高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质课时提升作业1 新人教A版选修1-1.doc

双曲线的简单几何性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015安徽高考)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是()a.x2-y24=1b.x24-y2=1c.y24-x2=1d.y2-x24=1【解析】选c.由题意知,选项a,b的焦点在x轴上,故排除a,b,c项的渐近线方程为y=2x.2.(2016合肥高二检测)点p为双曲线c1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)和圆c2:x2+y2=a2+b2的一个交点,且2pf1f2=pf2f1,其中f1,f2为双曲线c1的两个焦点,则双曲线c1的离心率为()a.3b.1+2c.3+1d.2【解题指南】由题意:pf1pf2,且2pf1f2=pf2f1,故pf1f2=30,pf2f1=60.设|pf2|=m,则|pf1|=3m,|f1f2|=2m.由e=2c2a=|f1f2|pf1|-|pf2|,能求出双曲线的离心率.【解析】选c.由题意:pf1pf2,且2pf1f2=pf2f1,所以pf1f2=30,pf2f1=60.设|pf2|=m,则|pf1|=3m,|f1f2|=2m.e=2c2a=|f1f2|pf1|-|pf2|=2m3m-m=3+1.【补偿训练】双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为()a.2b.3c.2d.32【解析】选c.依题意ba-ba=-1,所以a2=b2.则e2=c2a2=a2+b2a2=2,所以e=2.3.(2016宁波高二检测)与双曲线x29-y216=1有共同的渐近线,且经过点(-3,23)的双曲线方程为()a.x24-4y29=1b.y24-4x29=1c.4y29-x24=1d.4x29-y24=1【解析】选d.设所求双曲线方程为x29-y216=(0),把(-3,23)代入方程得99-1216=,所以=14.故双曲线方程为x29-y216=14,即4x29-y24=1.4.设a1,则双曲线x2a2-y2(a+1)2=1的离心率e的取值范围是()a.(2,2)b.(2,5)c.(2,5)d.(2,5)【解析】选b.e2=a2+(a+1)2a2=1a2+2a+2=1a+12+1,因为a1,所以01a1,11a+12,所以2e21,所以2e0,b0),若矩形abcd的四个顶点在e上,ab,cd的中点为e的两个焦点,且2|ab|=3|bc|,则e的离心率是.【解题指南】充分利用图象的几何性质,找出矩形一个顶点的坐标,代入曲线方程,便可求得离心率.【解析】假设点a在左支位于第二象限内,由双曲线和矩形的性质,可得a-c,3c2,代入双曲线方程x2a2-y2b2=1,可得c2a2-94c2c2-a2=1,所以e2-1=94e2e2-1,又e1,所以可求得e=2.答案:27.(2016菏泽高二检测)设f1,f2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,以线段f1f2为直径的圆交双曲线左支于a,b两点,且af1b=120,若双曲线的离心率介于整数k与k+1之间,则k=.【解析】因为以线段f1f2为直径的圆交双曲线左支于a,b两点,且af1b=120,所以of1a是等边三角形,所以|af1|=c,|af2|=3c,所以2a=|af2|-|af1|=(3-1)c,所以e=ca=23-1=3+1,因为双曲线的离心率介于整数k与k+1之间,所以k=2.答案:28.(2016厦门高二检测)设椭圆c1的离心率为513,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线c2上的点到椭圆c1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线c2的标准方程为.【解析】设椭圆c1的方程为x2a12+y2b12=1(a1b10),由已知得2a1=26,e=c1a1=513,所以a1=13,c1=5.所以焦距为2c1=10.又因为80,b20),则a2=4,c2=5,所以b22=52-42=32=9,所以曲线c2的方程为x216-y29=1.答案:x216-y29=1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016威海高二检测)已知双曲线的一条渐近线为x+3y=0,且与椭圆x2+4y2=64有相同的焦距,求双曲线的标准方程.【解析】椭圆方程为x264+y216=1,所以椭圆的焦距为83.当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),所以a2+b2=48,ba=33,解得a2=36,b2=12.所以双曲线的标准方程为x236-y212=1.当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),所以a2+b2=48,ab=33,解得a2=12,b2=36.所以双曲线的标准方程为y212-x236=1.由可知,双曲线的标准方程为x236-y212=1或y212-x236=1.10.已知双曲线的中心在原点,焦点f1,f2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,-10).(1)求此双曲线的方程.(2)若点m(3,m)在此双曲线上,求证:f1mf2m=0.【解析】(1)因为离心率e=ca=2,所以a=b.设双曲线方程为x2-y2=n(n0),因为点(4,-10)在双曲线上,所以n=42-(-10)2=6.所以双曲线方程为x2-y2=6.(2)因为点m(3,m)在双曲线上,故m2=3.又点f1(-23,0),点f2(23,0),所以kmf1kmf2=m3+23m3-23=-m23=-1.所以f1mf2m=0.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2014重庆高考)设f1,f2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点p使得|pf1|+|pf2|=3b,|pf1|pf2|=94ab,则该双曲线的离心率为()a.43b.53c.94d.3【解析】选b.由双曲线的定义得|pf1|-|pf2|=2a,又|pf1|+|pf2|=3b,所以(|pf1|+|pf2|)2-(|pf1|-|pf2|)2=9b2-4a2,即4|pf1|pf2|=9b2-4a2,又4|pf1|pf2|=9ab,因此9b2-4a2=9ab,即9ba2-9ba-4=0,则3ba+13ba-4=0,解得ba=43ba=-13舍去,则双曲线的离心率e=1+ba2=53.2.(2016唐山高二检测)设f1,f2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点p满足|pf2|=|f1f2|,且cospf1f2=45,则双曲线的渐近线方程为()a.3x4y=0b.4x3y=0c.3x5y=0d.5x4y=0【解题指南】根据|pf2|=|f1f2|,结合双曲线的定义,可得出|pf1|=2a+2c,再由cospf1f2=45,求出ba的值.【解析】选b.作f2qpf1于点q,因为|f1f2|=|pf2|,所以点q为pf1的中点,由双曲线的定义知|pf1|-|pf2|=2a,所以|pf1|=2a+2c,故|f1q|=a+c,因为cospf1f2=45,所以|f1q|f1f2|=cospf1f2,即a+c2c=45,得3c=5a,所以3a2+b2=5a,得ba=43,故双曲线的渐近线方程为y=43x,即4x3y=0.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016深圳高二检测)已知双曲线an-1y2-anx2=an-1an的焦点在y轴上,一条渐近线方程为y=2x,其中an是以4为首项的正数数列,则数列an的通项公式是.【解析】双曲线即:y2an-x2an-1=1.因为an是以4为首项的正数数列,一条渐近线方程为y=2x,所以anan-1=2,anan-1=2,所以an=42n-1=2n+1.答案:an=2n+14.(2016重庆高二检测)设f1,f2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点p使得(|pf1|-|pf2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为.【解析】由双曲线的定义知,(|pf1|-|pf2|)2=4a2,又(|pf1|-|pf2|)2=b2-3ab,所以4a2=b2-3ab,等号两边同除以a2,化简得ba2-3ba-4=0,解得ba=4或ba=-1(舍去),故离心率e=ca=c2a2=a2+b2a2=1+ba2=17.答案:17三、解答题(每小题10分,共20分)5.双曲线x2a2-y2b2=1(a1,b0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s45c,求双曲线离心率e的取值范围.【解析】设直线l的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a1,得点(1,0)到直线l的距离d1=b(a-1)a2+b2,点(-1,0)到直线l的距离d2=b(a+1)a2+b2.所以s=d1+d2=2aba2+b2=2abc.由s45c,得2abc45c,即5ac2-a22c2.因为e=ca,所以5e2-12e2,所以25(e2-1)4e4,即4e4-25e2+250,所以54e25(e1).所以52e5,即e的取值范围为52,5.6.(2016青岛高二检测)已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点p(3,-1),若此圆过点p的切线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程.【解析】切点为p(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10,因为双曲线的一条渐近线平行于此切线,且双曲线关于两坐标轴对称.所以双曲线的渐近线方程为3xy=0.当焦点在x轴上时,设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则其渐近线方程为y=bax,即ba=3,则双曲线方程可化为x2a2-y29a2=1,因为双曲线过点p(3,-1),所以9a2-19a2=1,所以a2=809,b2=80,所以所求双曲线方程为x2809-y280=1.当焦点在y轴上时,设双曲线方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),则渐近线方程为y=abx,即ab=3,则双曲线方程可化为y29b2-x2b2=1,因为双曲线