取4人(7分)(3)从5名学生中随机抽取2人有10种取法(可列举出来)，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有6种(也列举出来)，则所求概率p.(12分)【思路点拨】(1) 根据总数为50 先求a的值，再计算b，c即可(2) 按比例抽取即可，(3)列举出从5名学生中随机抽取2人的所有情况，再找出满足题意的情况，代入公式即可.【题文】18(本题满分12分)如图，已知三棱锥pabc中，pc平面abc，abbc，pcbc4，ab2，e、f分别是pb、pa的中点(1)求证：侧面pab侧面pbc；(2)求三棱锥pcef的外接球的表面积【知识点】面面垂直的判定；组合体.g5 g8 【答案解析】(1)见解析 (2) 17.解析：(1)pc平面abc，abpc，又abbc，则ab侧面pbc，ab侧面pab，故侧面pab侧面pbc.(6分)(2)pcbc4，e为pb的中点，cepb，而侧面pab垂直侧面pbc于pb，ceef.由e、f分别是pb、pa的中点有efab，则ef侧面pbc.故ec、ef、ep两两垂直，(9分)三棱锥pcef的外接球就是以ec、ef、ep为长、宽、高的长方体的外接球，易求得ecep2，ef1，其外接球的直径是，故所求三棱锥pcef的外接球的表面积是417.(12分)【思路点拨】(1) pc平面abc，abpc，又abbc，则ab侧面pbc，ab侧面pab，故侧面pab侧面pbc. (2)由已知得到三棱锥pcef的外接球就是以ec、ef、ep为长、宽、高的长方体的外接球即可求出结果.【题文】19(本题满分13分)已知函数f(x)x3ax2(a2)xb(a，br)在1，1上是减函数(1)求实数a的取值范围；(2)设a1，若对任意实数u、va1，a，不等式|f(u)f(v)|恒成立，求实数a的最小值【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求最值.b12 【答案解析】(1) a. (2) 解析： (1)由函数f(x)x3ax2(a2)xb(a，br)在1，1上是减函数得：x1，1时，f(x)x2axa20恒成立(3分)，可得a.(6分)(2)a1，a10，a1，a1，1，故f(x)在a1，a上是减函数，(7分)fmaxf(a1)(a1)3a(a1)2(a2)(a1)b，fminf(a)a3a3a(a2)b.依条件有fmaxfmin，fmaxfmin2a2a，(11分)即8a210a30，a或a，a0，b0)，定点a(c是双曲线的半焦距)，双曲线虚轴的下端点为b.过双曲线的右焦点f(c，0)作垂直于x轴的直线交双曲线于点p，若点d满足2(o为原点)，且a、b、d三点共线(1)求双曲线的离心率；(2)若a2，过点b的直线l交双曲线的左、右支于m、n两点，且omn的面积somn2，求l的方程【知识点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质h6 h8 【答案解析】(1) (2) yx1.解析：(1)b(0，b)，a，易求得p.2，即d为线段fp的中点，d.(3分)又a、b、d共线而，(b)，得a2b，(5分)e.(6分)(2)a2，而e，b21，故双曲线的方程为y21.(7分)b点的坐标为(0，1)，设l的方程为ykx1，代入得(14k2)x28kx80，由题意得：，得：k2.(9分)设m、n的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x1x2.而somn|ob|(|x1|x2|)|x1x2|2，(11分)整理得24k411k210，解得：k2或k2(舍去)所求l的方程为yx1.(13分)【思路点拨】(1) 欲求双曲线的离心率，只需找到含a，c的齐次式，由已知，易求p点坐